Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Приоритетные системы обслуживания

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

15.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 4533 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

Из-за единого порядка		настройки прибора	в обеих	схемах
обслуживания	Ьу^ q)(s) определяется из тех же соотношений, что
и для схемы	с абсолютным	приоритетом. Полное	время	пребыва

ния на приборе вызова вида k начинается с настройки прибора на обслуживание вызова типа (k, 1), поэтому bk(s) =Ьу(&, i)( s )•

Число вызовов, поступивших в систему за полное время пре бывания на приборе отдельного вызова. Для Бѵ(х) — производя щей функции распределения числа вызовов, поступивших в систе

му за	полное время пребывания	на приборе вызова	типа ѵ;
Буѵ(x)	— производящей функции	распределения числа	вызовов,

поступивших в систему за полное время пребывания на приборе вызова типа ѵу, начинающееся с настройки прибора на обслужи вание этого вызова, и Бк(х) — производящей функции распреде ления числа вызовов, поступивших в систему за полное время

пребывания на приборе вызова вида k имеют	место	следующие
утверждения:
Т е о р е м а 2.а. Для схемы обслуживания	с	абсолютным
приоритетом

П					•ах -! - f f f e _ i * ß Y ( M ) ( a — okx)
					•ах -! - f f f e _ i * ß Y ( M ) ( a — okx)
„ _ р	а	~ a x + ak-\x$4(k,q)(a			— °kx){l	— fl — ß ( f		c —	в*х)] ß p ( M ) ( a — ах)}
				Бк(х)=Бу(кЛ)(х),
		Бу(к,Р)	(x) =			\Р>	— ß(fc,p) {x).			(2.6)
				a — ax + ok_lX^y(Kp)			(a-	0*x)
Т е о р е м а			2.о. Для		схемы	обслуживания			с	относитель
ным	приоритетом
		Бѵ	(х) = ß( f e , rk) (а — ах) \~[				ß № i P )	(а — okx) H
						<?=р
		+ [ß(fe,P) (а — ах)		—	ß(fc,P) (о — Qkx)\ ßP(fe,?) {а — ах) x
			X	(f l —a *)ßY(fe,,H-i)(a — gfe)					j
			а — а* + 0f e _!xßY( f t i q + ï				) (а — о**) ] '
				Бк(х)--=Бу1кЛ)(х),
Б\(к, Р)(Х) определяется				соотношением			(2.6).
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Выражение		для Бѵ(х) в схеме с абсо
лютным		приоритетом получается из системы уравнений:
			Бѵ (х) = ß v (а — akx) Бх~е{р-Г^					(х)	+
		+ [ 1 — ßV (а — а*х)\				°к ^ Х .	ßp v (а — ах) Буѵ			(х),
						а — акх
21 Зак. 64										321

v~(k,			p), ц	p-'r	1),
Буѵ	(x)	=	ßvv (ß — a*) £ v		(x)	+
_L [ i _	ß Y v ( a		_ akx)]	_ 5 t l j L Б у ѵ		( x ) ,

а для схемы обслуживания с относительным приоритетом — из вышенаписанного соотношения для Буѵ (х) и уравнений

Бѵ (x)	= ß v	(a - okx) Б]Г6{р'Гк)	(x) +
+ [ßv (a - ах) -	ßv (a -	a*x)] [ßpv (a -	ax)	Бу»	( х ) ] 1 - * " ' ^ ,
ѵ ~ ( / г, p),		p — (A, /? + 1),	p =	l,rk,

которые проверяются стандартными рассуждениями, если восполь зоваться методом красных и синих.

Период занятости системы определяется из системы уравне ний, аналогичной той, которая приводится в гл. 10. Изменения претерпевает лишь определение hk(s) — преобразования Лапла са—Стилтьеса от функции распределения интервала времени с момента поступления на прибор вызова вида k и до первого мо мента, когда система освободится от этого вызова и всех вызовов более высокого приоритета, поступивших в систему за это время.

Приведем формулировки основных

утверждений:

Т е о р е м а

З.а. Для

системы обслуживания

абсолютным

приоритетом

а)

преобразование

Лапласа—Стилтьеса

периода

занятости

системы

вызовами

вида

и более

высокого

приоритета

опреде

ляется

из

системы

уравнений

<Vtfe(s) =

^annkn(s),

n = l

nkn

(s)

= nk-Xn

(s +

ak — ankk(s)),

n<k,

**** (s) =

К (s

+ ak — aknkk (s)),

hk(s)=

ÄY(fe,i)(s),

FTY№.P) ( S )

i—7T--—

г г т

r — — : A»,P) ( S ) .

h(k,P) (s)

(s ) + a fe-i ^fc-i (s ) ßY(fe,p) (s +

°-fe-i)]

ß(ft,p) (s -r o-fe-i)

e ^ t s J ^ ^ n ^ ^ s J ß Y j f c ^ / s + a ^ O l l - I l - ß ^ . r t t s - r - a ^ j J l ß ^ . r t C ö f e - i W ) } '

где 9f e _i (s) = s +

afc _i — ak^nk-i

(s),

322

причем

эта

система

функциональных

уравнений

определяет един

ственные функции

hh(s),

nkn(s),

nk(s),

n—l, k,

k = \,

N аналити

ческие

в полуплоскости

Re(s)>0, в

которой

І М « ) І < 1.

! я А п

(s) | <

|n f t (s)! < 1;

б)

если

anbnl

mo hk ( + 0) = nkn

( + 0) = nk ( + 0) = 1,

л=1

в противном

случае

0 ; < A f c ( + 0 ) < l , 0 < я А в ( + 0 ) < 1 , 0 < я л ( + 0 ) < 1 ;

в)

положим

Pu. = £

flAi.

PA = 1

— Pfti.

л=1

P*2

Pfe-i2

aAa

— 2

J"*

Pte—и X

J A

- 1

r A

\j-k + ÔA1 + ° A - 1

V p ) l ß P ( A , p ) l J ,

p=l

L f t =

CY(fe,i) -1- 2 [Cv fe,p )

Q(k,P) +

Ok-\b{k,p)iCyik,p)

P=I

6(fc.P) =

1 - f Oft-ißP(fc,p)i

Ofc-i

ßY(ft,p)i.

C v

te~a^dBv

(t),

v ~

p),

тогда

при pkl <

1 для моментов

получим

выражения

° А

Я А 1 —

" A l

—

"v l =

ftYvl

P A - I

PA - I

—

РАЗ — PA-12

iPA-12

a A"A2 —

* 4

•

PA - I

21*

323

Т е о р е м а		З.о. Для	схемы обслуживания		с	относитель
ным	приоритетомk
a)	oknk (s) =	£ аплкп	(s),
		/1=1
	nkn	(s) =--	(s -f- ak — aknkk	(s)),	n<	k,
		Kkk (s)	К (s - f ak — aknkk	(s)),

A(fe.P> (s)•--=ß(k

(öfe-i (s))

]~1

|ß ( f e ,„

(s - j

af e _i)

i=p

[ ß (

M ) (Ѳк _і (s)) — ß ( M )

(s +

afc_i)]

• ßp № , e + i) (Ѳ^і (s))

(s +

Ofc_i) • ßY(f e ,g + i)(s +

öfc_i)

X GFE_! (s) +

О ^ Я ^ !

(s)

• P Y ( M

+ D ( S -

где Ѳ/г_і (s)

s i

cTfe_i — а;г_іл;/г_і

(s),

причем

эта

система

функцио

нальных уравнений

определяет

единственные

функции

hk(s),

nkn (s),

nk(s),

(n — l,

k; k~=

l, N) аналитические

в полуплоскости Re

( s ) > 0 ,

которой

k \hk(s)\<\,

| n t n ( s ) | < l ,

I я А

(s) К

1 ;

б)

если £

anbnl<

то hk(-\-

0) =

nf c B (-|- 0) =

Jt f e (+[0)

я=1

противном

случае

0 < А л ( + 0 ) < 1 , 0 < я е л ( + 0 ) < 1 , 0 < я , ( + 0 ) < 1 ;

в)

положим

a"b«l' p * =

p««

Pkl =

1 —

/1=1

PAS = Pft-is +

û A 2

— 2 - i L - p ^

|йѵ( Я і 1 ) і +

Сѵ№.р+і)

'k~x

- [Qft.p) • (o"fc-ißP<ft,p)i + Ofe_iÔY(ft>p+i)i) +

P=I

T (1 — ß(fclP) (Ofc-i)) (&Y<fc.P+i>i + c Y(fe.P+i))]|,

3 2 4

Cv = j	te-°k-i'dBv(t),
ô

тогда при pkl < 1 для моментов получим выражения

,	&ÉI	,	Ьѵ і	Ьу ѵ 1
hi	= Г ~ .	"vi =;		. hyvi
	Pft-i		Pfe-i	Pft-i
			Pfe-i	Pft-i
	"fe"ft2 —	2		" A l 3
		Pfe-1		Pft-1

Доказательство теорем проводится аналогично доказательст вам теорем из § 5 гл. 10.

Как и в гл. 10, рассмотрим преобразования Лапласа—Стил тьеса от функций распределения периода занятости системы вы зовами вида k и более высокого приоритета, при условии, что он начинается с поступления на прибор вызова типа ѵ или вызова

типа ѵу, которые будем обозначать nkv(s)	или nftV V (s). Преобразо
вания Лапласа—Стилтьеса от функций	распределения периода

занятости системы вызовами типа ѵ(ѵу) и более высокого приори тета при условии, что он начинается с поступления на прибор

вызова типа р или вызова типа \іу, будем обозначать		J t V V i [ i ( s ) или
я ѵѵ,(іѵ(^)> ^v,\|xv(s).
Период занятости прибора. Рассмотрим	периоды	занятости
прибора вызовами различных типов. При этом будем		различать
периоды занятости прибора вызовами типа	ѵ и типа	ѵу. Под

первым понимается интервал времени с момента начала обслу


живания		вызова типа		ѵ до первого момента, когда либо				без пре
рывания		закончится		обслуживание		очередного	этапа		вызова
типа	V, либо		закончится его прерывание. Под вторым					периодом
понимается			интервал	времени с момента начала настройки					прибо
ра на	обслуживание			вызова типа	ѵ и до первого		момента,		когда
либо	без прерывания			закончится	обслуживание очередного				этапа
вызова типа			ѵ, либо	закончится	его прерывание,		либо	прервется
настройка		прибора на обслуживание				вызова типа	ѵ из-за поступ


ления	в систему вызовов более высокого приоритета. Преобразо
вания	Лапласа—Стилтьеса от соответствующих периодов занятос
ти прибора обозначим		через	gv (s) и gy\(s),	а производящие
функции распределений		числа	вызовов, поступивших в бункер за
те же периоды времени, через			Gv(z) и Gyv(z),

325

G v (z) =

G v

(Zv

2ly, 22 ,

22v, • • • , 2л»,

Zjvy)-

Считаем,

что эти производящие

функции

зависят

от

2<Л/Э

пере

менных, где £ѵ соответствует обслуживаемому,

либо поступающе

му на обслуживание вызову типа

v, a zV v —• находящемуся

в бун

кере, либо

поступающему

в бункер

вызову

типа

ѵу,

т. е.

тем

вызовам типа ѵ, перед началом обслуживания

которых

должна

произойти настройка

прибора на их обслуживание.

Тогда справедливы следующие

утверждения:

Л е м м а

І.а.

Для

схемы

обслуживания

абсолютным

приоритетом

а)

Gv(z)^Ggv(z;

0),

gv{s)^=Ggv(l;

s),

GYV (г)

= 5 Ggyv

(z;

0),

gyv

( S ) S H G £ Y V ( 1 ; S ) ,

Ggv

(2; s) -

ß v (s

- j - a -

akz) z 1 ' 6

[ 1 — ß v (s + а — akz)}

h~l

a*k

ß p v

a — az)

zvy,

s + a — o z

Ggyv

(2;

ßYv (s

a —

okz)

Ggv

(2;

-r- 11 -

ß Y

(s +

a -

okz))

°k~xZ

zw,

(2.7)

s -}~ a — a*z

v ~ ( & , p),

n~(k,

p - f

1);

б)

среднее

число

вызовов,

поступающих

бункер

за

период

занятости

прибора

вызовами

типа ѵ или

ѵу, равно

соответственно

G v ( l ) +

- ^ - C v

( l ) = - r - G v ( 2 ) |

г=і

[1 -

ß v (а*_, )]«"•'*> - f

[1 - ß v > / e - i ) ]

^ j

(1 +

fffr-ißPvi),

(2.8)

G y v

(î) = ßYv (ff*-0 ~

(T) +

[1 -

ß Y

v (a*-,)] ( 1 - I -

^ ) ,

ѵ ~ ( £ , р ) ,

r,;

в)

среднее

время,

необходимое

для

обслуживания

всех

вызо

вов, поступивших

в бункер

за

период

занятости

прибора

вызовами

типа v или типа ѵу, равно

соответственно

£ [ ^ G v ( ï ) ^ + ^ G v ( W

"il

ц = 1

326

^ - G v ( 6 1 ( s ) ,

by1(s),

ôa (s), .. .,bjr>{s),

byA°{s))]s=o =

ÛS

= bvl

- 6 v l ß v ( a A _ 1

) [1 - j - 0*_,ßpv i] (

1 - £ f l A i ) ;

(2-9)

І=І

- 7 -

ÖYv ( * I

(S),

ÔYi (s)>

• • • » bjv (s),

byjr (s)) is=o =

6v i — ßYv (aÉ _i) [/5v)ßv (о*_і) (1

- j -

0f e _,ßpv i) - j - ßvvi] X

х ( 1 - ^ ] а Л - 1 ) ,

(2.10a)

i = l

v~(k,p),

rA .

Л е м м а

1 .о. Для

схемы,

обслуживания

относительным

приоритетом

Gv(z) =

Ggv{z\Q),

gv{s) =

Ggv(î;s),

CY v(z) =

GgY v(z;0),

gYv(s) =

G £ Y v ( ï ; 0 ) ,

G^v (г; s) =

ß v

(s Ч - a -

o*z) z ^ ' ^

-'-

-F- l ß v (s + a — az) — ß v (s f

a — a*z)] [ßpv (s + a — az) г | і ѵ ] 1 ~ в "'' г * ) ;

Ggyv(z; s)

определяется

соотношением

(2.7);

б)

- 7 - G v ( ï )

aßv , +

[1 - ô ( p , r,)] {1 -r [ l - ß v ( a f e - 1

) ] a ß p v l } ,

(2.11)

GYV (Г) -

ßYv (о*-!) 4-

° v 0 )

[ i _ ß Y v ( a f e _ o ] (1 + 1 ^ 7 ) ;

v ~ ( Ä ,

p),

p =

rf t ;

-4-	Gv (/^ (s), ôYi (s), .. . , bjv(s), byAs)) \|s=o =
ds
	N
= ôvi -	{ßn + [1 - ßv (afe_,)] ßPvi} ( I - 5]аЛх),	(2.12)

327

—

Gyv

Фг

(s), ôYi (s),

.. • , Ъж (s),

(s)) |s=o

ÔYvl "

ßYv fafe-l) {ßYvl

ßvl

- г

—

ßv (Offc-l)] ßPvl i

( i -

2 f l Ai) .

ß J W „ > i s

°.

( 2 Л 0 - ° )

v ~ - ( é , p),

-f- 1), p

•-=

r é .

Т е о р е м а

Преобразование

Лапласа—Стилтьеса

от

функ

ций распределения

периода

занятости

системы

вызовами

типа ѵ

и более высокого

приоритета

при

условии,

что он начинается

с по

ступления

на

прибор

вызова

типа

р (яѴ ц (s ))

или

настройки

прибора

на обслуживание

вызова

типа

ц ( л ѵ м > ѵ (s)),

удовлетворяют

системе

уравнений:

ЛѴІІ (S)--•=•Ggß

(Jïvl

(s),

Я ѵ і ѵ

(S),

. . . , Я ѵ

ѵ ѵ (S), T2 ( °*°_ v ) ; s),

"Yvnv(s)

GgYn(ttvi (s),

n v i v (s), . . .

, nvvy(s),

I 2

(

" l ' " _ v ) ;

s ) .

Аналогичные

соотношения

справедливы

для

nVVil(s)

nVVßV(s):

•^ѵѵм. ( s ) ~

G§ß

( Л ѵ у 1

(s),

Яѵ ѵІ7 (S )>

• • •

> îtvvvv (s )>

,<!)>

Яѵѵиѵ (s )

= GgYn ( я ѵ ѵ ,

(s),

я ѵ ѵ і ѵ

(s), . . .

, я ѵ ѵ ѵ ѵ

(s),

ï 2 ^ - ' 0 ;

s),

p <

Доказательство

всех

приведенных

утверждений

проводится

с помощью дополнительных событий: на фоне пуассонового потока

катастроф	с параметром	s	и окрашивания вызовов, поступающи?
в бункер, в два цвета.
Число	обслуженных	за	период занятости системы вызовов.

Для производящих функций распределений числа вызовов, посту пивших в систему, и обслуженных прибором за период занятости системы вызовами вида k и более высокого приоритета, сохраня ются все соотношения, выведенные в гл. 10. Так, Фи(х) — произ водящая функция распределения числа вызовов, поступающих в систему за период занятости системы вызовами вида k и более

высокого		приоритета,	определяются	функциональным		уравнением
			k
причем	это уравнение		определяет в	области	\| х \| < 1	единственную
					k	а„ол1	•< 1, то
функцию		Фк(х) такую, что \Фк(х)\<.\\			ест	а„ол1	•< 1, то
					л = 1	_
Фк(х)—	аналитическая		функция в области \x\<z 1 и Ф й ( 1 ) =				1.

328

Доказательство этого утверждения приведено в гл. 10. Приве дем формулировку еще одного утверждения из § 7 гл. 10 приме

нительно к рассматриваемой нами системе.

Т е о р е м а 5. Для всех

систем

обслуживания

производящие

функции

распределений

числа

вызовов

остающихся

системе

пос

ле окончания

периода

занятости

системы

вызовами

типа ѵ и

более

высокого

приоритета

при

условии, что период

занятости

системы

начинается

обслуживания

вызова

типа

р. (Ч\,ц (х))

или

наст

ройки

прибора

на

обслуживание

вызова типа

[і{ѴуѴѴк{х)),удовлет

воряют

системе

уравнений

¥V(l

(x) = -- лѴІХ

(о"№И _

о»[ѵ]+1 x),

^Yvn (X) -

Л у Ѵ

[ і

(а»Гѵ]+1 _

а я [ ѵ ! + 1 X

) t

l l r v n (x)

Gß

( ¥ v i

{x),

¥ Y v i

(X),

. . .

, Wvv

(x),

Wyvv

(x),

x n [

v ] + u ...

,xN),

^ Y v n

ÖY U ( ¥ YV1 (X),

¥ V 1

(X),

... , ¥YVV('V'),

¥ W W ,

A'„[ V ]+1, ••• .

p < v ,

/z[v] == max {г : т < ѵ ,

т ~ ( і , 1)}.

Вложенная цепь Маркова. Повторяя дословно доказательства § 8 гл. 10, можно получить условия эргодичности вложенной мар ковской цепи для нашей системы обслуживания:

е =

min

{^ - 2

f ^ G Y , ( T ) b v

l - b ^ - G Y , ( D b Y v I

v=l

["dl^

G Y ( n . i ) ( ï " )

&v i +

- ^

G Y < n , i ) ( ï ) ô Y v i

-h ОО,

ra=l

v=l

которые

выполняются, если

+ оо.

a , Ai

1, ßvi <

оо,

ß P v i

+ оо, ß Y v i <

(2.13)

п=\

Последнее

становится

очевидным,

если

вспомнить

значение

среднего

времени

обслуживания

вызовов,

поступивших

бункер

за

период

занятости прибора вызовом

типа

ѵ,

либо

вызовом

типа

ѵу

(2.9) —(2.12).

Длина

очереди. Все

рассуждения

§ 9

гл.

10 остаются

силе

и для нашей системы обслуживания, если считать, что в уравне

ниях (9.5), (9.6)	и далее § 9	гл. 10 индекс ѵ принимает значения
1, 1у, 2, 2у, ...,Л/Э>	Y- Таким	образом, получаются выражения

329

O V (z)

H=v+1

^	Wy-Gyß(• v ) ] l - - ^ - [ Z v v — Gyv(-v)ll / [ z v - G v ( • v ) ] ,
	(2.14)

{ P ( 5 ) W ( - n ) - D - S { - s ^ - C - O - C - n ) ]

				m=v+i		1 4
4 _ 1 t*V		^	^	" ~ G Y n ( • vv)]	/ [Zvv — G Y v ( • w ) l .
	Р ' 1
				\|z\| < 1,
(	- v) =	( W v - l v l		(z), Y Y v - l v l	( Z ) , ••• , 4 r v - l v v - l (z),
		4^Yv—lw—î (z), zv ,			. . . , Z^=Y)>
( • vv) =	( ^ v l	(z),	¥ Y v l (z), . . . , ¥		w (z),	zv v , • • • , Z M ° , Z^y),
аналог уравнения		(9.8) гл. 10.
Выражение

я ( Ö ) = i - 2	{РА^{е-ѵ^)+-^-G,(Ï)]
ц=1	v= l
	- â r - G Y l 4 ( î )	(2.15)

аналог уравнения (9.9) гл. 10 с учетом того, что

Л'"

= 1.

dz.VV

ѵ=1

Значения

= ^ G , ( 1 ) ,

v=l	az

Л'0

v=l

определены в (2.8), (2.11).

330

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 4533 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20236.09 Mб11Применение радиоизотопной техники в коксохимическом производстве..pdf
#
19.10.20234.59 Mб7Применение ЦВМ и средств вычислительной техники в геологии и геофизике [сборник]..pdf
#
29.10.202310.85 Mб14Применение электронагрева при склеивании древесины..pdf
#
22.10.202315.08 Mб49Применения лазеров..pdf
#
22.10.202311.09 Mб16Принципы и методы регулировки усиления в транзисторных усилителях..pdf
#
25.10.202315.93 Mб14Приоритетные системы обслуживания..pdf
#
22.10.202312.28 Mб5Природно-мелиоративное районирование территории перспективного орошения Нижнего Поволжья..pdf
#
23.10.20236.47 Mб4Природные сорбенты цеолитовой структуры..pdf
#
23.10.20237.05 Mб21Прис Б.В. Моделирование железобетонных конструкций.pdf
#
30.10.202320.39 Mб13Притула В.А. Защита заводских подземных трубопроводов от коррозии.pdf
#
27.10.202322.91 Mб30Приходько Б.Г. Грузоведение и складское дело учебник.pdf