Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1301 вуз, 5073 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги из ГПНТБ / Приоритетные системы обслуживания

..pdf
Скачиваний:
14
Добавлен:
25.10.2023
Размер:
15.93 Mб
Скачать
☆

 

 

 

 

 

P=I,

Pfc-i

 

 

 

 

.

_

'IT1

f

P(fe,p)2

, о

f

Pfe-12

i

V

P(fe,</)1

 

ѴЛ

 

* 2

~~

Z J i

2

Г P(fe,p)l

—a

H

>J

2

 

 

 

^

1

Pfe-i

 

L

pfe_i

 

 

pfe-i

 

 

 

P = I

 

 

 

 

 

 

 

? = P + I

 

 

 

 

 

 

pfe-i

J >

 

fe>2-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

с.

Для

схемы

обслуживания

со

смешанным

приоритетом

x

s

+ акЩ-\

- a fe[n] - i " f c i r i - i

(s) I

 

0f e [ ( i ] _,(s) +

 

« f c [

| i ] _ i ( s )

(S +

0 - А Д _ !

- 0 И ( і ] _ і

X

П

ß ( s

+

стЛѵ]-і

— <*Дѵ]-і я

/ [ ѵ ] - і

(s) il '[ v ] ) X

 

V

 

 

 

 

 

 

X

I ' M )

g + g f e [ v j - l — g f c [ V ] - l Я щ ѵ ы ( « ) | t [ V ]

X

W v ] - 1 ( S ) + а А [ ѵ ] - 1 я й [ ѵ ] - 1 (S) | i [ v ] - l ß v ( s + akM-\ — >ft[v] - l"ft[v] - l

R * ) > V ~

( Ä , p), JD = 1, rA — 1;

первый момент при pkuk,\)]-u <

1 равен

d a

=

К х

+ „ , C x

, f

- 1

 

 

 

 

Р;[т]-і

 

 

ßt(а і[ті—i) V

PfeM-i

 

 

r ft->

-

 

 

 

 

 

 

 

. i - У Г

& v l

j

с ѵ Р ' [ ѵ з - і

/

I

i

\ [

^

L

Р 1 [ Ѵ ] - 1

'

 

ßv К м - l ) V Pfe[v]-1

P / [ v ] - l / J '

p=l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T ~ ( Ä ,

v ~ ( * . p).

 

 

Доказательство теорем проводится стандартным образом при

помощи дополнительного

события.

 

 

 

 

§

12. Число

поступивших в систему

вызовов

за время полного обслуживания отдельного вызова

Определим

теперь

производящую

функцию

распределения

числа вызовов, поступивших в систему за время полного обслужи­ вания вызова вида k. Обозначим ее через

Dkix) = Dk(x1, . . . , xN).

301

В § 7 была найдена производящая функция Фк(х) распреде­ ления числа вызовов, поступивших в систему за период занятости системы вызовами вида k и более высокого приоритета.

Справедливы следующие

 

утверждения,

дающие

выражение

для

Dh(x):

 

а.

Для

схемы

обслуживания

 

с

 

абсолютным

Т е о р е м а

 

 

приоритетом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dk

(x)=Y]p(Kp)(a-okx)

 

 

 

 

 

 

а — okx

 

 

 

a - o k x - a к_хФ

 

fe_i(*)[l-ß

№ p ) (a-ff**)]

среднее

 

число

вызовов

вида

і,

поступивших

в

систему

за

время

полного

обслуживания

вызова

 

вида k

при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k—i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pfe-ii

=

£

а Л і <

1,

 

 

 

 

 

 

равно

uidh\.

 

 

Для

схемы

 

обслуживания

 

с

относи

тел ъ-

Т е о р е м а

о.

 

 

н ы м

приоритетом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D k

(x)

= ß(fc,rft]

(а — ах)

П

 

ß(*.p) (а ~

ak-\®k-\

 

(х) — о*х),

среднее

 

число

вызовов

вида

і,

 

поступивших

в

систему

за

время

полного

 

обслуживания

вызова

вида k

при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к—\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pfc-ii

=

 

£

апЬп1<\,

 

 

 

 

 

 

равно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

^

(

1

)

=

а

Л

,

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

с.

Для

схемы

 

обслуживания

 

со

 

смешанным

приоритетом

 

Dk(x)

 

= Vß(a-oWx)

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а -

 

с к Ы _ х Ф к Ш ^ х )

- о™х

+

окШ_хФкШ_х{х)

 

 

 

 

ß^ (а -

о^х)

 

 

x

П

ßv (а -

ffft[v]-i

Ф*[ Ѵ ]-і

(*)І'Г ѵ ] -

а*м

X) X

 

 

 

 

v.v~(fc,p)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

"

 

°fe[v]-l

^fe[v]-l W

I

 

 

°

*

 

 

 

 

a - 0 4 [ ѵ ] _ ,

Фк[ѵ]_х

(x) -

G f e M x

+

 

fffc[v]_i

0 f c

[ v

] _ i

( a

; ) I i [

v ] _ j ß v

(fl _

0 * [ v ]

'

 

 

 

H ~ ( Ä ,

г 4 ),

v~(k,

 

p),

 

p = \

,

г к

— \ .

 

 

302

Среднее

число вызовов

вида

і, поступивших

в систему за

время

полного

обслуживания

вызова

вида k при

рыдй, і)] - п<1,

равно

Доказательство теорем проводится стандартным образом при помощи дополнительного события.

§ 13. Общее время пребывания в системе отдельного вызова

Общее время пребывания в системе вызова вида k в стацио­ нарном режиме можно представить как сумму двух независимых случайных величин: времени ожидания первого поступления на обслуживание вызовом и времени полного обслуживания того же

вызова.

Если

обозначить

преобразование Лапласа—Стилтьеса

функции

распределения общего времени пребывания в системе

вызова вида k

через vk(s),

то

 

 

vk{s)

= (Ofe(s)df e (s).

Используя полученные ранее результаты, легко получить и моменты общего времени пребывания в системе вызова вида k. Так, первый момент

Г Л А В А 11. СИСТЕМЫ С ПРИОРИТЕТОМ

ИДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ДОПУЩЕНИЯМИ

Вэтой главе рассмотрены некоторые обобщения системы обслуживания, исследованной в главе 10. Различные комбинации допущений приводят к большому разнообразию систем обслужи­ вания. В настоящей главе иллюстрируется подход к включению того или иного допущения к системе многоэтапного обслуживания. Это позволяет, фактически, повторяя рассуждения, рассматривать комбинации допущений.

§ 1. «Разогрев» прибора

Предположим, что прибор отключается, когда система стано­ вится свободной. При поступлении в свободную систему вызова происходит включение прибора, но он не может сразу же присту­ пить к обслуживанию, требуется дополнительное время на его разогрев. Можно представить различные способы организации

разогрева:

1)

разогрев

общий,

он не зависит

от

вида вызова,

вызываю­

щего

разогрев;

 

 

 

 

 

2)

разогрев

специализированный,

он

ориентирован

на вид

вызова, вызывающего

разогрев;

 

 

 

3)разогрев специализированный с прерыванием, при этом ориентация идет на вид вызова, который будет обслуживаться первым;

4)разогрев смешанного типа и др. (см. [95]).

Заметим, что разогрев прибора можно рассматривать как обслуживание

вызова специального вида, который поступает

в систему одновременно с обыч­

ными вызовами и обслуживается только в том случае,

если прибор

был отклю­

чен и не может приступить к обслуживанию обычных

вызовов. При

этом разо­

грев может состоять из нескольких этапов, так

же как

и обслуживание обычных

вызовов.

 

 

 

Рассмотрим два вида разогрева: общий разогрев и разогрев

смешанного типа, когда после общего разогрева начинается спе­ циализированный разогрев, вызываемый вызовом наивысшего приоритета из находящихся в бункере к моменту окончания обще­ го разогрева. В соответствии с этим будем рассматривать две системы обслуживания:

304

систему 1у с общим разогревом

и

 

 

 

 

 

 

систему 2у с разогревом

смешанного

типа.

 

 

 

 

Общий разогрев

прибора

начинается

при поступлении

в сво­

бодную систему вызова и длится случайное

время

ту

(преобразо­

вание Лапласа—Стилтьеса от функции распределения

 

случайной

величины

ту обозначим через

у ( s ) ) .

В

течение

этого

времени

в систему

могут поступать

и другие

вызовы, все они скапливаются

в бункере. После окончания общего разогрева

в бункере

выделяет­

ся вызов наивысшего приоритета из находящихся в системе

(пусть

это будет

вызов вида k) и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в

системе

1у этот

вызов

поступает обслуживаться

на прибор;

в

системе

2у

начинается

специализированный

разогрев

(ви­

да k),

который

длится случайное время хук

(преобразование

Лап­

ласа—Стилтьеса

от функции

распределения

случайной

величины

TYfc обозначим через yft(s)); после окончания

специализированного

разогрева

начинается

обслуживание

выделенного

вызова, незави­

симо от того, какие вызовы к этому времени находятся в системе.

Организация разогрева прибора в системе 1у достаточно проста и естественна; в системе 2у — это один из множества воз­

можных способов организации более сложных разогревов

(настро­

ек)

прибора, он нами

выбран

для

иллюстрации

преодоления

трудностей

при исследовании такой системы.

 

 

 

 

Проследим теперь, какие изменения внесет рассмотрение та­

ких

типов

разогревов

в характеристики системы,

найденные в

главе 10.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Период занятости системы теперь можно представить состоя­

щим из двух интервалов времени: периода разогрева

прибора и

периода занятости

системы обслуживанием.

Введенные в

первой

главе обозначения

и найденные

там

значения

для преобразования

Лапласа—Стилтьеса от функций распределения периода занятости

системы

различными

совокупностями

вызовов я (s), Jtfc(s),

І Ш ( А ) ,

JtftV (s)) сохраним за

соответствующими преобразованиями

периода

занятости

системы

обслуживанием.

Для

преобразования

Лапласа—Стилтьеса

от функции распределения

периода занятости

системы введем обозначение ny(s).

 

 

 

Под периодом занятости системы вызовами вида k и более высокого приоритета будем понимать интервал времени с момента поступления в свободную систему вызова вида k или более высо­ кого приоритета до первого момента освобождения системы от вызовов приоритета k и более высокого приоритета. Преобразова­ ние Лапласа—Стилтьеса от функции распределения периода заня­ тости системы вызовами вида k и более высокого приоритета обозначим через ЯЙУ(А), тогда

щ (s) = n N y (s).

Имеют место следующие

утверждения:

20 Зак. 64

305

Т е о р е м а

1.

Для

всех

схем

обслуживания

в

системе

Іу

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

якУ

(s)

=

(s)) nk

(s),

 

 

 

 

 

 

 

 

0f e (s) =

s +

ofe — oknk(s);

 

 

(1.1)

б)

первые

два

момента

равны

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nk\l

 

 

= Yl [1 -

Г O-feKfti] +

Ям,

 

 

 

 

я*Ѵг = Y 2 1 1

+

ovtfti]2 +

2 я ы

• Yx [1 + ovifei] -r J t f e 2 .

 

Т е о р е м а

Г.

Для

всех

схеж обслуживания

в

системе

2у

 

 

 

 

k

 

 

 

 

i—l

 

 

 

 

 

 

 

а)

оклку

(s) =

2

аспкі

 

(s)

{2

[Y (s +

Ofe — ovtft (s) K' )—

 

 

 

 

 

i=i

 

 

 

 

/=i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

Y (s +

ok

-

 

c r A (s) |/+«)] Y } -

(в* (s)) +

 

 

(1.1')

 

 

 

-f- y(s

+

 

ok — Gknk (s) JO Y; (6f c (s)) j

;

 

 

 

 

 

 

 

©fc

(s) =

s +

0f e

—af e nf t (s);

 

 

 

б)

для первого

момента

справедливо

 

соотношение

 

 

 

 

°№Yi =

 

о ѵ % + о-feYi П +

ОкЩі]

+

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

i—l

 

 

 

 

 

 

 

 

+

[1 +

<х*ям] Ja,

 

 

 

 

[Y (O-/-0 — Y (<*,•)] Y/i +

Y ( O f - i ) Yn}.

 

 

 

 

i=l

 

 

 

/=1

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Порядок

обслуживания

предполагаем

инверсионным. Введем дополнительное событие. Рассмотрим по­ ступление в систему пуассонового потока катастроф с параметром s>0, а вызовы будем различать на стандартные и нестандартные. Стандартным вызовом назовем вызов, для которого за связанный с ним период занятости системы обслуживаем вызов вида k и бо­ лее высокого приоритета катастрофа не произойдет. Вероятность того, что произвольный вызов вида k или более высокого приори­

тета

из поступающих

в

систему

является

стандартным,

рав­

на

nh(s).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда справедливость (1.1) подтверждается следующими рас­

суждениями: пусть за

период

занятости

системы вызовами

вида k

и более высокого приоритета

катастрофа не

произошла

(вероят­

ность

nk\{s)).

Для этого

необходимо и

достаточно, чтобы

посту­

пивший в свободную

систему

вызов

вида k

или более

высокого

приоритета

был стандартным

вызовом

(вероятность Я & ( А ) )

и за

время общего разогрева прибора не произошла катастрофа и в си­

стему поступили разве лишь стандартные

вызовы вида k и более

высокого приоритета (вероятность Y ( S +

Gk—Gkn(s))).

306

 

Справедливость

(1.1')

следует

из

следующих

рассуждений.

 

Пусть за период занятости системы вызовами вида k и более

высокого

 

приоритета

катастрофа

не

произошла

 

(вероятность

nh.y(s)).

 

Для этого

необходимо

и

достаточно,

чтобы

произошли

следующие события при поступлении в свободную систему

одного

из вызовов

вида

1, k

(вероятность

поступления

вызова

вида

і

рав­

на

—— I ; если

в

свободную

систему

поступил

вызов вида

і,

то

 

<*k )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nui(s)),

 

 

 

 

 

 

 

это стандартный

вызов вида і

(вероятность

и

 

 

 

 

 

 

либо

за время

общего

разогрева

не произошла

катастрофа

и

в систему поступили стандартные вызовы вида

/ ( / = 1 ,

і—1) и раз­

ве лишь стандартные вызовы приоритета

ниже, чем вызов

вида /

(вероятность

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[у (s +

G f e

— oknk

(s) К) — y (s +

O f t — oknk

(s)

I'- 1 )]),

 

 

 

 

и за специализированный

разогрев

вида / не произошла

катастро­

фа и в систему поступили разве лишь стандартные

вызовы

(веро­

ятность

УІ (S + Oh— OfcJlft

 

(s))),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

либо

за время

общего

разогрева

 

не произошла

катастрофа

и в систему поступили разве лишь стандартные

вызовы

приорите­

та

не выше,

чем вызов вида

і

(вероятность

y(s + Oh—ovMs)

|*)),

и

за время

специализированного

разогрева

типа

і

не произошла

катастрофа и в систему поступили разве лишь

стандартные

 

вызо­

вы

(вероятность yi{s +

 

Oh—Oknk(s)).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нахождение моментов теперь представляет чисто технические

трудности

определения

значений производных.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Число

обслуженных

за

период

занятости

системы

вызовов.

Сохраним

обозначения

и результаты

§ 7 гл. 10 за

соответствую­

щими характеристиками

периода

занятости

системы

 

обслужи­

ванием

 

 

вызовов

вида

k

и

более высокого

приоритета

 

 

Fk(x),

Фк(х), ^к(х). Для

аналогичных

функций, характеризующих пе­

риод занятости системы в целом, будем использовать

обозначения

FfcY(x), ФкѴ(*),

 

^иУІх).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда справедливы теоремы:

 

 

 

 

 

в системе Іу

 

 

 

Т е о р е м а

2.

Для

всех схем обслуживания

 

 

 

а)

производящая

 

функция

распределения

 

числа

вызовов,

 

по­

ступивших

в

систему

за

период

занятости

системы

вызовами

ви­

да k и более

высокого

 

приоритета

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фку(х)

= ФцУ(.Х„

... , Хц),

 

 

 

 

 

 

 

 

определяется

соотношением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фку(х)

= Фк{х).у(а

— акФк(х)

— о*+1 х);

 

 

 

(1.2)

 

б)

среднее

число

вызовов

 

вида

і,

поступающих

в систему

за

период

занятости системы

вызовами

вида k и более

 

высокого

 

прио­

ритета,

 

равно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

307

 

 

 

j

^

 

=

j

^ ä _ [

1

+

a 4

Y i

b

 

i < k

t

 

 

 

 

 

 

 

axi

 

 

 

dxi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

axi

 

 

dxi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

2'.

Для

всех

схем

 

обслуживания

в

системе

2у

 

а)

производящая

функция

распределения

числа

вызовов,

по­

ступивших

в

систему

за

 

период

занятости

системы

вызовами

ви­

да k и

более

 

высокого

приоритета

 

Фну{х),

определяется

соотно­

шением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

t—1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

okOky

(x) =

£

а,Фк (x) {£

[Y

(a — а£ ФЕ (x) — а ^ 1

x) —

 

 

 

 

 

 

 

i = l

 

 

 

/=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

Y (a -

 

аІ + 1

Фк

(x) -

o*+' x)] y, (a -

akOk (x) -

 

x) +

 

 

 

+

Y (a — аІ Фк

(x) — afe+> x) yt

(a — с й Ф к (x) — o^1

x)j ;

 

 

б)

среднее

число

вызовов

вида

і,

поступивших

в

систему

за

период

занятости системы

вызовами

 

вида

k и более высокого

прио­

ритета,

равно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

axi

 

 

 

oxi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j ^

=

j^m_[l

+ a^i] + a-kt

 

 

i>kt

 

 

 

 

 

 

 

oxi

 

axL-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yk

= Yi + £

—

{ £

Уи

[У

 

 

-

Y (<*,)] +

Ъі У

 

fo-i)}.

 

 

 

 

 

 

i = l

° K

/=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С л е д с т в и е .

Для

всех

схем

 

обслуживания

производящие

функции

распределений:

 

Fyu(x)

—

числа

вызовов,

обслуженных

за период занятости системы вызовами вида k и более высокого приоритета; и Wyk(x) — числа вызовов, остающихся в системе после окончания периода занятости системы вызовами вида k и более высокого приоритета, определяются из следующих соот­ ношений:

Fky(x)

= <bky(x, F " * ) ;

yyky(x)

= Oky(ïk,

x).

Д о к а з а т е л ь с т в о представляет

собой повторение рассуж­

дений, приведенных при выводе соответствующих соотношений в § 7 гл. 10 и (1.1) настоящего параграфа.

308

Приведем обоснование справедливости только соотношения (1.2). Произ­

вольный вызов

вида і

считается

красным с вероятностью

ХІ независимо

от цвета

остальных вызовов. Кроме того,

среди

красных

вызовов

вида

1, 2,

k

выделим

темно-красные

вызовы,

т. е. вызовы,

которые

сами красные

и за

вызываемый

ими период занятости системы обслуживанием вызовов вида k и более высокого

приоритета в

систему поступают

разве лишь красные

вызовы. Вероятность

того,

что произвольный

вызов вида

1, k есть темно-красный

вызов,

равна

Фк(х)

независимо от цвета остальных вызовов.

 

 

 

 

k

 

 

Тогда пусть за период занятости системы вызовами

вида

и более

высо­

кого приоритета

в

систему поступили разве лишь красные

вызовы (вероятность

Фку(х)).

Для

этого

необходимо

и

достаточно,

чтобы поступивший

в свободную

систему

вызов

вида

k

или более

высокого приоритета

был темно-красным

(ве­

роятность Фк(х))

и

за

время

общего

разогрева

в

систему

поступили разве

лишь

темно-красные

вызовы

вида

Ц

и

разве лишь

красные

вызовы

вида А + 1 , N

(вероятность у (а—ОкФк

(Х) — a h + i x )

) .

 

 

 

 

 

 

 

Вложенная

цепь Маркова. При выводе условий

существования

стационарного распределения вложенной марковской цепи изме­

нения для наших

систем коснутся только

вывода соотношения,

соответствующего

(8.1) гл. 10. Проведем его

вывод.

Для системы

Іу; если начальное состояние системы s = s(v; 0),

т. е. система свободна от вызовов, то среднее время, необходимое для обслуживания очереди, получающейся после одного шага, равно

i—l

+ 2

PNI

a

где

N

dbj (s)

 

 

 

 

 

' « , 1 ) (b(s))

 

• j

y (a — a'b

(s))-

 

ds

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[Y ( a - °'Ь(s))-У

(a-

<У+Х b(s))]

 

(b («))

}t=0

 

Ь,- (s)

 

 

 

 

 

 

N

 

 

M"

dG,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ Y I P ^ + £ < 7 * { Y ( < ^ ) [ £

 

VA) (î)

 

 

az.,

 

 

1=1

 

 

v = l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£ [Y ( 0 7 - 1 ) - Y

( M

[E

dQ(/,i)(l)

 

 

(1.3)

az..

 

 

 

 

/=1

 

v = l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

a'b (s)

£

akbk(s),

 

 

 

 

fe= i

Gv (ô(s)) = Gv (61 (s),

62 (s), . .

k*=(s)).

и, следовательно,

 

 

 

£ « <

+ ° ° .

s = s(v;

0),

<2»1

 

 

 

если конечны моменты ôv i,

ѵ = 1,

^ и ^

 

309

Таким образом, в системе Іу существует стационарное рас­ пределение, если

 

N

 

 

 

 

 

 

£ а А

і

< 1 ,

 

(1.4)

ô v l <

+ oo,

v =

ï ^ > ,

Y i < + oo.

(1-5)

Для системы 2у,

если s =

s(v;

0),

то

 

N

= - L <*< 1 7 È < ( S ) V(a - o b ( s ) ) +

+

g h С - ^

» ) -

V (a -

o>* 6 (s))]

Ѵ П° - °М*))%,, <•>(*))

j

_

 

/=1

 

 

 

 

 

 

 

 

'

S

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

dG

 

(ï)

 

 

 

 

a

+

YiPAfi

+

{ Y ( * - 0

[ Y * I P " I +

S

—

^

*vi -

ôn

 

 

 

 

г=і

 

~

 

v = i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

i—1

 

 

 

M°

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

2 [Y

-

Y (a,)] [ y,**!

+ J]

a ° ^ )

( 1 )

ftvi - * *

]

}

(1.3')

 

 

 

/=1

 

 

 

v = l

 

 

 

 

 

 

 

и,

следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J]<7s^ < + ° ° .

s =

s(v;

0),

 

 

 

 

 

если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ô v i <

+ oo,

x=\,JF>,

 

Y i < +

° ° .

 

 

 

 

 

 

 

 

Yfei < +

° ° .

k = l ,

N,

 

 

 

 

 

 

а система 2Y имеет стационарное распределение, если дополнительно

N

£афк\<: 1.

Доказательство соотношений (1.3) и (1.3') можно проверить

стандартными

рассуждениями.

 

 

Длина очереди. При выводе соотношений

для

определения

производящих

функций длины очереди: Pn(z)

в n-й

марковский

момент и Р(г) в стационарном режиме использовалась произво-

310

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности