книги из ГПНТБ / Приоритетные системы обслуживания

4'v-1 m(z) =

G | i ( Y v - n ( z ) , ^ - 1 2 ( 2 ) , . . . ,

Y v _ l v _ i ( 2 ) ,

г*--ѵ+>),

LI =

1,

V — 1 .

Для более

компактной записи

формул

введем обозначение для

вектора

(ЧѴ-п (г),

¥ v _ 1 2 ( z ) , . . .

,

ѵ _ , (г), z^-v+i) =

( . v ) .

Тогда ( 9 . 7 ) после

подстановки

примет вид:

Р ( 0 ) [ Я ( - Ѵ ) - 1 ] -

2J

G

(г) ^ - S t - v ) l

G v (г)

z v - G v ( . v )

| z | < l ,

v = 1, -#>.

При

последнем

преобразовании

мы

вновь

воспользовались

тем, что

^

^ ^ не зависит от первых ѵ—1 координат.

Таким

образом

шаг за шагом для р. = JV, 2

можно

опреде­

лить Рѵ (z) из (9 . 8 ) через константу

Р(0).

Выражение для P\{z)

можно получить на

последнем шаге

непосредственно из

( 9 . 7 ) .

1 - G ( \ v - \ z v , ï ^ - v )

д

hm

Hm zv

°v('

. »v.

L

^ ^ G v C O - l ,

г ѵ ^ 1 - 0

1 — Z v

dzv

l i m

- R f l V - '

^ Г

" ' - '

, - - ä - g ( T ) .

z v - » l - 0

1 — Z v

ÔZ V

19*

291

Р (0) =

Ѵ '

!

•

(9.9)

Si7-*(T>= £ "='•

( 9 Л 0 >

V=I

i = l

По

результатам

лемм la, lo, le

§ 6 нам

известно

значение

для

М°

N

s— dz

I

іші

J

v=i

i=i

1.

оЛГ.

Найдем

P l i ( l ) , p =

1, Л®.

системы

при

Так как мы исследуем стационарный режим работы

условии,

что

РАѴ^-Ф1—.

[(9.12)

S*,

Значения К*

можно

определить

из

системы

уравнений,

v ~ ( n ,

р):

а)

для

абсолютного

приоритета

К(я.Ѵ) = aqn = an,

#</»,!') =

[-K(n.i) +

#<».i')]

I 1

— ß(/»,i) ( a « - i)]

= о я

ß ( / 1 ,

\an_{) ~~ 1 ] '

К(п,2)

= [К(п,\) +

К(п,\')]

ß(n,l) (0"л-і)

К(п,2)

[1 — ß(rt,2) (On-l)]

=

( a n - l ) '

ß(n,2)

A^i, p) = K(n,p—\)

ß(n,p—1) (0*я—l)

+

К(п,\)

= ап,

n=l,

N,

1

— 1

К(п,\') — ап

ß(n,l) taf[(ra,l)3—1 )

ß(n,p) (стЩп,р)]-1 )

-, Р > 2

Итак, учитывая

последние

рассуждения и (9.9) — (9.12),

можно определить Р ѵ

(1) и P(Ö).

Если обозначить для схем обслуживания

а)

с абсолютным

приоритетом

N

(9.13а)

і=1

р=Л

ßa.p) К - і )

б)

с относительным приоритетом

N

[(9.13о)

1=1

в) со смешанным

приоритетом

N

гі

(9.13с)

f=i

р—\

W.PÏ1-V

Л * . » 0 ) = - £ - .

(9.15)

Таким

образом, доказано, что соотношения

(9.1),

(9.3),

(9.4),

(9.6) определяют

единственным

образом

функции P^(z),

ѵ = 1,

| z | ^ l

, значения

которых

можно

определить

последовательно шаг

за шагом при v = <#>, 1 из формул

(9.8),

(9.13),

(9.14).

Из теоремы о неявной функции в векторной

форме, применен­

ной к

системе

уравнений

(9.8),

легко

проверить,

что

Pv(z),

v=l,Jß

— аналитические

функции в области

| z | < l .

§

10. Время ожидания

до первого

поступления

на

обслуживание

А. Перейдем теперь к определению времени ожидания перво­

го поступления на обслуживание

вызовами

вида

k. При этом су­

щественно

различать вызовы типа

{k, 1) и вызовы типа

(k, 1').

Пусть

û)ftn(s)

есть

преобразование

Лапласа—Стилтьеса от

Whn{t)

— функции распределения

времени

ожидания

первого

поступления на обслуживание

п-го вызова вида

k

(нумерация

вызовов введена

в соответствии

с последовательными

марковски­

ми моментами). Под временем

ожидания

первого

поступления

на

обслуживание

мы понимаем интервал

времени

с момента

поступ­

ления

вызова

в систему и до первого

момента,

когда

он поступит

P ( f c , l ) n (l , 2 V , 1

) =

= P(Km(ï)akn(ak~akzv)

G V ( T V _ 1 , zv , Г*°~ѵ),

(10.1)

0 < z v < l ,

v ~ ( f c, 1).

Пусть п-й вызов есть вызов типа

ѵ — (k, 1) и

все

вызовы

ти­

па v,

оставшиеся в

системе после

окончания

периода

занятости

прибора л-м вызовом,

—красные

(вероятность 'Р(Й І І)Л(1 ѵ ~ 1 ,

ZV;

l 1

* " - v ) .

Для этого необходимо и достаточно,

чтобы

п-й

вызов

был

вызовом

типа

(k,

1) (вероятность P ( f e i) r t (l)), за

время

ожидания

начала

обслу­

живания этого вызова в систему не поступали

синие вызовы

вида k

(вероятность

a>kn (ak — akzv)

и за период занятости

прибора

этим

вы­

зовом

в систему не

поступали

синие

вызовы

типа ѵ

(вероятность

Gv Оv

~ \

Zv, F - v ) ) .

Таким

образом,

мы

убедились

в справедливости

(10.1)

для

0 ^ 2 Ѵ ^

1, ѵ = 1, JV°,

но эта формула

справедлива

и для

| г | ^ 1 , т а к

области. Она

позволяет

совместно с (9.5) рекуррентным образом

определять соь„(аА —ah zv ), ѵ~-(£, 1), a следовательно, и

(ùkn

(s), при zv ^

1 — a7*"1 s,

I 1 •— аГ1

s I <

1.

N

ak

bkl

<C 1,

Если ^

то

существует

стационарное

распределение,

и, учитывая

(9.2)

и

(9.3), выводим из

(10.1), что

существует предел

lim

(ùkn

(ak — akzv)~

ak (ak —

akzv),

П~>оо

| z v i < l ,

(10.2)

и

Р ѵ ( Г - \ гѵ , Т ж ~ ѵ ) =

=

P (ï) (ûk

(ak — ak zv )

Gv

( T v _ 1 , zv ,

~V

~v),

| z v | < l ,

v ~ ( Ä , 1).

(10.3)

Кроме

того,

можно

заметить,

что СО^(-Г-0) = 1, откуда следует,

первого поступления на обслуживание в установившемся

режиме

и coft(s) есть значение преобразования Лапласа—Стилтьеса

такого

распределения. Определим cöft(s) из (10.3):

<м*) = —

' t —— t

'

•

(1 0 -4 )

Р , ( 1 ) 0 , ( Г ' , l - a ^ s , l ^ ~ v )

I 1 — aT1 s | < 1 , v ~ ( & , 1).

Положим -

Zp, = 1,

LI >

v, zv

= 1 — a~'

s,

Zp, =

^ ѵ - і ц (1 — (h1

s,

T°*°_ v ) =

яѵ _іц (s) =

n f e _ i i | X

(s),

L l < V ,

\~(k,

1).

p

(z)

p

n i

_

S<z>

GM (1)

для рассматриваемой

системы

/?( . ѵ ) —

1 =

— a-^s

+ CTfe-i — 0 f e _ i

itf e _,(s)).

(10.6)

Теперь из

(10.4)

с

учетом

(10.5), (10.6)

и из

(9.8)

можно за­

писать

и

(s)

=

_ а ' 1 Р ( 0 ) [s-r-0-fe-i — o-fe.! flfe-i(s)] j

+

k

a" 1

P v ( " l ) { s - a f t [ l - G ( - v ) ] }

^

^=ѵ+'

)

v

~(k,

1).

a"1

P v ( f ) { s - a / k [ l - G ( 4 ) ] }

Определим

окончательный

вид

m{s)

для

каждой

из схем,

при этом сохраним обозначения § 3, 5.

Б. Для абсолютного приоритета

l _ G v ( . v ) = = l - Ä Ä ( s ) ,

07-1

ц > ѵ ,

ѵ ~ ( £ , 1),

р),

/ > £ ,

поэтому,

принимая

во

внимание

(9.14), (9.15) и

(9.16),

получаем

из (10.7)

N

PJV f e f t - i (S )J + ®k-1 (s)

2

а л 6 « і

coÄ(s) =

5 ^ ± î

,

где

s—ak[\—hk{s)]

TV

PN = l — pwi = l — E

a / A i »

/1=1

Ѳ/г-l (S) = S -I- 0f e _i —

0f t _i

Я й

_ і (S).

Следовательно,

справедлива

Т е о р е м а

а.

Для

схемы

обслуживания

с абсолютным

при-

к

оритетом,

если

^

апЬп1

< 1,

т о

lim r f c n ( 0 = ^ ( 0 ,

eôe №f t (r) есть функция

распределения;

б)

значения

преобразования

Лапласа—Стилтьеса

функции

распределения

Wk{t)

времени

ожидания

до

первого

поступления

на прибор

вызовом

вида

k в установившемся

режиме

определяются

по

формуле

k

[ l

—

2

"«

bm]

[S +

Öft-i — O-ft.j Jtfc-x (s)]

G V ( S )

=

2=1

,

(10.8.a)

в)

первый

момент

функции

распределения

Wk(t)

равен

В. Для относительного

приоритета

1 — Gß

( • v) = 1 — ßn (s -f- o-fe_i — af c _i я А _ і (s)),

p >

V,

1 - G V ( . V ) = 1 - ^ ( 0 ^ , ( 5 ) ) ,

v ~ ( i , l ) ,

поэтому,

приняв

во

внимание

(9.14),

(9.15)

и (9.16о), получаем

из

(10.7):

PN

&k-i(s)+

2

an

2 n - ß < „ , P

)

( Ю . 8 . о )

а - а л П - Ы в * . ^ ) ]

Таким образом,

справедлива

Т е о р е м а

о.

Для

схемы

обслуживания

с

относительным

приоритетом,

если

и

ап

Ьп1<СІ,

то

л.=1

а)

существует

предел

Wkn{t)

=

Wk{t),

lim

где

Wk(t)

есть функция

распределения;

функции

б)

значения

преобразования

Лапласа—Стилтьеса

распределения

Wk(t)

времени

ожидания

до

первого

поступления

на

прибор

вызовом

вида

k

в

установившемся

режиме

определя­

ются по формуле

(10.8.О);

в)

первые

два момента

функции

распределения

Wk(t)

равны

n=k+\

p = l

N

r

- l

1

Г

X an

У [ß(rt,p)2 6(n,p+i)i + ß(n.p)ily/ ,+i)2]]

"k2

_ 2

Pm — 3

+

3pfe_l'Pft

n=ft+l

p=l

N

г„—\

Pki

I

Pft-12

PN2 — 2

2 a«

2

ß(n,P)l V ,P+1)1

Г. Для

смешанного приоритета

l — G v ( . v )

= i — Ä f t (s),

V

~ (

Ä ,

l ) ;

1 — G^(-v) =

1 — ßn (Ѳ*_, (s)) я.

'«>

(s),

р ~ ( я ,

p),

т ~ ( / г ,

p - I - 1), f x > v ,

i[\x]

--= 1,

т < ѵ ;

1 — оц ( •v ) =

1 — ßn (s -j

0 f e _ i — Oft-! я* _ і (s) j'M) nkJu

(p, rn) (s)

- [1 - P j l

(s +

-

(s)

q

f e - l J

t f e - l (

S ) |

^ - ' T .

s +

°k-i — Ofe-l i t f t . i ( s ) | i [ t l 1

f i > v ,

1 < г ' [ р , ] < & ,

т > ѵ ;

в,,А

, f.sï

Г

і Г[ | .А,] ,

. П _

й

_

1Tт 1 _ (

,

r„)(s)

l - G ^ . ^ t l - ß ^ M - . ) ]

Ѳ

. ! (s)— а

_ !

[1 — я

( р

f i > v ,

і [ ц ] > / г ,

т < ѵ ;

1 - о | і ( - ѵ ) ^ [ 1 - Р й ( а а д - і

)]• ef e .i(s)

СТ»[Ц]-1

p > v ,

t'[p,]>Â,

т > ѵ ;

ѲА _] (s) =

s

+

G A _

i — ok-X

щ-і (s).

Следовательно, принимая

во

внимание

(9.13.с),

(9.14),

(9.15)

и

(9.16.с), получаем

из (10.7)

{pN®k-i(s)+

2

W ,

l t ( ï ) f l - G ( l ( - V ) ] }

м*)

=

— ,

"=vt!

Г Г ^

•

( 1 0 - 8

X )

{s

—

ak[l—hk(s)]}

Итак,

справедлива

Т е о р е м а

с.

Для

схемы

обслуживания

со

смешанным

при-

k

оритетом,

если

апЬп1

<

1,

то

а)

существует

предел

lim Wkn(t)

=

Wk{t),

где

Wk(t)

есть функция

распределения;

функции

б)

значения

преобразования

Лапласа—Стилтьеса

распределения

Wk(t)

времени ожидания до первого

поступления

на

прибор

вызовом

вида k в установившемся

режиме

определяют­

ся по формуле

(Ю.8.С.);

в)

первый

момент

функции

распределения

Wh(t)

равен

N

гп

PfcH-

2

an

n=k+\

p=\

Л< = 0,

Ц < ѵ ,

|д — (я. p), т ~ ( п , р

-i-1),

v ~ ( M ) ,

Рад-і

,

C ^

/ P ' M - i

. ( 1 _ ô ( p , r j ) ô t i

L ° < [ ц ] - і

Рц К[ц] - і

) V а « ' [ ц ] - і

+ ( 1 - о ( р , Г я ) )

H > v ,

1 <

t [u.] < £,

т < ѵ ,

Mk

= 2 Pttul-t

['

C n

,_

ц < ѵ ,

1 < і [ р ] < / г ,

x>v ,

=

(1 — 6(p, r j ) лх 2 , д > ѵ , г [ д ] > & , т > ѵ ,

Л # = 0, д > ѵ ,

І [ Ц ] > А ,

т > ѵ ,

ч

h(l,q)2 — b(l,q)2

£

&(1,Р)> В* =

0> 1 [ Х ] = 1 >

Рассмотрим время полного

обслуживания вызова вида

k, т. е.

интервал времени с момента

первого поступления

вызова

на об­

служивание до того момента,

когда вызов покинет

систему.

Пусть

Т е о р е м а

а.

Для

схемы

обслуживания

с

абсолютным

приоритетом

dk (s ) =

П

ß(fe.p> (s + a *-»)

8 +

ak-\

h-\

(s) + 0 fe-l *k-\

(s) P»,p) (s

+ °k-\)

первые два

момента

при

рь _ц<1

равны

d

-

b k l

" A I —

"t- % , P ) 1 ( n 3

"T"

І

2

)