книги из ГПНТБ / Приоритетные системы обслуживания

в)

при ß ß i ^ l ф(2,

s)

представима

в

виде

оо

ф(г,

s).-. ^ег**аФ(г,

t),

о

где Ф(г,

t) —неубывающая

по t функция

и

Ф ( 1 , + оо) = 1.

периоде занятости до этого момента

обслуживались

лишь

красные

вызовы и не наступала катастрофа.

Сумму всех

таких

вероятно­

стей для одного периода занятости

обозначим через

p(z,

0,

5).

Л е м м а . Имеет место

равенство

Р(?, 0, s) —

* ( ? - »

( Д ' 8 ) .

' * І < 1 .

R e s > ° -

(б-З)

1 — zß(s)

Д о к а з а т е л ь с т в о

л е м м ы .

Для того чтобы читатель при­

вык к нашим рассуждениям, докажем

формулу

(5.3).

Величина

2ß (s) •— есть вероятность

того, что

в

момент окончания

обслужи­

вания первого вызова были обслужены лишь красные

вызовы

(т. е.

сам первый вызов является красным)

и за время

обслуживания

первого вызова катастрофа не наступила.

Величина p(z,

0, s)zß(s)—сумма

вероятностей

того,

что к

0-моментам внутри

периода занятости

были обслужены лишь

крас­

обслуживания следующего

вызова,

являющегося

красным.

Иными словами,

p(z, 0,

s)zß(s)

есть сумма

вероятностей

того,

что, начиная с момента окончания

второго обслуживаемого вызова

в периоде занятости

(если

за период

занятости

было

обслужено

не менее двух вызовов), к 0-моментам

были обслужены

лишь

крас­

ные вызовы и не наступали

катастрофы.

Тогда zß(s)+p(z,

О, s)zß(s)

есть

сумма

вероятностей

того,

зовов

(считаем и эти вызовы)

обслуживались

лишь

красные

вызо­

вы и не наступала

катастрофа.

Теперь легко

видеть, что

р (г, О,

s) = 2ß (s)

- I -

р (z, 0,

s) zß (s)

- ф(2, s).

(5.4)

Величина

ф(г, s)

появляется

в правой

части

(5.4), так как

в

левой

части

p(z,

0, s) есть сумма

вероятностей в

0-моменты

внутри

пе­

риода

занятости,

а ф(2, s)

относится

к концу

периода

занятости.

Соотношения (5.3)

и (5.4) эквивалентны.

В. Формулировка результата. Обозначим

через

Pk(x,

t)dx

ве­

роятность

того, что к моменту

времени

t в периоде

занятости,

дли-

тельность которого больше t, обслужено

k вызовов и с последнего

0-момента прошло

время х. Нас интересует вероятность

00

Р* (0

j'Pf e (*,

t)dx.

(5.5)

ô

Положим

Р(г,

X,

t) =

£

p*(*-

P(z,

0 =

£ P*(')z*.

| г ; < 1 ;

(5.6)

00

p (г,

*,

s) =

J' e~st P (z,

X,

t) dt\

(5.7)

ô

oo

p(z,

s) =

je~ s 'P(z ,

t)dt.

(5.8)

о

Очевидно, что

00

p (z,

s) =

j " p (z,

X,

s) dx.

о

Т е о р е м а

2.

a)

p(z, x,

s) вычисляется

из

соотношения

p (z,

x,s)=--[\-B

(x)} er"

1

~ ф { г

' 8

}

,

(5.9)

1 — zß (s)

j z | < l ;

R e s > 0 ;

б)

производящая

функция

P( z,

t)

числа

обслуженных

к мо­

менту

t в периоде

занятости

вызовов

определяется

своим

преобра­

зованием

Лапласа

p

[ z , s

) =

± =

m .

'

-

Ф

^

,

| z | < l ,

R e s > 0 .

(5.10)

s

1 —zp (s)

Здесь

ф(г, s)

задается

теоремой

1.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

sp(z,

x,

s)dx-—вероятность того,

что в

периоде

занятости

первая

катастрофа наступила

в

момент,

когда

с последнего О-момента прошло время х и были обслужены

лишь

красные

вызовы.

Первая катастрофа

может

наступить

или во время

обслужи­

вания первого вызова, когда с

начала

его обслуживания

прошло

время

x

(вероятность

{ 1 — В (x) ]e~sx)

; или во время

обслуживания

других вызовов в

этом же периоде занятости, когда все обслужив-

шиеся вызовы —

красные,

а с последнего О-момента прошло вре­

мя x (вероятность p(z, 0,

s)[l—В(x)]e~s x ).

§ 6. Виртуальная длина очереди

Основываясь на результатах § 4, очень легко

можно

получить

распределение

числа

вызовов в

системе

в

момент

времени

t.

А.

Обозначим

через

Р^(л',

t)dx

вероятность

того,

что

в

мо­

мент времени t в системе присутствуют k(k^0)

вызовов,

а

с

по­

следнего 0-момента прошло время х.

Положим

P*(z,

X,

s)

=-=

2

\ e~st*kix,

t)zkdt^--

j

e~stP{z,

x,

t)dt.

(6.1)

fe^OO

0

Теперь

sP*(z,

x,

s)dx

можно интерпретировать

как

вероятность

того, что первая катастрофа наступила в момент,

когда

все

вызо­

вы в системе

были

красными,

а

с последнего 0-момента

прошло

время

х.

Нас интересует

вероятность

р* (z,

s)

= JP*(2,

x, s)dx,

(6.2)

б

являющаяся преобразованием

Лапласа

от

fe>0 0

производящей функции числа вызовов в системе

в

момент

време­

ни t.

Б. Формулировка результата. Имеет место

Т е о р е м а ,

a)

P*(z,

x,

s)

удовлетворяет

следующему

соотно­

шению:

Р* (z,

x,

s)^[s-i-a

— an

(s)]-1

|(s +

a) e -<s +a >x +

а

[1 — В (x)]

x

X

2 -

Л (S)

g-ts+e-«)* \

(6.4)

1 — z ~ 1 ß ( s + a — а г )

J

| z | < l f

R e s > 0 ;

б)

в

частности,

распределение

длины

очереди

определяется

формулой

Р* (г,

s) ^ j Р* (г, X, s) dx

[s - j -

a —an

(s)]-1

x

о

x J l - ' a

i - H s + a-аг)

^

J - n ( s )

ï

(

6

i

s-i-a —az

1—г

'ß(s4-a — аг)

/

| z | < l ,

R e s > 0 ;

в)

средняя

длина

очереди в момент t задается

своим

преобра­

зованием

Лапласа

Pi(s):

ß(s)

1 — я (s)

^

^

Ö2

г=і

s2

s

1 — ß(s) s 4 - а — ая(«)

З а м е ч а н и е

1. Из

(6.6) можно

получить

главный

член

асимптотики

ве­

личины

sPi(s) разложением этой

функции

в

ряд по степеням

s. При

малых s

+

2 (

; ^

х ) .

(6.7)

Заметим,

что разложение

производилось при a ß i < l .

Когда

s \

О,

получаем

ста­

ционарное среднее число вызовов в системе.

В. Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м ы. Представим

(6.4) в

виде

sP* (z, x, s) dx — é~is+a)x

sdx 4 — -— sn (z, x, s) dx

+

s 4-a

— я (s) P* (z, x,

s) dx.

(6.8)

a

x,

s)

Отсюда

при подстановке значения

я (г,

из (4.6)

следует

(6.4). Теперь докажем

(6.8). Пусть

первая

катастрофа

наступила,

когда все вызовы в системе

оказались красными,

а

с

последнего

0-момента прошло время х (вероятность

sP*(z,

x,

s)dx).

Для это­

го необходимо и достаточно,

чтобы

либо

первая

катастрофа

наступила

в первом

же

промежутке

свободного состояния

прибора

в момент

времени

х

(вероятность

e-(s+a)xs

fa) .

либо

первый

период занятости

начался

раньше,

чем

наступи­

ла катастрофа (вероятность

— - — ) ,

и

первая

катастрофа

насту-

оказались красными,

а с последнего 0-момента прошло

время х

(вероятность sxc(z, x,

s)dx);

либо ни за первый промежуток свободного состояния

прибора,

ни за первый период

занятости не наступала катастрофа

(вероят­

н о с т ь — - — я (s)), а далее все начиналось как бы заново,

так как

[s Ar а

def

^

(6.9)

sP* (s) =

sP* (0, s) = s [s -{- a —an (s)]~].

§ 7. Возможное число обслуженных вызовов

А. Настоящий параграф является естественным

продолжением

менту оказались обслуженными лишь

красные

вызовы.

Нам нуж­

ны вероятности

Р А ( 0 того, что к моменту

t обслужены

k вызовов.

оо

Положим

Р*(Г > х< s)

— \ e-~siP(z, X, f)dt,

(7.1)

ô

оо

P(z, t)=

\Р(г,х,

t)dt,

(7.2)

о

оо

оо

Р* (z, s) ==

j" Р* (z, ж, s) dx -= j ' е- siP (z, t) dt.

(7.3)

ô

ô

Очевидно, что

Р ( г , 0 - = £ Р * ( ' ) 2 * .

(7-4)

Следовательно,

нам необходимо

найти P*(z, s). Тогда

(7.3)

задает P ( z , /)

и, разложив

P ( z , £) в ряд по степеням

z,

можно

получить искомые вероятности Р&(0-

Б. Формулировка результата. Верна

Т е о р е м а ,

a)

P * ( z , х,

s)

вычисляется

по

формуле

Р* (z, я, s) =

[s

L a — аф (z, s)]-1

|(s

- f a) e~<s+û)*

J .

+

a [

l - ß

W

] r

»

± ^ M

|

,

| 2 | < 1 , R e s > 0 ,

(7.5)

1 — zp (s)

j

где ф(г, s)

является

единственным

решением

функционального

уравнения

ф (z, s) = zß (s - l a — аф (z, s)),

в области

| z | < 1,

Re s > 0,

где выполнено

| ф (z, s) | <

1, a

ф (z, s)

представима

в

виде

ф(г,

s) =

j V s ' * D ( z ,

t)

(7.6)

6

{здесь

Ф (г, 0

неубывающая

функция

и

при a ß t

<

1 Ф ( 1 , о о )

=

1);

б)

в

частности,

?

(г, S )

[s + а -

аф (г, s)]"1

{ 1 !

а 1=Ш

.

'

"

^

f

j

,

(7.7)

I

s

1 — zp (s)

J

| г | < 1, R e s > 0 ;

в)

среднее

число вызовов, обслуженных

до момента

t,

задается

своим

преобразованием

Лапласа

рх

(s)

р

(s)

^

д/Г*(г, s )

I

_

JL

.

ß ( s )

s

l — я

(s)

^ 7

1

<Эг

'z=i

s

1 —• ß (s)

I a — а л (s)

З а м е ч а й

и е. Из (6.7)

следует, что при малых s

s*pt (s) = I -

faß! +

0

, , a 2 ß 2

R ,

W

o

(s).

(7.9)

V

2(1 — aßx)

/

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м ы .

Запишем

соотношение

sp*

(г,

Л;, 5) dx

=

e-<s+a>*sdA; -f • —

- — sp

(г,

х,

s) dx

-f-

a

ф (г, s) sp* (г, X, s) dx.

(7.10)

s-j-a

Легко заметить, что (7.5) и (7.10) эквивалентны,

если

обе

сторо­

ны (7.10) сократить на sdx и подставить значение

p(z,

х,

s)

из

(5.9) в

(7.10).

Теперь справедливость (7.10) вытекает из следующих сообра­

жений.

Пусть

первая

катастрофа

наступила, когда

с

последнего

0-момента прошло время х, а все обслуженные вызовы

оказались

красными

(вероятность

sp*(z,

х,

s)dx).

Для

этого необходимо

и

достаточно, чтобы

либо

первая

катастрофа

наступила в первом

же промежутке

свободного

состояния

прибора

(вероятность

e~<s+a'*s dx) ;

либо

вызов

поступил

раньше,

чем

наступила

катастрофа

(ве­

роятность — - — ) ; первая

же

катастрофа

наступила

в

первом

пе-

a +

s

/

риоде занятости, когда обслужились лишь красные

вызовы,

а

с

последнего 0-момента прошло время х (вероятность

sp(z,x,s)dx);

либо

ни за

первый

промежуток

простоя

прибора,

ни за

пер­

вый период

занятости

катастрофа

не наступила

(вероятность

— - —

ф (г, s) \

а далее, так как начинается

новый период

регене-

рации,

то

все

начинается

как

бы

заново

(вероятность

sp*(z,

X,

s)dx).

Величина p*(z, s) находится интегрированием

p*(z,

х,

s)

по х

от нуля до бесконечности.

п

до*

следует

заметить,

что

ф(1, s) =

При

вычислении

—

=n(s); р*(I, s)=s~l.

Для

упрощения

вычислений

рекомендуется

дифференцировать по z

не р*(z,

s), a [s + a—аф(г,

s)]p*(z,

s),

т. е.

обе части

выражения

[s

i- a — аф (z, s)

p"

z, s =

1 -|- a

^ .

^

' .

З а м е ч а н и е . Если

известно среднее число вызовов в системе

в

момент t,

то среднее число обслуженных к моменту t вызовов можно

определить

другим

путем. Среднее число вызовов в системе в момент t плюс среднее число

обслу­

женных за

время t есть

среднее

число

поступивших в систему вызовов за вре-

а

в

системе в момент t и числа обслуженных к моменту t вызовов.

Метод, использованный для их нахождения,

пригоден для вывода

в

преобразованиях Лапласа нестационарной

производящей функ­

ции числа вызовов в системе и числа обслуженных

вызовов.

А. Обозначения p(tn, п, х,

t)dxdt

— вероятность того, что в

момент времени t в системе m вызовов

обслужено

п вызовов, а с

последнего 0-момента прошло время х.

Составим производящую

функцию

P(y,z,x,t)=

£

р(т,

п, X, t) \f"#

(8.1)

И

P* (у, z, X, s) =

j

er-«P {y, z, X, t) dt;

(8.2)

о

P*(y, 2, s) == f P* {y, z, X, s) dx.

(8.3)

Каждый ожидающий или обслуживаемый

вызов считаем крас­

ным с вероятностью у(0^.у^.І),

а каждый обслуженный

— с ве­

роятностью

г ( О ^ г ^ І )

независимо от цвета

остальных

вызовов.

Пусть

независимо

от функционирования

системы

наступают

катастрофы, поток

которых — пуассоновый с параметром

s(s>0) .

Величина

sP*(y,

z,

x, s)dx

интерпретируется

как

вероятность

того, что первая

катастрофа наступила в момент, когда

как все

вызовы в системе, так и все обслуженные вызовы

оказались

крас­

ными, а с последнего 0-момента

прошло время х.

Обозначим через sn(y,

z, x,

s)dx

вероятность

того, что внутри

отдельно

взятого

периода

занятости

первая

катастрофа

насту­

пила в момент, когда все вызовы

(обслуженные

и находящиеся

в

системе)

красные,

а

с последнего

0-момента

прошло

время

х;

п(у, z, 0, s) — сумма

вероятностей

того, что внутри

периода

заня­

(обслуженные и находящиеся в системе)

красные,

а до этих мо­

ментов катастрофа не наступала.

Б. Формулировка результатов. Без доказательства

приведем

аналоги результатов,

приведенных

ранее,

например

в § 5, 7;

Л е м м а

1. я {у,

z, 0, s)

задается

формулой

l—zy

' ß ( s +

a — ay)

R e s > 0 ,

\y\<\,

| z | < l .

(8.4)

Л е м м а

2. a)

n(y, z,

x,

s)

определяется

из

соотношения

я (у, z, x, s)

-

[ 1 - Я ( x ) }

е-^+а-«у)*

• -

y ~ ^ Z ' S )

-, (8.5)

l

— zy

' ß ( s +

a

—a/y)

R e s > 0 , | y ! < 1, | z | < l ;

def

»

б) n (y, z, s) •= I я (y, z, x, s) dx -—

0

__

1 — ß (s -4- a — ay)

y — ф (г.

s)

- . R e s > 0 ,

\y\<\,

| 2 | < 1 .

s-\-a — ay

1—zy

_ l f t ,

,

'p(s [ a — az)

(8.6)

З а м е ч а н и е .

ф(г, s) определяется

из

(5.2). Заметим,

что

функциональ­

ное

уравнение

для ф(г, s) (см. (5.2))

можно получить

из

(8.4). При г/ = ф(г, s)

Т е о р е м а , a) Р*(у, z, x, s) вычисляется

по

формуле

Р* (у, г, x, s) = [s f а — аф (z,

s)]-1

|(s

-I a) e-<s+û>* - f

-\-al\-B(x)]eri*+°-y)*

y

~ * i Z ' S )

- 1 ,

(8.7)

l—zy

' ß ( s + a — ay)\

def

*

б) P* (y, z, s)

\ P* (y, z, X,

s) dx

=-

(s -[ -a

— аф (z, s ) ] - 1

x

о

X Us - f a) ér-<*+»>* -I a

f a - f l j /

) .

y^WLÛ

\ ( 8 . 8 )

l

s-j-a—a#

1—zy

ß ( s - f a — a</)J

R e s > 0 ,

\y\ <

1,

; z | < 1.

Обозначим

через

w(t)

время ожидания

начала обслужива­

ния вызовом, поступившим

в момент t:

со (s,

t) = Me-S t t '«>.

Пусть выполнено a ß i < l .

А. Прямой

порядок обслуживания. Верна

следующая

Т е о р е м а

1. а)

со (s,

t)

задается системой

уравнений

со (s, t) = Р 0 (t) + j

(y) j '

(ß (s), x, t) dx,

(9.1)

Re s > 0 .

PS (p) - f e-MP0 (0

= [p + a - an (p)]-

, Re p > 0;

(9.2)

def

1

= [p. + a — an (ц)]-1 — — — ^ — • e-(i*+e-«)*f

(9.3)

Re (x >

0;

oo

б) со* (s, p) =

^ ß-^со (s, 0

=

"o

[p +

a - йя ( p ) ] -

{ 1 +

fltP(')-"(y;

} ,

(9.4)

l

ц —- s + a — aß (s)

j

R e s > 0 , R e f i > 0 ;

в) существует

lim со (s, t)

--- lim |xco*(s, ц) — co(s)

u

to (s)

(1 -

aß,)

— .

(9.5)

s — a - f aß (s)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначим

через

Po (О

вероятность

то­

го, что в момент t

система свободна

от вызовов;

P(z, x,

t)dx

—

вероятность того, что в момент t в системе находятся лишь

крас­

ные вызовы, а с последнего 0-момента прошло время x;

[P(z,x,t)—

— Р(0, x,

t)]dx — вероятность

того,

что в момент t некий

вызов

обслуживается уже время х, а все вызовы в системе —

красные;

P(ß(s),A;, t)

— Р ( 0 , x,

t) ,

—t-LJ

—J

dx—

вероятность

того,

что в

момент

t

не­

кий вызов обслуживается уже время

х, а за

время

обслуживания

вызовов, ожидающих в момент і, катастрофа

не

наступала.

Теперь докажем справедливость

соотношения

со

;/

А

^

со (s, t) = Р 0 (0 -4- Г dß (у)

t е-*у-х)

О - Р ( 0 . * ,

О d

( 9 6

)

'

0

J

J

[1 - ß ( * ) ] ß ( s )

v

7

о

о

либо

в момент t

система была свободна (вероятность

PQ(t))\

либо

в момент t

некоторый вызов обслуживался уже время х;

V ~г

'

\—В(х)

Далее,

обозначено