книги из ГПНТБ / Приоритетные системы обслуживания

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Поступающие в систему вызовы

объяв­

ляются красными

либо синими. Произвольный вызов вида

і,

посту­

пивший в систему с вероятностью хи считается

красным

незави­

симо от цвета

остальных

вызовов. Тогда Фи{х)

— вероятность

высокого приоритета в систему поступят

разве лишь

красные

вызовы.

Так как

нас интересует характеристика периода

занятости

системы, то

можно считать, что существует

инверсионный порядок

занный с

ним

период

занятости

системы. В

таком

случае будем

различать

красные вызовы на темно-красные

и

светло-красные.

Темно-красными

будем

называть

такие вызовы, которые являются

поступят разве лишь красные

вызовы. Таким образом, Фь.(х)

мож­

но трактовать

как вероятность того, что произвольный

вызов

вида

1, k темно-красный, а Б^Л)(Фи(х)к,

х) — вероятность

того, что за

полное время

пребывания на

приборе вызова вида

і в систему

лишь темно-красные

вызовы вида 1, 2,

k

и разве лишь

красные

вызовы остальных видов

(вероятность

k

V - 2 - * , B f f i l ) ( ( M 3 * f

x).

Ä

J

Oft

1=1

Заметим, что

на ХІ, i = l , N

не

накладывалось никаких

ограниче­

ний,

кроме О ^ Х І ^ І .

Таким

образом,

(7.1)

имеет

место

для

всех

ХІ таких, что О ^ Х І ^ І .

Но производящие

функции

вероятностных

распределений

(если

их

рассматривать

как

степенной

ряд

с

неот­

рицательными

коэффициентами)

сходятся

в

области

|x|s £ ;l,

т. е.

для

всех хи t = l , N, таких, что

| X j | ^ l .

(7.1) относительно

Фк(х)

Докажем

разрешимость

уравнения

при

всех x,- таких, что

| Х І | ' < 1 .

ДЛЯ

ЭТОГО

рассмотрим

уравнение

k

г = V - f ï - x

Б ( М )

( ? ,

x).

(7.2)

i=l

k

-

-.

fi:'

x). I

\У«-I ХіБ,ІЛ)(г*,

I

Oft

<

1=1

fe

< У - ^

| ^ ! Б ( М ) ( | ? | * | * , )

Oft

1=1

=

S"o~

Б < м ) ( 1 А .

I ^ ! ) < l =

j 2

| ,

1=1

то по теореме Руше следует, что

для | х | < 1

существует

единст­

венное решение

уравнения

(7.2)

такое, что

| z | ' < l ,

т. е. существует

единственная функция г=Фк{х),

| х | < 1 , удовлетворяющая

урав­

нению

(7.1), при этом

| Ф й (х)

| <

1.

Аналитичность

функции

Фк(х)

следует

из

теоремы о

неявной

k

функции

при 2

аі

^

1 > т а к

к а

к

именно

при этом

условии

і=і

і=і

для

всех

I x | <

1.

Заметим,

что

max

Б(і,п

(?,

* ) }

=

- | -

Б ( М )

(?,

F - f e ) ! 2 = i

=

akba.

I*I.<I

lzl< l

Определим

значение Фк

(1) как

решение

уравнения

у = Ѵ - 2 - Б (

( і 1

) ( ? ,

F " * ) .

(7.3)

i - J

Of,

i'=l

Значение

Фк(1)— действительное

число,

как

предел

Фк(х)

при х(--н>-

-> 1 — 0,

і =

1, N;

кроме того,

0 <

Ф А ( 1 ) <

1,

так

как

| Фк(х)

| <

1,

I x j <

1,

а

из

вероятностных

соображений

ФА (1) > 0.

[0.1].

Пока-

Решение уравнения

(7.3)

будем

искать на

отрезке

а,. Ьп

<

1,

a

t=i

при

£

а, bn

>

1 два решения у0

=

р, ух

=

1,

0 <

р < Ч .

і=і

f(y) = У — ь^(ук,

1N—k

і=1

Так

как

/(у) выпукла

вниз,

то

существование

корней

уравнения

(7.3)

в интервале

(0,1)

зависит

от

поведения

f(y)

в

точке

1 —0.

Произ-

k

водная

f(y)

в

этой

точке

равна

atbiv

Если

она меньше или

рав-

на единице, то в (0,1)

І = І

(7.3)

уравнение

неразрешимо;

если

больше

единицы,

то в

интервале

(0,1)

существует

единственный

корень уравнения

(7.3).

Таким

образом,

к

_

k

п р и 2 а Л і < 1

ФА (1) =

1.

П р и £ а А і > 1

i=i

(=і_

имеется

две

возможности:

Ф й ( 1 ) = 1

и

ФА (1) =

р < 1 .

На

самом

деле, ФА (1) = р,

так

как

для

всех

| х | < 4

уравнение

(7.1)

имеет

единственное

решение

Фк(х)>

| O É W ! < 1 .

получаются

как

значения

производных производя­

Моменты

щих ф у Н К Ц И Й

П р И

Х І = І .

Производящую

функцию

распределения

числа

остающихся

в системе

вызовов

после

окончания

периода

занятости

системы

вызовами вида k и более высокого

приоритета ^ ( х )

можно

опре­

делить и без знания

Ф^(х).

Т е о р е м а

2.

Для

всех

схем

обслуживания

Чк(х)

= nk

( о ' + ' - а ' + ' х ) ,

д

¥ й

( 1 ) =

atnkl,

(7.4)

дхі

дх2

a tnk2,

і = k + 1, N.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Поступающие в систему вызовы прио­

ритета

ниже,

чем

вызовы

вида

к, не оказывают никакого

влияния

разве лишь красные вызовы вида k+\,

N (вероятность

0

0

п

л > 0 О

оо

= J е-(о*+ 1 -°*+ 1 *>' dnk (t) = Uk

(оН-і — а*+> *)),

о

что и доказывает

(7.4).

С л е д с т в и е .

Нас интересует еще и производящая

функция

числа вызовов, остающихся в системе

после окончания

периода

занятости системы

вызовами вида k и более высокого приоритета,

при условии, что он начинается с обслуживания вызова

типа ѵ и

вызовов. Обозначим такую функцию через

Wk\'{x).

Совершенно

так же, как и в теореме 2, можно показать, что

Wkv(x)

= nkv(o*+l

— ok+lx).

Так

как nkv(s) удовлетворяет уравнению (7.3) § 6 , то аналогичным

уравне­

ниям

удовлетворяет и Wkv(x).

Если учесть еще и лемму 2 § 6, то получим:

Т е о р е м а

3. Для

всех схем

обслуживания

Wkv(x)

удовлетворяют

системе

уравнений

УкvM

= G v ( T i t a W .

Y f a ( * ) , . . .

, ¥f c f c (*)•,

x N

~ \

Vkv(x),

Vkll(x)),

¥fc>(x)

=

nkV

( o * + i - o * + i x ) ,

; (7.5)

V = 1 , T ,

T-^(fe, 1),

v M / ,

P).

P + l ) .

Подобные

утверждения справедливы и для Ч г Ѵ ( і (л:) .

Т е о р е м а

3'. Для

всех схем

обслуживания

WVii(x),

|х = I , ѵ

удовлетво­

ряет

системе

уравнений

to - Ч Г я № to = &V (¥„[ ѵ ]1 w,

\ [ ï M v ] W ' * ^ " ^ ' Y « M n W ' ^ n [ v ] v t o )

V v » W =

™«[v] ц ( ° " [ V ]

+ 1 -

« " [ V ] + 1

* ) .

(7 -5')

[ i = l , v ,

|x~(ft,

p), Y~~ (й >

P + 0 >

n [v] =

max ( i : т < v,

т ~ ( і ,

1)}.

l(t) = {v(t),

k(t), т(О),

где v(t) — тип вызова, начавшего

обслуживаться

последним отно­

сительно времени t, т. е. если в момент времени t

либо на приборе

обслуживается вызов вида і на р-м этапе, либо

прибор свободен,

зова вида

і,

то ѵ(/) = ѵ , ѵ ~ ( і , p);

k (t ) =

{k\ (t),

kjv°(t)) — очередь

в

системе

в момент

време­

ни t, здесь kv

(t)

— число вызовов типа ѵ в системе в момент t;

x(t) —

время,

необходимое для

завершения

обслуживания

этапа вызова типа

v{t), т. е. если v(t)=v,

ѵ ~ ( і , р), то x(t)

— вре­

окончанием обслуживания очередного этапа каждого

вызова или

же за прерыванием обслуживания. В такие моменты

t, т ( г ) = 0 ,

Ê(') = {v(Q, k(t)},

каждое значение которого будем называть состоянием

системы, и

не зависит от предыстории процесса.

Вообще говоря,

излишней

информацией для определения дальнейшего поведения

процесса

является и характеристика v{t), но мы

ее оставим, имея в виду

применяемый нами метод доказательства.

моменты определяется

вектором (v, k) — (v(t),

k(t)),

где k —

оче­

редь в системе, a ѵ — тип вызова, связанного с марковским

мо­

ментом

t (т. е. вызова, находившегося

на

приборе

последним

относительно момента

t).

Заметим, что эта цепь однородная, неприводимая и неперио­

дическая. Занумеруем все состояния системы

(их

счетное

число)

таким образом, чтобы состояниям (1,0), (2,0)

0)

соответст­

вовали

номера 1,(34/°, а в остальном нумерация

произвольна. Через

{Çst}s,t^i

обозначим матрицу переходных

вероятностей,

где

qst

—

вероятность перехода

из состояния s в состояние t

за один

шаг.

<7S" -»- 0 при n -*• оо (q1\

— вероятность

перехода из состояния s в состояние t за

п шагов),

и в этом случае не существует

стационарного распределения;

либо

все состояния

эргодические, т. е.

lim q[f

=nt>0

qstxt

< xs

— 8 , s > s 0 ,

<>i

2

Is*x*

< +

0

0 >

s

< s o •

O l

Для

каждого состояния системы

s = s (v,

£) =

s (v,

&1 (

£2 , . . . ,

kjv)

положим

ys = £

&мАі-

n=i

Значение Ï/s можно рассматривать как среднее время, необхо­

димое для обслуживания очереди типа k=(k\,

кл°).

При такой

интерпретации

^д5(У{

есть

среднее

время,

необходимое

для

о і

обслуживания

очереди,

получающейся

после одного

шага,

если

в начале

этого

шага было состояние s = s(v,

k). Пусть

s = s(v, k)

и & = ( 0 ,

О, /2ц,..., kjv),

^ І . Тогда

/>і

V = l

ѵ=ц+1

У kvbvi

dz.

< ys ~ e,

v = l

где

8

= min

6 m -

2

^ - 0 ^ ( 1 ) ^ , ] .

v = l

'

v

Если же s = s(v; 0), то

£ м = 2<7< £ ^

G ( U ) ( l > v i .

(8.1)

t>\

i=l

v=l

v

Итак, чтобы

проверить

условие

эргодичности, нам надо

знать

ти прибора вызовом типа р ( р = 1 , ^),

которое определено в лем­

ме 1 § 6 и равно

JV

N

являются и &ѵі, Ьѵі. Поэтому в (8.1) ^

qst

yt

< оо,

а е > 0 для

всех схем обслуживания тогда и только тогда,

когда

N

Таким образом, нами доказана

І

= І

Т е о р е м а .

Вложенная

цепь Маркова

для

схем

обслуживания

с абсолютным,

относительным

и

смешанным

прио­

ритетом имеет стационарное

распределение,

если

S, =

(v; k) = {v(tn);

k{tn)).

Припишем

вызову,

связанному

с

марковским

моментом, тот

же номер, какой имеет

марковский

момент. При такой нумерации

может случиться, что одному и тому же вызову в разные

моменты

времени будут

соответствовать различные номера

(при

переходе

Pw (А) =

=

k)},

то это же распределение вероятностей

можно

задать производя­

щими функциями

Р-т(г) = Рт(ги

. . . ,ZJV) =

£

£ рѵ Л^. • •., <ы

z?* . . .

ziu =

fc^O

Y,Pvn{k)z\

ц=1

fe^O

(9.1)

существуют пределы

lim pvn{k)

=

Pv(k),

П->оо

lim Pw(z)

= P v

(z),

П—>оо

(9.2)

hm Pn(z)

=

?(z),

| Z , J < 1 ,

U = l , « # > ,

при этом

P(z)= £ P v ( z ) , | z | < l ,

P ( l ) = 1.

(9.3)

один и только один вызов

одного

из

видов. Через

i?v (z)

обозна­

чим те слагаемые из

R ( z ) , которые

соответствуют

поступлениям

в систему вызовов за отрезок времени, заканчивающийся

началом

обслуживания вызова типа ѵ.

Для рассматриваемой

системы

*ѵ(г)

= {

* ^

V ~

{ j :

l )

:

p),

,

1,

(9.4)

I

0,

v ~

(t,

р ф

R(z) =

J

# v ( z ) =

|]«7,zv .,

v , ~ ( i , 1).

v=l

1=1

zv Р ѵ л +

1 (z) = [Рп

( Ô v - \ z) -

Pn

ф\

z) + Я ѵ (z) Pn

(Ô)J Gv

(z),

(9.5)

0 < z v <

1,

(v -

1,

JP).

Справедливость

этих соотношений

вытекает

из

следующих

соображений.

Применим

метод красных

и синих.

Тогда пусть (м+1)-й вызов

был красным

типа

ѵ и в (п+1) - й

марковский

момент

в системе

находились разве лишь красные

вызовы

(вероятность zv PV n+i (z))-

Для этого необходимо и достаточно, чтобы

либо

п-й

вызов,

покинув

прибор, оставил в

системе хотя

бы

оставшиеся вызовы были красными

(вероятность

РпфѴ~\

Z ) - P „ ( Ö V , 2))

и

за

период занятости

прибора

следующим вызовом

(ти­

па

ѵ) синие

вызовы

не поступали

в

бункер (вероятность G v ( z ) ) ,

либо

п-й

вызов,

покинув прибор,

оставил

систему свободной

от

вызовов

(вероятность Р „ ( 0 ) ) ,

до

начала

ближайшего

обслу­

пали

синие

вызовы

(вероятность G v ( z ) ) .

Заметим, что

формула

(9.5),

справедливая

при

0 < z v < l ,

v =

1,

определена и

для

| z j < 1 (| zv | <

1,

ѵ =

1, J№).

Это

сразу

следует из

определения

Rv(z),

Gv (z)

и Pw

(z)

и того, что

эти

функ-

19 Зак. 64

289

делены при zv =

1,

V =

1, JV°.

определить Pvn

(z)

Уравнения

(9.5)

позволяют

рекуррентным

об­

разом. Найдем

теперь

Pv(z).

(9.2), получим из (9.5)

При

выполнении

условия (9.1) и учитывая

zv

Рѵ

(z)

= [P

(Ôv-\

z)-P

(Ö~\ z)

+ P (Ô) Rv

(z)] Gv

(2),

| 2 | < 1 .

(9.6)

Если Gv(z)^0 ,

v =

1, Jf>, то

v=l

v=l

Последнее уравнение справедливо и во всей области

| z | ^ l ,

так

как те точки, в которых

G v (z)=0 , являются устранимыми

особы­

ми точками

(см. (9.6)): если z0

есть 0-точка

Gv (z) кратности

а ѵ ,

то эта же точка z0

будет

0-точкой функции zvPv(z),

причем крат­

ности не меньше, чем

а ѵ .

Поэтому

°^

Р

V

v

Z )

[ z v - G V ( 2 ) ] = P ( 5 ) [ / ? ( z ) - l ] ,

| z | < l .

(9.7)

*-І

G (z)

v = i

Если учесть конкретный вид Rv (z)

в нашей системе,

то

можно

заключить из

(9.6),

что

( j z | < l )

не

зависит

от

первых

(v— 1)-й

координат

Zj, z2 ,

. . . ,

zv —i.

При подстановке в (9.7) вместо значений

первых (ѵ—1)-х

координат функций

'Ѵѵ—lfi(z) =

^ѵ—lp,(zv.

Zv+i, . . . , Zjp)

=

s

¥ „ [ v - . ] t l ( z )

=

я я [ ѵ _ 1

] ( і (0"Гѵ-і]'+. _

a « [ v - i ] ; + i

г )

>

И =

1» v — 1,

первые v—1

слагаемые левой

части уравнения

(9.7)

обратятся

в

нуль.

Здесь

п [ѵ] =

max {i : т <

ѵ,

т — (t,

1)},

a

Yv— in (z)

— вероятность того,

что

за период

занятости

систе­

что он

начинается с обслуживания вызова типа

в систему

по­

ступят

разве лишь красные

вызовы

приоритета

не

выше ѵ.

Это

следует

из теоремы 3 § 7,

согласно

которой (7.5')

справедлива

система

уравнений