книги из ГПНТБ / Приоритетные системы обслуживания

[1 - ß v (S + G F E _ ! -

a^UTfe-! (s) I'M )] X

X

) ,

(5-2)

и катастрофа не произошла за время с момента начала

обслужи­

вания р-го этапа, при повторном поступлении нашего

вызова на

вызов и все поступившие в систему

вызовы

вида

k—1 и более

высокого приоритета (вероятность

hitP)(s)).

Докажем выражение (5.2). Пусть

для начала прерывание

обслуживания

произошло из-за поступления

в систему

вызова 1-го вида. Вероятность того, что

за время t в систему поступит вызов

1-го

вида,

не

зависит

от

поступления

вызовов других видов и равна

1—е"а і і •

Тогда

21 [1 - Вѵ

„

(at\n

(Ol e~st -

^ -

e~atd

(1 -

e-a '') x

n>0 0

*0

= — ;

—

T T \

[l-Bv(t)]X

X d ( l — е - ( 5 + а Ы - с т й - Л - і ( 5 ) ' ' С Ѵ ] ) і ) =

f l - ß v (s + af c _, -

a, _ i n f e _ ! (s)

а 1 л £ — 1 1 ( s )

s + ak_Y— ok_x%k_x (s)

n-kk (s) = К (s + ak — aknkk (s));

(5.3)

все

остальные уравнения разрешимы в явном виде. Но (5.3) как

раз

является тем уравнением, которое уже исследовалось в гл. 5.

Там

установлено, что выражение (5.3) для каждого s

(такого, что

рой неубывающей функции nkh(t),

Для которой

Ukk(+ 0) = nkk{+oo),

Tlkk(+

о о )

= nkk(+ 0),

1 р,

если

akhkl>

1,

лежащее в интервале

(0,1).

Приведем

доказательство

этих утверждений

для

случая,

когда

k

Pfti

=

£ a £ b £ l < l .

(5.4)

Заметим,

что (5.4)

выполнено тогда

и

только

тогда,

когда

a;ftj! <

1,

і =

1, ft.

При этом достаточно выполнения лишь одного неравенства: а&Ам<1 .

Пусть s — фиксированное комплексное число,

такое,

что

Re

s>0 . Рассмот­

рим уравнение

z = hk(s

+

ak — akz).

(5.5)

Левая и правая части его аналитичны по г

в

области

Re(s + ab—a^z) > 0 ,

содержащей круг

| г | ^ 1 ,

так

как

hh{s)

есть

аналитическая

функция

для

Re s>0,

как преобразование Лапласа—Стилтьеса функции

распределения

Hh(t).

Кроме

того, при

] г | = 1

\hk{s

+

ak — akz)\

< hk(Re(s

+

ak

— akz))

<

« hk(Res

+

ak(\

— R e z ) ) < 1 =

\z\.

Поэтому

согласно

теореме

Руше следует,

что

функции

по z

г и z — hk(s-\-ak

— akz)

имеют одинаковое

число

нулей в

области

| г [ < 1 ,

т. е. лишь по одному нулю.

Таким образом, уравнение (5.5) для

каждого s, такого, что Re

s > 0

определяет

единственным

образом

z=nhh(s),

такое,

что

|яьк(5) | < 1 . Так

как

для

всех z

и s (таких, что

\г\

и

Res>0)

а

—

[z —

ftft(s

+

aft

— akz)]

=

ОО

=

1 -

flfc

£ te~{S+ak~akZ)t

dHk

(0 >

1 - akhkl

>

0

о

Если

ahhhi>\,

то даже

если ftft( + 0 ) = l

и

уравнение (5.7) на отрезке [0,1]

имеет два

решения

Хі = 1 и

х2 = р, 0 < р < 1 ,

то

я ( і к ( + 0) = р , так как уравнение

имеет единственное решение

для любого

е > 0 , что было

показано

ранее.

Поэто­

му

при е-ИЗ не может быть

двух различных пределов,

а Я ь ь ( е ) < 1 для

любого

е > 0 . Итак, при akhh>\

0 < J t f t f t ( +

0 ) < 1 .

Таким образом, мы проверили справедливость утверждений

пунктов а) и

б)

теоремы.

Заметим

еще, что уравнения

(5.5) можно

решить

при помощи

простого

итерационного

процесса

z n + l = hk(s + a — azn), z0 = Q,

для каждого s такого, что Re s^O.

Теперь определим период занятости системы вызовами

вида k

и

более высокого приоритета

при условии,

что

он

начинается

с

обслуживания вызова

типа

ѵ, ѵ ^ т , где т~(&, 1). Преобразова­

ние Лапласа—Стилтьеса от функции распределения такого

перио­

да

занятости обозначим

через я&

(s). Тогда

для

всех

схем

обслуживания

Jtfcv (s) = hX (s + ak — aknkk

(s)) = h*+{ (s),

в

частности,

для схемы обслуживания

с

относительным

приоритетом

nß-lv{s) = hkv(s), v = 1, p — 1 .

(5.8)

ные интервалы времени, которые

мы назовем

периодами

занятос­

ти прибора вызовом типа ѵ, \ —

Это

интервалы

времени

вого момента, когда

либо

закончится обслуживание

р-то

этапа

(в

этом случае

вызов или

покинет систему, или превратится в вызов другого типа

р, р~(&, р + 1 ) , т. е. будет требовать

обслуживания

на

следующем

этапе),

либо,

если это вообще допустимо,

произойдет

прерывание

ции распределения периода занятости

прибора вызовом

типа ѵ, а

Gv(z) = Gv (zi, z2, ...

,zN; zv , гд )

(6.1)

Здесь

переменные zit

і = 1 , N соответствуют

вызовам вида і, посту­

пающим

в

систему, a 2 Ѵ

и Zu — вызовам

типа

ѵ и р, ѵ—(k,

p),

VL~(k,

р + 1 ) .

Отметим, что в Gv (z)

степень переменных,

соответствующих

вызовам типа ѵ и р и вызовам из класса

А ѵ ,

не выше

первой. Это

следует из того,

что

за период занятости

прибора

вызовом типа

ѵ

в бункер

может

поступить

не более чем

по одному

вызову типа

ѵ,

р или из класса

А ѵ .

не зависит от zv . Если ѵ — (k,

rk),

Если

класс

Аѵ пуст, то Gu (z)

то Gv (z) не зависит от z^.

Но

мы

будем

считать

для

удобства

при

формулировке

утверждений,

что

в

(6.1) всегда

рассматривается

и

zv ,

функцию всех

переменных

Gv (z) = Gv

(zx , z2, . . .

, Zjifl).

Кроме того,

рассмотрим

функцию

Ggv(z;s),

зависящую от

всех переменных,

от

которых

зависит Gv (z), и еще от перемен­

ной s. Причем Ggv(z;

s) такова, что

Ggv(z;

0) = Gv (z),

£

- J L _ G V ( T ) =

- J - 0 , ( 2 ) ^ , = ^ - G v ( z ) U

ц=1

Ѵ

ц=1

ß

18*

275

=

- f - G v ( 6 1 ( s ) ,

b2(s),

...

,bN(s),

bv(s),

bß(s))]s=0.

as

Л е м м а

La.

Для

схемы

обслуживания

с

абсолютным

приоритетом

а)

Ggv

(z,

s) =

ß v

(s +

a -

ak

z) z^-'é

+

+ [1 -

(s +

a -

ok

z)]

°k-iZ

0 я

zv,

(6.2a)

s -\- a —

z

v ~ ( / e , p ) ,

Ц — (Â, p H- 1),

Gv (z)

=

G £ v ( 2 ;

0),

gv(s)

=

Ggv(î;

s);

б)

среднее

число

вызовов,

поступивших

в

систему

за

период

занятости прибора

вызовом

типа (k,

р),

равно

П — ß(ft,p) ( ° ѵ - і ) ] — — =

ßß(fc,p> (ak-i)

~b(k,P)ù

в)

среднее

число

вызовов,

поступивших

в

бункер

за

тот же

период,

равно

c ß № i P ) (afe_,) b(k,p)l

+

[1 -

ß (

M ) (а*_і)]в0'-'г*>;

г)

среднее

время,

необходимое

для

обслуживания

всех

вызо­

вов, поступивших

в бункер за

тот же период,

равно

_

N

Ьчі

— ßv(o-ft-i)

ôvi [ l —

£

at

bAJ.

Л е м м а

1 .о. Для схемы

обслуживания

с

относительным

приоритетом

а)

G g v

(z,

s) =

ß v

(s +

a — az) z 1

' 6 ^ ,

v ~

(k, p),

Gv(z)^Ggv(z;

0),

в)

среднее

число

вызовов,

поступивших

в

бункер

за

тот же

период,

равно

аЪуі +[1—о(р,

rk)];

г)

среднее

время,

необходимое

для

обслуживания

всех

вызо­

вов,

поступивших

в бункер

за тот же период,

равно

Ьѵі —ßvi [ 1 —

Y > A i ] .

Л е м м а

I.e.

Для

схемы

обслуживания

со

смешанным

приоритетом

s)

=

ß v

(s +

a -

o'M z) [г'*> 4-

а)

Ggv

(z,

г

б(рг

+

[1 -

ßv (s

+

a -

a'M z)]

g<[v]-.'

'

zv,

(6.2c)

v ~ ( é ,

p),

p

+

1),

Gv (z) =

G £ v (z;

0),

gv

(s)

Ggv

(T; s);

б)

среднее

число

вызовов,

поступивших

в

систему

за

период

занятости

прибора

вызовом

типа ѵ,

равно

a ß v (o"S[v]-i) bvl;

в)

среднее

число

вызовов,

поступивших

в

бункер

за

тот же

период,

равно

a ß v ( a , [ V ] _ I

)6ѵ і - j - 1 — ô ( p r f e ) ß v ( a j [ V ] _ i ) ;

г)

среднее

время,

необходимое

для

обслуживания

всех

вызо­

вов,

поступивших

в бункер

за тот же период,

равно

_

N

6ѵ і — ßv(o"i[v]-i)6vi [l —

£ a t

ô a

j .

»•=1

при

З а м е ч а н и е .

Знание

производящей

функции

G v (z) ,

конечно,

позволяет

необходимости находить

вторые

и

последующие

моменты для

распределе­

ний

общего

числа

вызовов

и

вызовов

любого

конкретного

типа,

поступивших

приоритетом

второй

момент распределения общего числа

вызовов,

поступивших

в бункер за

период

занятости

прибора

вызовом типа ѵ,

ѵ ~ ( / г , р),

равен

2 C v o * [ ô ( p ,

rk)+~^—

v

L

ofc-i

Д о к а з а т е л ь с т в о

л е м м

не представляет

большого тру­

да, если воспользоваться

методом

красных и синих

и катастроф.

окрашиваются: вызов

типа

ѵ с

вероятностью

zv объявляем крас­

ным,

а с вероятностью

(1—zv)

синим, независимо от цвета

осталь­

ных

вызовов. Тогда

Gv(z)

есть вероятность

того, что за

период

красные

вызовы

(не поступит синих

вызовов) и за этот

период

катастрофа не

произойдет. Именно

это и выражают

уравнения

(6.2.а),

(6.2.0),

(6.2.C).

Б. В

§ 5 нами

найдены соотношения,

определяющие n k v (s)

—

преобра­

рым

удовлетворяют

функции

n k v

(s).

Т е о р е м а

1.

Для всех

схем

обслуживания

n f e v (s) удовлетворяют

систе­

ме

уравнений

nkv(s)==

Ggv(nkL(s),

. . .

, nkk{s),

\ N ~ k ,

nkv(s),

n f t | x (s);

s),

(6.3)

V =

1,

T,

T ~ ( k ,

1),

V =

(/,

p),

L l - ( / ,

p - f - 1 ) .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Уравнение

(6.3) выражает

следующий

факт:

пусть

стемы,

вызванные всеми

вызовами приоритета не ниже т, поступившими в бун­

кер за

период занятости

прибора вызовом типа ѵ.

условии, что

он

начинается с

обслуживания

вызова

типа

р.,

ц ^ ѵ .

Т е о р е м а

2. Для

всех

схем обслуживания

n V ( i ( s ) ,

р. =

1, ѵ, удовлетворя­

ют системе

уравнений

я ѵ ц ( « ) = ^ [ v ] ( i ( s ) = G g v ( j t f e [ v ] 1 ( s ) ,

•••

ЧмкМ^'

îN~klV\

Л А [ Ѵ ] Ц ( 5 ) '

«*[v]t(s )". s )>

< 6 - 3 ' )

\x=l,v,

\i-^(k,

p),

T~(k,

P + 1 ) } .

k

[v] =

max (t : у < V ,

у ~ ('' • 1)} •

Л е м м а

2. Если вызов

вида

і обладает

относительным

прио­

ритетом перед

вызовами

типа ѵ либо

является

вызовом еще

более

низкого

приоритета, то

Ggv(zlt

... ,

Zi-i, 1, Zi+u

...

,zN,

zv,

zß; at — atzt)

Gv(z).

(6.4)

где

Pk(h,

tu)

— вероятность того,

что за

период

занятости

системы

вызовами вида k и более высокого приоритета

обслужит-

ся

1\ вызов 1-го вида, h вызова 2-го вида, ... 4 вызовов /г-того вида.

Подобным

образом можно ввести

(Фи(х)

— производящую

период занятости системы вызовами вида

k и

более высокого

приоритета

Ф*(*) = Ф*(*і> - . . . * * )

=

i=l

1^0

l>0

Так как все поступающие в систему вызовы

обслуживаются,

то функции Фи{х)

и Fk(x)

связаны между

собой

соотношением

Fk (х) =

Фк (х,

1N~k) s Ф, (xlt . . .

xk,

lN-k).

Нас

интересуют и распределения числа

вызовов, остающихся

вида k и более высокого приоритета, т. е. число

вызовов

приори­

тета ниже, чем

вызовы

вида k, поступивших

в систему за

период занятости

системы

вызовами вида k и

более

высокого

ления

через

Л

(х) =

(хг, . . . ,xN) = 4rk(xk+l,

. . . ,

xN).

Легко

заметить, что

4k (x) = ФА (IF T , X) S Фk (ï* . * * + „ . . . ,

X N ) .

Т е о р е м а

1.

а)

производящая

функция

распределения

чис­

ла

поступивших

в

систему

вызовов

за

период

занятости системы

вызовами

вида

k

и более

высокого

приоритета

определяется

урав­

нением

k

<*k Ф * W

= 2 а

А

Б(і'-і) ( ф * х ) '

{ 7 Л )

причем

это

функциональное

уравнение

определяет

в

области

\х\<\,

т. е.

| X f | < l ,

t = l ,

N,

единственную

функцию

Ф/І(%),

та­

кую,

что \Фк(х)

| < 1 ,

если

k

а(Ьп

<

1,

i=l

\х\<^1

_

mo

Фк(х)

аналитическая

функция

в

области

и

Ф л ( 1 ) =

1,

а

если

k

у

яД-і >

1.

то

_

l ' = I

где

р есть единственный

корень

уравнения

Фе (1) =

р,

k

_

_

_

°кУ=

£

а«Б( (,і, (ук>

l N

k),

лежащий

в

интервале

(0,1).

k

Если

£

ai

ba < 1, то

б)

среднее

число

поступивших

в систему

вызовов

вида

і

за

период

занятости

системы

вызовами

вида

k

и

более

высокого

приоритета

равно:

если

і <

k,

mo

если

i >

k,

mo

at

в)

для

схемы

обслуживания

со

смешанным

приоритетом

лз

-

9

Ьи

ь

ь

2а,

а,-

»-^і

~

—

la,

bi,

I

0 2 - - Ф 4 ( І ) = ; _ Р ^ _

I > Ä ,

dxt

oft р£

где

рл ,

р и

,

/3А1,

pf t 2 , ô v 2

см. §§

3,

5.