книги из ГПНТБ / Приоритетные системы обслуживания

б)

среднее

число

вызовов,

поступивших

в

систему

за

полное

время

пребывания на

приборе

вызова

типа ѵ, ѵ—(k,

р),

равно

- f - / 5 v ( l ) = а&ѵГ,

dx

в)

для

распределения

числа вызовов

вида

і,

поступивших

в

систему

за

полное

время

пребывания

на

приборе

вызова

типа

V,

ѵ ~ ( & , р), первый

и второй

моменты равны

соответственно,

-^-Бѵ(\)

=

a{bvU

rk

=

a\ V&(fei 4 ) 2

+ а 4 & ѵ ь

q=P

где

b(k,q)2,

если

i >

i [(k,

q)],

b(k,[q)2 =

если

i<i[(k,

q)].

2V,<?)ib(k,q)U

С л е д с т в и е . Для

распределений числа

повторных обслужи­

типа V ,

v ~ ( & , p),

Î'![V]>1

а)

производящая

функция

равна

Бѵ (х№-\1)

=

_

J-^J

py.g)

(°ІИК

.

б)

среднее число повторных обслуживании равно

оцѴ]~ibv\.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Ограничимся

доказательством теоре­

мы с. Теоремы а и о получаются из нее

как частные

случаи при

Р)]

и i [

( k ,

р)]

= 1 соответственно.

Утверждения

теоремы

выводятся

из

системы рекуррентных

соотношений:

если

І[ѵ] =

1,

V ~ ( Ä ,

p), p~(fe,

р + 1 ) ,

ТО

£v

(x)

=

ß v (а — ах) Б 1

' 6

^

(х);

(4.1)

если i [ v ] > > I , то

Бѵ

(x)

= ß v (a — o'M x) Б 1 ' 6

^

(x)

+

+

[1 -

ß v (a - a'M x)] - ^ - V

J ^ ~ 5 V

(x),

(4.2)

a — a i m

x

Пусть

і [ ѵ ] > 1

и за

полное

время

пребывания

на

приборе

вызова типа v, ѵ-*-(&, р)

в систему

поступили разве лишь

красные

вызовы

(вероятность І>ѵ

(х)

) .

Для

этого

необходимо

и достаточно,

чтобы

либо

за время обслуживания р-го этапа вызова

в

систему

не

поступили

вызовы

из класса

А ѵ ,

а

все

поступающие

в

систему

вызовы не были бы синими

(вероятность

п^ОО

оо

=

j

е-<а-о<£ѵ]^d

B v щ =

ß v

(a —

x)^

0

и, если

p — не

последний

этап

обслуживания

вызовов

вида

k,

за

полное время пребывания на приборе уже вызова

типа

{k,

р +

1)

в

систему

не

поступили

синие

вызовы

(вероятность

Б\Г,р^і)^

(х));

либо

до окончания обслуживания р-го этапа вызова

в

систему

поступил

один

из

красных

вызовов

из

класса

Аѵ",

за

это время

в систему не поступали

синие

вызовы (вероятность

[1 — ßv (a —o-'M x)]

0,'[v]-t

a — о

типа

V, за

полное время пребывания на приборе вызова

типа ѵ

в систему

поступят разве

лишь

красные

вызовы

(вероят­

ность

Бѵ(х)).

Это и записано уравнением

(4.2).

Моменты получаются

после

дифференцирования (4.1)

и (4.2),

если

положить лг* = 1, і=\,

N.

§ 5. Период занятости системы

Функцию распределения периода занятости системы

обозна­

чим

через

П(^),

а соответствующее

преобразование

Лапласа—

Стилтьеса через я ( s ) .

Пусть

Ui(t)

-— функция

распределения

периода

занятости

вания вызова вида

/,

то эту

функцию

распределения будем

обозначать

Иц(і).

Аналогично определяем функции распределения для периода

занятости

системы

вызовами типа

ѵ и более

высокого приоритета

чинается с обслуживания вызова типа

ц,

(л^ ѵ .

Поясним,

что

понимается, например, под последним.

Если

ц—(к,

р), где

р > 1 ,

других вызовов (или же нет

вызовов,

приоритет

которых

не ни­

же ѵ), а

заканчивается период занятости, когда система впервые

освободится от всех вызовов

приоритета

ѵ и выше. Для

указанных

периодов

занятости

применим

аналогичные обозначения

П ѵ

(О

и n v t t ( r ) .

Заметим,

что XI (^)

=ILN(t).

Через

Hi(t) обозначим

функцию

распределения

интервала

времени,

начинающегося с

момента поступления

вызова

вида

і

ния вызова вида / (типа р), будем говорить,

что он

связан

с

вызовом

вида /

(типа

р)

или вызывается

вызовом

вида

/ (типар).

Т е о р е м а

а.

Для

схемы

обслуживания

с

абсолютным

приоритетом:

а)

К (s) = bi

(s)>

rk

к (s) = П

ß<*.p»

( s

+

x

s

+

o"fe_, -

o-fe-i

(s) [1 — ß( f c i P ) (s -

о и ) ]

ft

nki

(s) =

ЯЙ_І t

(s + ak — aknKk

(s)),

t <

Ä,

я «

(s) =

К (s + ak

— aknkk

(s)),

где k = 2, N,

причем

эта система функциональных

уравнений

опре­

деляет

единственные

функции h^(s),

tthi{s),

Jtfc(s),

i—l,

k; k = \,

N,

функцию

ttft(s),

аналитические

в полуплоскости

Res>0,

в

которой

\hk(s)\<l,

\nkt(s)\<l,

I я* (s)! < 1;

k

б)

если

а(Ьа

<

1,

mo hk

( + 0) = я „ ( + 0) = я , ( + 0) = 1 ;

в противном

случае

0 < М + 0 ) < 1 , 0 < я „ ( + 0 ) < 1 , 0 < % ( + 0 ) < 1 ;

в)

положим

ft

і=1

Pé2 — Pft-i2 = akbk$k-\

+ 2% ^

^(é,p)iô(fe,p)ipfc-i,b

тогда

при pkl

<

1 для моментов

получим

выражения

Pft

рз

^ іі — Ь1г,

hkl

— ~—у пі2 —

bxv

Pk2 — Pfe_l2

, abPki9k-\2

aknk2 —

2

1

3

•

Pft-1

Pfc-1

Т е о р е м а

о. Для

схемы

обслуживания

с

относительным

приоритетом

k

а)

<Ѵ*л (s) = 2 a'ô< (s +

—0*л* (s))'

причем

это функциональное

уравнение

определяет

единственную

функцию nu(s),

аналитическую

в полуплоскости

Res>0, в

которой

| j t f t ( s ) | < l ,

hk

(s) = bk(s + afe_! — Gk-i

щ-і

(s)) ;

б)

если

k

afin

< 1.

( = i

то

0) = 1, в противном

случае

0 <

0) < 1;

fe

в)

если

Y afin

< 1, то первые

три момента

функции

распреде-

ления

П (t)

определяются

соотношениями

P*

Pfe

а

Л з

—

:

г О

РІ

t'=l

k

k

1=1

i = l

Т е о р е м а

с. Дл я схемы обслуживания

со

смешанным

приоритетом имеет место следующая

система

рекуррентных соот­

ношений:

а) aÄ nf t (s) =

2 a ^ w ( s ) >

(s) =

s + ov-i — aft_i^fc_i (s),

V — ( / ,

T ~ ( Ä , 1), ѵ < т ,

ft-1

ок-\як-\

(s) I'M =

£

a3.Jtfe_i / (s),

/=i[v]

i[v]-l

ok~\nk-x

(s) !г [ ѵ ] _і

=

£ a3-iïfe_i/(s),

причем

эта система

функциональных

уравнений

определяет един­

ственные функции

hk(s),

nki(s),

Як

(s),

/ = 1 , k;

k = \, N, аналитиче­

ские в полуплоскости

Re(s)>0, в

которой

\hk{sY<\,

| * w ' ( s ) | < l ,

| я л ( в ) | < 1 ,

б)

если

£ а{Ьп

<

1,

і=1

mo А л ( + 0 ) = я А / ( + 0 ) = я к ( + 0 ) = 1,

в противном

случае

0 < М + 0 ) < 1 , 0 < я А < ( + 0 ) < 1 , 0 < я А ( + 0 ) < 1 ,

в)

положим

k

PJM = Pè-12 [1 — ô(£, 1)] + a Ä ] T Л ( М )

p=i

Л ѵ =

/5"Ѵ2 = ßV 2 + 2 [1 — ô(p, rf c )] ßvi^ni,

если t [v] = 1,

— 2 M v l

+ Pfc-l 1 + g f e - l J I f e ~ n i

'M /T

C„

( &vl +

ßvKrvl-l)

где

тогда, если pkl<l

1,

mo

справедливы

следующие

соотношения

для

моментов:

" f t ^ A l

»

" Ш

.

pft

Pfe

pft

pfr-1

0 Ae2 =

ûAl

P 3 ~ ' 2

+

"4

[Pft2 —

Pft-12 ] •

Pfc-1

Pfe-1

З а м е ч а н и е .

Теорема

о фактически

совпадает

с

соответствующей

тео­

вание каждого вызова состоит лишь из

одного этапа. Для этого

достаточно

заменить ßb(s), ß^i, ... на bu (s), Ьы,

что вполне естественно, ибо

при опре­

порядок выполнения

отдельных

независимых

этапов

несуществен.

Поэтому

можно

представить независимые

интервалы

времени

обслуживания

различных

этапов

разных вызовов внутри

периода занятости

так

перегруппированными,

что последовательные

этапы обслуживания каждого

вызова следуют друг за

живания

с

относительным

приоритетом, у которой

длительность

обслуживания

отдельного

вызова

равна

сумме

интервалов обслуживания всех

этапов вызова

в нашей

системе.

Как и ранее, приведем

доказательство

Д о к а з а т е л ь с т в о .

лишь в

общем

случае

для схемы обслуживания

со

смешанным

приоритетом.

Если

придавать

преобразованиям

Лапласа—Стилтьеса

rtfc(s),

пи (s), hh(s)

вероятностный смысл,

то нетрудно убедиться

при условии,

что

первым обслуживается вызов вида /

(вероят­

ность ям (s)).

Для

этого необходимо и достаточно, чтобы

катастро­

рофа не произойдет за вызываемые

ими периоды занятости

систе­

мы вызовами вида k и более высокого приоритета

(вероятность

я/t-ii (s + ak—aknkk

(s)).

Последнее

выражение можно

обосновать так.

При

наших

предположениях

об инверсионном

порядке обслуживания

каждое

поступление на

обслуживание вызова вида k как бы начинает

кого приоритета. Если в системе

несколько вызовов

вида k, то

к началу обслуживания первого

из них система будет

свободна

n>0 Ö

m=0

f

f

«

Г е-*™

X

[

( a - a ^ " ~ m

• W n

k k { s ) ] m

dU^u

(t) =

i - J

J

(n — m)!

m!

m=0

n—m=Q

0

=

j e-b+'rWkktoVdUk_u

{ t ) = щ

_

и { s +

ak~aknkk(s)).

(5.1)

о

Аналогично проверяется

соотношение

я** (s)

=

К (s + ak

— aknkk

(s)).

это время вызовами вида k периоды

занятости

системы вызовами

вида

k

и более

высокого приоритета (вероятность

чего

есть

hh(s

+

ak—akKhk(s))).

Вывод вероятности последнего события буквально совпадает с

выводом

(5.1), если заменить Y\k-u

(t)

на Hk(t), a

nk—u (s) на

hk(s).

По определению,5^

hk(s) = h{ki\)(s).

Значения

(s) получаются

из

решения

системы

рекуррентных соотношений для

h\itP)(s)

при I =

k,

Лѵ (s) =

ß v (s +

o-fc-i — aft_ittfe_i (s) | l [ v ]

)

x

X {kl ( s ) ) 1 - 6

^

+

[1 -

ß v (s + 0 f t _ i

-

а & _ ,я, _ 1

(s) | '

[ V ] ) ] x

v

° k - \ n k - -l1

( ss )

ilff[[vv]]--ll

h k

, s

где

P), ц ~ ( Л P +

1), т ~ ( / г ,

1), v < т ,

ѵ ~ ( / ,

fe—î

0 А _ і Л й _ і (S ) | ' [ v ]

=

2

a

« % - l n ( s ) .

n=i[v]

« v ] - l

0 f c _ i^ f e _ i

(s) | f [ V ] — î

=

£

a.-.^ft-m (s)>

(Tfc - iJtfe - i (s)

| 0 =

0,

подтверждается

следующим.

Если

p ) ] = l ,

то р-й этап вызова вида / обслуживается

без прерывания. Пусть

катастрофа

не произошла

за

время с на­

вызовов

вида

k—1 и более

высокого приоритета

(вероятность

nU,p) (s ))-

Д л я

этого необходимо и достаточно, чтобы

катастрофа

не произошла

как за время

обслуживания

р-го этапа вызова

вида /, так и за вызванные всеми

поступившими за это время вы­

зовами k—1 и более высокого

приоритета

периоды

занятости

системы

вызовами более высокого приоритета, чем k

(вероятность

ß(/,p) ( s + a k - i —

O f t - i ^ f c - i (s))

oo

n

n> 0

0

m=o

-

j e~(s+ak-i-°ft-i«*.i(s»

< dBiiP (/))

ô

и за время с начала

обслуживания

следующего

р + 1 этапа, если

такой есть у нашего

вызова вида /, до первого

момента освобож­

вызовов

вида

k—1 и более высокого приоритета (вероятность

% , Р + І ) I s )

й

)•

ших в систему вызовов вида k—1 и более

высокого

приоритета

(вероятность ftfz,P)(s)). Для этого необходимо

и достаточно,

чтобы

либо

за время обслуживания

р-го этапа

нашего вызова

вида I

в систему

не поступили вызовы

из класса

А ѵ

и не

произошла

= £

j ' e - ^ e - - d ß v ( 0 £ c ; r x

n>0 0

m=0

e -(s +ö *-i-Wft-i<s >i( '[ v ] ><dßv (0

и не произошла катастрофа

за время с момента

начала

обслужи­

вания следующего (р + 1)-го

этапа, если такой

есть у

нашего

высокого

приоритета (вероятность ftf/.p+i) (sf~6{p'rk)

) ;

либо

за

время обслуживания

р-го этапа

нашего

вызова

в си­

стему поступит вызов из класса А ѵ ,

который

прерывает

обслужи­

вание; за это же время

катастрофа

не произойдет и она не прои­

зойдет за

все периоды

занятости

системы

вызовами

вида

k—1

и более высокого приоритета, вызванными как

всеми

вызовами

вида k—1

и более высокого приоритета, поступившими до преры­

вания обслуживания нашего вызова на

р-м этапе, так и

прервавшим

обслуживание вызовом из класса

Аѵ

(вероятность