книги из ГПНТБ / Приоритетные системы обслуживания

Схему 2 многоэтапной

системы обслуживания можно считать

приближени­

ем обслуживания

с абсолютным

приоритетом и дообслуживанием

соответствую­

щей одноэтапной

системы,

где

время обслуживания одноэтапной системы

шее приближение получим при разбиении

времени

обслуживания

одноэтапной

•системы на большее число этапов с более

мелкими

интервалами

обслуживания

на отдельных этапах.

поступления в свободную от вызовов систему

некоторого вызова

до первого момента, когда система вновь станет свободной;

число

обслуженных за период занятости системы вызовов;

длина

очереди в установившемся режиме;

время

ожидания до первого поступления

на обслуживание

Будем использовать

обозначения:

(Z) = (zx, Z 2 , . . . , Z v ,

. . .

ZJV),

5 (г) == 5 (zlt

z2 , . . . ,

zv,

...

zjr).

Если

производящая

функция

зависит

лишь

от

переменных,

соответствующих

вызовам

типа (i,

1), то будем

обозначать

пере­

менные 2 Ѵ , ѵ ~ ( і , 1) через ХІ и рассматривать

такую

функцию, как

функцию N переменных.

Б(х)

— частный случай обозначения 5 ( 2 ) ,

если

производящая

функция Б (г) не зависит от таких

Z v ,

где ѵ ~ ( і , р),

рфі.

Если

все переменные

производящей

функции

равны

между

собой, то будем использовать обозначения

Б {z,

z, .. .

Lz)==E(z),

так

5 ( 0, 0, . . .

,

O ) e f i ( Ô ) .

Если несколько стоящих подряд переменных равны между

собой, например

Z1

= Z2 = . . . = Zv = Z

или

Zv+1

=

Zv+2 =

. . . = Zjr — Z,

то будем

применять обозначения

(z\

z) = {z, ...

, 2 , Zv+1 ,

. . . , Zjr)

или

(2,

Z ^ - v ) =

(2X , 2 2 , . . . ,

2 V ,

2, . . . , 2).

В. Кроме того, положим

k

N

i=\

i=k

a0 = or_! = 0,

oft2 = £ af zv .,

a w 2 = аг,

N

l=k

aQz

= 0.

Г . Для задания классов вызовов

А ѵ , О ѵ и Б ѵ

, фигурирующих

при

определении

смешанного

приоритета,

достаточно

знать

три

числа:

' і[ѵ] •—вид вызова наивысшего

приоритета

из

вызовов,

не

входящих в класс А ѵ ;

приоритета

из

вызовов,

не

у[ ѵ ] — вид вызова наивысшего

входящих

ни в один из классов А ѵ и О ѵ ;

не

k[v]—вид

вызова

наивысшего

приоритета

из вызовов,

входящих ни в один из классов

А ѵ , О ѵ

и Б ѵ .

Если класс

Б

ѵ ( О ѵ

)

содержит

вызов вида N,

то

k[v] =

N+l

ОМ — ftfy] = N+l.

Если

классы не пусты, то они содержат вызовы

вида:

А ѵ : 1 ,

і[ѵ] — 1,

і [ ѵ ] > 1 ,

Оѵ:і[ѵ],

y[vj — 1 ,

j[v]>i[v],

Б ѵ : / М -

k\v]-l,

k[v]>j[v].

Класс А ѵ ,

либо

О ѵ

,

либо Б ѵ пуст,

если

соответственно і[ѵ] = 1,

либо

[ѵ] = i [v],

либо

k [v] = / [ v ] .

ния на

приборе

вызова типа ѵ обозначим через bv (s) или

V P ) ( s ) >

ѵ~(/г,

р).

Очевидно, что

bk(s)

= b(kn(s),

k=l,

N.

Имеют

место следующие

утверждения.

Т е о р е м а а.

Для

схемы обслуживания

с

абсолютным

приоритетом

гк

а) Ь1к,

р ) (S) =

f ]

ß(fe,

q) (S

+

(Tft-i)

s +

«*fc-lß<fe. q) ( S +

°fe-l)

q=p

причем b(k

p) (s) — аналитическая функция для Re (s) > 0

и b(k р) (0)=-1 ;

б)

b(k,p)\

=

^

b(k,q)\,

Ь{ііЯ)і

=

ß(l,? )I,

<7=Р

°k-\

L

ß № > r t (Ofc _ i )

J

Ö(l,p)2 =

V

[ß(l,<7)2— ß2(l,<7)l] +

Ö(l,P)b

1=P

rk

b(k,P)2

=

^

fyfe,?)2. * =

2,

Л',

где

6(A,(7)2 =-

2

U(é,<7)l

ö e - l

ß(A,9)

( ° W

Т е о р е м а

о. Для

схемы

обслуживания

с

относительным

приоритетом

b(k,p){s)

=

Г! ß(M)( 5 )>

b(k,p)\

=

ß(M)b

<7=P

<7=p

rft

'ft-1

b(k,p)2 =

^

ß(ft,<7)2 +

2

ßfft.'tfl Ô(A,?-(-l)l

=

q =p

q=p

rk

=

f ß № . ? ) 2 —

ß2(fe,?)l]

"Г

°2(k,p)U

q=p

b(k,pß=

£

ß(fe><?)3 + 3

£

[ß(fc,„)2 6(ft,7+1)1

+

<7=P

<7=P

ß(fc,«)l &(fe,<7+l)2] = fyfe,p)l +

3/J(ftiP)i [b(k,p)2-

• b2(k,p)l]

— 3

Y

ß(fc,?)l

[ß(fe,<?)2 —

ß(fc,<?)l] +

q=p

rk

з

+

[ß(fe,<7)3 —

ß(M)l] -

<7=P

Т е о р е м а

с. Для схежы

обслуживания

со с мешанным,

при­

оритетом

Тк

a)

biktP){s)

= Il

ß(k,q)(s

+ a/ [ ( f t f ( 7 ) ] _ i)

x

r

q=P

X

S - f - С;

(3.1)

S + 0i[(fe,<?)]-l ß(fe,9 )(S + CTi[(fell?)]-l

)

причем

b(k p) (s) — аналитическая

функция

для

Re (s) >

О ы

б)

первые

два момента

определяются

из

соотношений

<?)2>

•7=P

<7=P

ßvl,

если

i [v] = 1,

&vl =

!

Г

—

— 1

,

если

t [v] > - 1 ,

0 i [ v ] - l

L

ß v (a i[v]-l)

ß v 2 + 2 [ l - o ( p , ^ I ß v l ^ l ,

l M = I ,

?v2

2С„

2&"„

-f-2bv iôv i,

і [ ѵ ] > 1 ,

o « [ v ] _ 1 ß v ( a £ [ v ] _ 1 )

ff4v]-i

где

С ѵ = j

^ ~ e ' M - i ' d 5 v ( 0 ,

о

v ~ ( & ,

p),

Д~(/г,

P -г 1).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Теоремы

а и о являются

частными

случаями

теоремы с, когда

i[(k,

p)]=k

и /[(&, р ) ] = 1 для всех А

Введение дополнительного

события придает

преобразованию

Лапласа—Стилтьеса вероятностный смысл. Так,

ß v (s) =

j e~si

dBv (0

есть вероятность того, что за

время

обслуживания

вызова типа ѵ

достаточно найти вероятность того, что за

полное время

пребыва­

ния на приборе вызова типа ѵ катастрофа не произошла.

Если

ï [vj = 1, v — (k, р), то сТ([ѵ]-і =

0 и формула (3.1) опре­

деляется

следующими рекуррентными уравнениями:

6<ft.rt(s) = ßv(s)b( 1 Ä - W

00,

(3,2)

время пребывания на приборе вызова типа ѵ есть сумма

независи­

мых случайных величин: времени обслуживания

р-го этапа вызова

вида

k

и полного времени

пребывания на

приборе

вызова

типа

(k,

р + 1 ) . Преобразование Лапласа—Стилтьеса

от

функции

распределения сл. в., равной

сумме двух независимых

сл. в., равно

ß v i = - 6 v ( 0 ) ,

bv2 = bv(0).

З а м е ч а н и е

1. Если всем

этапам обслуживания вызова вида k соот­

ветствует не пустой

класс А, то для bu (s) = bik,\)(s)

справедливо

/ft

P = l

x

s

+

°i[kM-i

(s + ai[(k,

P)]-I ß(ft,p) ( s + ai[(k,

P ) ] - i )

rk

_

bki=

X

b(k,p)\,

p = i

k

Г

2

L

a^[(fc,P)]-i

J

P=\

где

<jr=D

<7=p

З а м е ч а н и е

2. Если первому этапу

обслуживания вызова вида k соот­

ветствует н е . пустой

класс А, то в бункере

могут быть вызовы типа {k. Г) ,

обслуживание которых было прервано на первом этапе. В этом случае

b{h,V)(s)^b(k,\)

(s) .

вызова типа ѵ, ѵ ~ ( і , p).

k N ) есть вероятность того, что за

Пусть /?ѵ (&) =Pv(&i,

полное

время пребывания на приборе вызова

типа ѵ в систему по­

ступит

k\ вызовов первого вида,

k 2 вызовов

второго вида,

k N

вызовов

N-TO вида. Тогда интересующее

нас распределение

можно

задать производящей

функцией

Бѵ

(х) = Бѵ (xlt

. . . ,

XN)

=

£ v ( î ) = Sv(l

1 ) < 1 .

Введение вспомогательных событий позволяет придать произ­

водящим функциям вероятностный смысл. Величина

Бѵ

(х)

есть

вероятность того, что за полное время пребывания

на

приборе

вызова типа ѵ в систему могут поступить только красные

вызовы

(не поступит синих

вызовов), где ХІ — вероятность того, что посту­

пивший в систему

вызов вида і есть

красный

вызов,

независимо

от цвета остальных

вызовов.

Особо нас будут интересовать вызовы,

которые

вызывают

прерывание обслуживания отдельных

этапов

одного

и

того

же

обслуживании

различных этапов одного и того же вызова.

Т е о р е м а

а.

Для

схемы

обслуживания

с

абсолютным

приоритетом

rk

а)

Б(к,р)

(х) =

J~] ß ( M

) (а — okx)

x

(7=р

а — akx

а — ах + aé_,

xp~{kq)

(о — о^х)

fiv(ï)

=

l ;

б)

среднее

число

вызовов,

поступивших

в систему

за полное

время

пребывания

на

приборе

вызова

типа ѵ,

равно

-^-Бѵ(х)\

\x=i

=

- ^ - £ Ѵ ( Т ) =

oôvi;

dx

dx

17*

259

в) для

числа

вызовов вида і,

поступивших

в систему

за пол­

ное

время

пребывания

на приборе

вызова

типа ѵ, первый

и

второй

моменты равны, соответственно

Бѵ(1)

— а,6ѵ ь

дХі

—~

Бѵ (T) - j —

~ £>v (T) = at bv2 + öfbvi.

бсл« i >

-

^ 2 " 5v (ï) + —— Бѵ

(T) = 2а? V

b{pMb{k,q)\

+ а Л ь ^ли

i < A,

ОД;,-

£ J

Q=P

где

v ~ ( £ , p).

С л е д с т в и е .

Для распределений числа повторных

обслужи­

типа V, ѵ ~ ( & , р)

а)

производящая

функция равна

Б і ъ

,rxk-i

Т У П

ß(fe,q) C^fe—і)

<7=P

б)

среднее

число

повторных обслуживании равно

Ok-ib^i-

Т е о р е м а

о. Для

схемы

обслуживания

с

относительным

приоритетом

БФ,Р) (х)

= b(k,p) (а — ах),

Б{кіР)

(ï) = 1,

~dx-

Б(к,Р) (Т) = ab(k,p)i,

~

-

Б(к,р) (Î) =

аАк,Р)1,

дхі

-^Г

Б(к,Р)(і)

+ -

~

БфіР) (T) =

=

ар(к,р)2 +

ap(k<P)\.

Т е о р е м а

с. Для

схемы

обслуживания

со

смешанный

приоритетом

а)

£<*./»(*) = П

— oWMx)

X

ч=р

X

а _

ах +

о,н *, -Л Ь і * • ß ( M ) (а -

о'"*'«и*)