книги из ГПНТБ / Приоритетные системы обслуживания

где

n*2(s) определяется

уравнением

л;(s) =

t(s

+

a2 — a2n*2(s)),

R e s > 0 ,

\n*2(s)\<\,

(6.18)

a

n1

(s) —

уравнением

n1 (s)

=

ß 1 (s +

a1

—Ojn^s)),

R e s > 0 ,

K ( s ) | < l .

(6.19)

6°. Займемся вычислением yi(z i>

%2, x,

s).

Обозначим

через

srtiiO T (z1 , z2, x, s)dx

вероятность

того,

что

в m-периоде типа

1

пер­

вая катастрофа наступила в момент, когда все

вызовы

оказались

красными,

а с последнего 0-момента

прошло время

х.

Заметим,

что 1 период типа

1 определен в пункте

Г, т. е.

яш (z1 ; 22 , x,

s)

=

Yi (zv

z2,

x,

s).

(6.20)

Докажем

справедливость соотношения

Лат (Zj., z2, x, s)

= я т В 2

(zv

z2 ,

x,

s)

{1 +

г^тЛцт

(za ,

0,

s)}

(m

>

1).

(6.21)

Выражение (6.21), представленное в виде

влит (zx , z2 ,

x,

s) dx ---= sn m ß z

(z^

z2, x, s) dx

+

+

%m (z2 , 0,

s) si? (zx ,

z2 ,

x, s) dx,

(6.22)

доказывается так. Пусть первая катастрофа в яг-периоде

типа

/

наступила, когда все вызовы

оказались

красными,

а

с

последнего

0-момента прошло время х (вероятность

snUm (zx,

z2 ,

x, s) dx).

Для

этого необходимо и достаточно, чтобы

либо

первая

катастрофа

наступила

в

первом

же

цикле

в

мо­

мент, когда

в системе

все вызовы

—

красные,

а

с

последнего

0-момента прошло время х (вероятность snmB1(z1,

z2> х>

s)dx);

либо

за

первые

п

циклов

( п ^ І )

не

наступали

катастрофы

и в конце п-го цикла в системе оставались вызовы — красные

вы­

зовы

(все эти

возможности

имеют

вероятность

Щ\т(гг,

0,

s),

а

дальше,

в

следующем

(п - Н) - ом

цикле

катастрофа

впервые

на­

ступила

в

момент, когда

все вызовы

были красными,

а с последнего

0-момента прошло время х (вероятность

sR(zu

z2,

x,

s)dx.

Подставляем

значения

n^fa,

z2 , x, s),

R(zlt

z2, x, s)

и

л ц ш ( г 2 ,

0, s) из

(6.15) и

(6.17) в (6.21). Таким

образом,

верна

Л е м м а

7.

Яцт(z1;

z2 , x, s)

находится

по

формуле

\япт

(Zp z2 ,

x, s) =

exp {— ах} {1 — B2

(x) - f

_

2 "*

[jto(sY|m

+ z r 1 [ l - ^ W ] [ ß » ( « ) - ß a ( « ) ] }

2

,

-

» m > 1 -

С6-23)

В

частности,

YI (гі> г 2> *>s )

определяется

по

формуле

(6.23)

при

m = 1.

7°. Вычисление у2{^1,

z2, x, s)

и

y3(z1,

z2, x, s). Нетрудно

вывести

соотношения

Y2

(zlt

za , x, s) =

яц (zx , z2 , x, s) +

CD

"rS

j

^

"

— e

- ^

n

i v n

&

Z

z . x

,

s)dU1(u);

(6.24)

m > l

0

y 3

( Z l t

Z 2 , X, S) = Яр ( Z 1 5

Z 2 , X, S) - j -

СО

+ S Ie ~s ""^Fe _ û 2 "Я п т ( г *'г "x 's ) d F *( u ) '

( 6 '2 5 )

где F* («) задается своим преобразованием

Лапласа — Стилтьеса

cp*(s) = q>(s +

а х [ 1 — я , (s)]).

(6.26)

Воспользовавшись леммами 3 и 7, из (6.24) получаем

форму­

лу для y2(zi,

^2, x, s). Для

вычисления

же уз(2і,

z2, x, s)

нужно

обратиться к леммам 2 и 7. Окончательно

имеет

место

Л е м м а

8.

y2(zu

z

2 , x,

s)

w у з ( 2 ь

Z2,

x,

s)

вычисляются

по

формулам

Ya(z1, z2 , x, s) =

exp {— ax}

[1

—B1(x)]

z x — Я ! ( 5 + а 2 (1 — z 2 ) )

(ß2

( a ) — ß2

(a)) К

(s -;- Û2 0

—2 г)) — л і

( s

+

a2

(\ — я*2 (s)))]

-F- [1 -

B2

(x)] [nx

(s + a2 (1 -

z2)) -

л х (s H- a2

(1 -

я^ (s)))] j

(6.27)

u

Y3 (zx, zg , x, s) =

exp {— ax} {1 — F (x) +

(1 —

Bx (x)) x

X

[<p (a) — ф (a) + z7l

(ß2

(a) — ß2 (ä)) [ф (a) -

ф (a)]

+

- ( 1 - Б 2 ( х ) ) [ ф ( а ) - ф ( а ) ] } .

(6.28)

Ж . Формулировка результатов. Комбинация

лемм 3, 4, 7 и 8

позволяет

вывести

соотношения,

определяющие

P{z\,

z2,

x, s).

Обозначим:

A (zlt

z2 , s) = e (s -b a) {ф (a) —

ф (a)}

+

+

% 1

[ß2

(a) -

ß 2

(a)]

[ф (â) -

ф (a)] +

+— r - [ l - e ( s

+

a)](

z i - " ^ v >

+ 2 2 - ' [ ß 2

( « ) - ß 2 ( ä ) ]

x

s + a

1 l - z - f ' ß ^ a )

X [я, (v) -

—

]

- "

^2

- [ 1 — e (s -г

о)] x

я , (v)]

j

—

X [ß2 (a) -

ß2 (a)] Z

g ~ " 2 ( s )

;

(6.29)

l - 2 - ' ß 2

(a)

В (z,, 22 , s) =

e ( s i a )

[cp(ä) — ф(ä)

+

a.

-!- a ) ] K ( v ) - t t x (v)]

s T ^ - [ l —e(s

[ l - e ( s +

a)]

/

_

;

(6.30)

a = s 4 - a 1 ( l - z 1 ) + a 2 ( l - 2 2 ) ; v == s + a2 (1 — z2 );

а

есть

а

при 2, =

я , ( v) ;

а

есть

а

при z2- =

яг (s) ;

v

есть

v

при z2

=

яг (s) ;

а = ах

+

а2 .

я і ( 5 )

— преобразование Лапласа—Стилтьеса от ф. р. периода

занятости

системы

M | G111 оо

с интенсивностью

а \ поступающего

потока

и ф. p. Bi(t)

длительности

обслуживания вызовов; я (s) за­

дается

уравнением

(6.6),

я*(s)

—уравнениями (6.16) и (6.18);

(1 (s) = 1 — e (s +

о) ф (s

-f- a — ал (s))

— [1 — с (s +

о)]

я (s).

S +

0

(6.31)

Т е о р е м а . Р(2 Х , z2, x, s) имеет

вид

P (z,, 22 , x, s) =

[д. (s)]-1

{[1 — Е (х)] ехр {— (s + a) x}

+

Jr[l—F

(x)] ехр {— ax} e (s - f a) + [ 1 — Bx

(x)] exp {— ax) A (zv

z, s) +

Далее

+

[ 1 -

B.2 (x)] exp { - ах} В (zl t

2 2 , s)].

(6.32)

GO

P, (z±, 2 2 , x, s) = j e-s< £ £ Px( m '

x '

z ^ d t '

( 6 , 3 3 )

x

m > l

« > 0

P2 (zl t z2 , x, s) =

J e~st

£

p 2 (m, «, x, 0 z»z»d/,

(6.34)

оо

P8 (z,, 22 , x, s) =

J e-s< £

^

p3 (m, n, x,

t) z*

z$, d, *,

(6.35)

L i , L2,

L r

с параметрами

а\,

а2,

аг

соответственно.

Длительность

обслуживания

вызовов потока L k (приоритета

k) есть сл. в. с

ф.

p. Bh(t)

(k=\,r).

Вызовы приоритета k имеют

Если

в

момент Т началось обслуживание вызова и длится

время ~^t,

то с вероятностью C(t)

прибор выйдет из строя в про­

межутке [Т,

Т + t]. Затем

прибор

восстанавливается и время

вос­

становления

есть сл. в. с

ф. p. D(t).

Все вышеперечисленные

сл. в.

независимы.

15 Зак. 64

225

§ 1. Производящая функция числа вызовов в системе

А. Время пребывания

вызова

приоритета і на

приборе

в уз­

ком смысле складывается

из последнего промежутка обслужива­

ния вызова, за который прибор не

выходил из строя, и из

п(п^О)

промежутков, каждый из

которых

включает в себя

промежуток

из строя, и промежуток последующего восстановления

прибора.

Каждый из

этих

промежутков

. . . , |<j>

имеет распределение

Л, (t)

=

( j [l-Bt(u)]\dC(u))

*

D (t),

(1.1)

о

последний

промежуток

т]<'> имеет распределение

Ф , ( 0 =

\[\-C{u)}dBt(a).

(1.2)

о

Тогда

справедлива

формула

Hl(t)=^i[At(t)]^Ot(t),

(1.3)

где

Hi(t)

— ф.р. времени

пребывания вызова

приоритета і

на

приборе в узком

смысле.

Переходя к преобразованию Лапласа—Стилтьеса

в

(1.3),

получаем

ht(s)=

.

(1.4)

'

1 -

h (s)

V

'

З а м е ч а н и е .

Это

можно

доказать

непосредственно,

исходя

из

представ­

ления hi(s)

= фі (s) + %І (s)hi

(s).

Б. Напомним, что если во время обслуживания вызова прио­

ритета / прибор вышел из строя, то после восстановления

прибора

может

либо

обслуживаться этот же вызов

(если

в момент

окончания

восстановления прибора нет вызовов более высокого

приоритета,

чем

і),

либо

произойти смена вызова на приборе.

Если осуществился последний случай, то считаем, что вызов

приоритета

і, обслуживание которого

было прервано,

«потерян»,

т. е. покидает систему обслуживания в момент окончания

восста­

новления

прибора, и

в

тот

же момент

окончания

восстановления

В. Рассмотрим

следующие

события.

Пусть

(йг-) — вызов

приоритета і

— «потерян»,

за время

с момента

начала

обслужи­

вания вызова

приоритета

г до его «потери»

поступали лишь крас­

ные

вызовы

(это не относится

к вызову приоритета і, поступив­

шему в момент «потери» нашего вызова);

(Ьг-) — вызов

приорите­

та

і закончил

свое

пребывание

на приборе в

узком смысле, за

промежутки

Ъ,п

не поступали вызовы приоритета выше г, за вре­

мя пребывания на приборе в узком

смысле

вызова

приоритета і

не поступали

синие

вызовы. Найдем

Р(а*)

и Р(&,):

P <„,, .

_ !

_

(

1

>

л )

£

Г ,[ Л (

т

)

:

Г П (

J

x

/=1

«>0 0

0

j=i

kj>0

X

e~ai™)

dAt (W)Vf

f f

(

[

a

^ {

V + W - x

) ] k i

в-чѵ+ѵ-^

V

j=\

kj>0

r

X d [ 1 -

e-*"']

= -^-S

а

Л 2

J d

[ Л

< Î

e

/ = i

X

/=1

n>00

0

i—l

V+W

~2

( aj-ajXj)

(V+W-x)

00

M

=

2

J е - ( 0 - в * , ѵ <* Гл £ OO]" j e-^-0 ^1 1 7 X

,.3=0

о

0

X [e / = 1

— e7 '"1

] d A t - ( ^ ) =

_

/\,г (а — аде) — ?w (а — [аде];)

(1.5)

1 —

(а —

\ax\i)

пЗгО О

Ь

j=l

k->0

1

p j / y lm(V+W)]ks

е - ' ^ + т

\

а

ф

{ Ю =

Ф , ( а - « )

1

4 ^ J

ftyl

У

'

1 - Х , ( о - [ а х ] , )

V

/=1 fc3->o

З а м е ч а н и е .

Формулы

(1.5) и

(1.6) получаются

при помощи приема

введения дополнительного события. Для этого следует

(1.5) и (1.6) представить

в виде

15*

227

Р (щ) = l\(a

—ax)—

Xj (о — [ах],)) - f Я,- (а — [ах]/) P (a/);

P (b;) = ФІ (ст -

ах) - f

Л, (a -

[ах],) P (b,).

Г. Перенумеруем

моменты окончания

обслуживания

вызовов

и моменты «потери»

вызовов

в порядке

возрастания: ті, т 2 ,

... Рас­

смотрим

состояния

системы

в моменты

{тг}г>ь

Справедливы

соотношения

X I P I N + L

(x) --= [РП (О*-1*) -

РП

(О'х) + РП

(00

Rt (x)] (xTP (а{) +

P (bt)).

(1.7)

Действительно,

пусть

(п+\)-й

«обслуживаемый»

вызов

был

красным

вызовом приоритета і и после себя оставил лишь

красные

вызовы

(вероятность

Х І Р І П +

\ ( Х ) ) .

Для

этого необходимо и

доста­

точно, чтобы

либо

п-й вызов

после себя оставил

систему свободной

от

вы­

оставшиеся

вызовы красные

(вероятность

Р „ ( 0 ' _ 1 х ) — Р „ ( 0 ' х ) ) ;

за

время

«пребывания»

на

приборе

(п+1) - го

вызова

не

поступали

синие

вызовы

(вероятность х{Р(а{)

+

Р(ог-));

систему свободной

от

либо

п-й

обслуживаемый

вызов

оставил

вызовов

(вероятность

Р„(0 Г ));

за

время с первого момента, когда

система свободна от вызовов, до

момента

начала

обслуживания

следующего (п+1)-то вызова приоритета і не поступали

синие

вызовы

(вероятность

Ri(x));

за время

«пребывания» на приборе

(п+1) - го обслуживаемого вызова

не поступали

синие

вызовы

(вероятность

xTP

(аг ) + Р (Ь{)

) .

никаких

ограничений

на

числа

Так как мы не накладывали

Хі,

х2,

x,.,

кроме O ^ X j ^ l ,

г = 1, г, то

формула

(1.7)

справедли­

ва для всех таких х\, х2,

хг.

Так

как

Р;,г(х)

есть

ряд

по

степе­

ням х\,

X2,

хг

с неотрицательными

коэффициентами и Р п ( 1 г ) = 1,

а

функции

X j P j ( a ï ) +

Р%(Ъ\)

аналитичны

в

полуплоскости Res>0,

то отсюда следует, что формулы

наши

справедливы

для

всех

Х\,

х2,

хт

таких, что

| x , ' | ^ l , t =

l , r . Из (1.7)

Рг -„(х) могут быть

определены

рекуррентным

образом.

Д . Условием

существования

стационарного

распределения

является

аіКі

+

• - • +

arhn<. 1.

(1.8).

Переходим к

пределу при

п - » о о в

(1.7),

что

дает

=

P С0 '"1 *) -

P (0'*)

-'- P (°0 я* (*)•

( L 7 ' )

ХІ?

(ai) -'г Р (&І)

E. Вычислим PC (x).

i

от

1 до

г:

Суммируем (1.7') по

Г

Г

f

У

EiW

[x

( 1 _ Р ( а < ) -

P (bt)]

=

Р (00 J V

Rt

(x)-l\

r

(о — ах) —

^

[x, (I—К

х{

[ХІ (а — ах) — Хі(а — [ax\t) - f фг (о - ах)

і=і

•ф({а-ах)]^Р

(00 { £ / ? , ( * ) - і } .

(1.9)

+

З а м е ч а н и е

1. Из

(1.7')

при подстановке

туда

значения

х г Р(а;) - ! -

Р(Ьі) следует,

что при j

^

i

Ру (X)

*j І^/ (а

—а х ) —

(°— • [ах1/)1 + Ф; (°" —а *)

не

зависит

от xlt

х2,

. . . ,

Хі.г.

§ 5 гл.

4 система функциональных

З а м е ч а н и е

2. На

основании леммы

уравнений

иы =

к(о — ик—[ах]к)

(і=\,

k— 1),

fe-i

в области

£

a7- Re л:3- < £

а/

определяет

единственное

аналитическое

решение

f=k

i=k

"fei = m(xk,

••• . xr)

такое, что

I «fei I <

1 > t =

1, ft — 1.

З а м е ч а н и е

3. На основании замечания 2 и (1.4)

система

функциональных

уравнений

"fei [1 — ^і (o — uk— [ax)k)]

— ФІ (о*

Ufr — [ах]к)

(t = 1,

* — 1 ),

r

/=fe

r

r

в области

£

ûjRe х,- < £

о,-

определяет

единственное

аналитическое

решение

Ш = «fei (*fe,

. . . , *ѵ) такое,

что

I "fei К

1 ( f = l , _ f t - l ) . !

Теперь

Р(-(л:)

можно

выразить

через

Р(00

следующим

образом.

ПОЛОЖИМ Хг

=

(Xf e , . . . , Xr),

. . . , Хк-\

=

Ukfe-1(хк, . . .

, xr),

k=

1, r.

Из (1.9) и замечания

3 получаем

l=\

Используя

замечание

1, получаем

s-I Xj [X}

(a — ax)

X

— Xj (a — [ax]j) -f- ф3- (ö —- ах)

/=ft

X

[x, — h, ( o - u k —

[ax]k)]

[ 1

Xj (о-

Ufr [ax]k)] =

r

= P(Oo{E^("( f e _ 1 ) A ; )-1 }-

(L1°)

Таким образом, нами получена

система

линейных

уравнений,

позволяющая шаг за шагом выразить

Р І ( Х ) от г до 1 через

Р(0 Г ) .

Ж. Вычисления

константы

Р(0Г )

можно

избегнуть,

если

при-

-»

->

нять во внимание следующее. Для системы

Mr | G r 111 оо с ненадеж­

р(оо= ,

\ l

-

t a M '

<U1>

1-е (о) +

ое (о) фі

L

i = l

J

•«*

Pt(lr)=JO-.с

(1.12)

§ 2.

Стационарное распределение времени ожидания

вызовом

приоритета k

Обозначения

§ 2 сохраняются. Пусть E(t) = l—ехр{—et},

с > 0 .

А. Пусть задана

сведенная

система

обслуживания. Справед­

лива формула

РІП(V-ixlr-1)

= РІП(К)со,.(а,

- а

Л

) [х,Р (а,) + Р(Ь,)].

(2.1)

При aji^ +

. .. + arhn

< 1 существует

lim Ptn (x) = Pt (x),

откуда

существует

lim Win(t)

= W((t) и

P, ( l - ^ K - 0

= P, (10 со, (a, -

atx{)

[x(P (at)

+ P (6,)].

(2.2)