книги из ГПНТБ / Приоритетные системы обслуживания
..pdfгде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/І |
= Л + Всх |
Н- с? + (Сс, + £>) | / |
с? + Ее, +F |
|
|
||
42 |
2 |
В + 2с1 + сѴ<$+Ес1 |
+ Е + ( ^ + ° ) ( £ + 2Cly |
|||||
|
|
|
|
2 j/"c? + _ C l |
+ F |
|||
|
с1 |
|
|
|
|
|||
которое |
получается при вычислении Выч ——-і |
в точке с,, |
являю- |
|||||
щейся |
двукратным полюсом. |
|
S |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
г) |
Полюс Ci совпадает |
с точкой |
ветвления |
sx (рис. 7 г). |
|
Выбе |
||
рем контур Г, как указано |
на рис. 7 г). Часть |
контура В А |
|
лежит |
||||
на прямой Res = s 0 >0 . Отрезки АА\ |
и В\В контура Г параллельны |
|||||||
абсциссе и проходят через точки iR |
и — iR соответственно. |
Axs* |
||||||
проходит по лучу Res = s*, |
l m s > 0 |
s*<S\ |
выбрано так, что |
если |
||||
С г < £ і , |
то s*>max(52, Съ). Окружность сЁ |
с центром Si и радиусом |
||||||
е > 0 изолирует |
полюс и точку ветвления |
Ci = sx и входит в |
Г без |
|||||
точки Ci—е. На верхнем берегу разреза уі—arg (s—si)=jt, a на
нижнем берегу разреза у2—arg(s—Si) |
= — л . |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Теперь |
рассмотрим |
интеграл |
—-— [ |
|
e~si |
ds: |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І2ш' |
J ^ |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
\ |
; |
e s t |
as = - Выч |
|
e s t |
— |
д — • |
, |
(5.9) |
|||||
|
[2nij |
.t ^ s |
|
|
|
|
|
s |
|s=o |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так |
как 'функция |
--—-es ' |
аналитична |
на контуре |
Г и |
имеет |
внутри |
||||||||||
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
(Если с2 находится |
|
|
|
||||
него |
один |
простой |
полюс |
s = |
0. |
внутри |
Г, |
то |
|||||||||
с 2 < 0 и к |
правой |
части (5.9) прибавится |
Выч 0 , 2 ^ |
est |
от точки |
с2 .) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
Далее видим, что при фиксированном |
t и R-+oo, |
так как — — |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arg s ( |
[— л , |
л] |
s |
|
стремится |
к |
нулю |
равномерно |
относительно |
при |
||||||||||||
|s - >о о и es ' = 0 ( l ) на отрезках |
|
ААг |
и Ä ß ^ то |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
f -».0 |
|
|
и |
j" |
_»0. |
|
|
|
|
||
|
Справедлива |
оценка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Г i £ i i _ _ e S ^ s = |
O(es*0. |
|
|
|
(5.10) |
||||||
|
|
|
|
|
Aß. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем теперь |
s |
- |
в (5.10) |
в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- i ± L = |
q i |
( |
s ) + |
q2{s), |
|
|
|
|
|
||
191
где |
обозначено |
|
|
|
|
|
|
|
s (а -f- ßs 4,- s2) |
|
s(a + ß s 4 - s 2 ) |
|
|
|
Тогда |
при е->-0 |
(интегрирование |
в отрицательном направлении) |
||
|
• j " |
7t (s) ds = |
— Выч <7j (s) es( |
Л - r Be, -\- cf |
|
|
2яі |
Ci (C2 — Cj) |
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(5.11) |
Второй же интеграл оценивается |
просто |
|
||||
|
|
2лі |
$<72(*) est |
ds |
О (1/е) - » 0 . |
(5.12) |
|
|
|
|
|
|
|
Так |
как ^(s) аналитична и непрерывна вдоль разрезов уі и у2, |
то |
||||
|
|
|
1 |
|
e5' ds == 0. |
(5.13) |
|
|
|
2лі |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Vi Уг
Таким образом, |
при R-*-oo и е->-0 для больших |
|||
|
lim |
г |
co2(s) es'ds |
|
|
в-*0 |
|
|
|
|
S0 +too |
|
|
•[M. |
2ліÏJtt |
co2(s) es 'ds |
2лі |
||
J s |
|
|||
|
s„—ioo |
|
|
|
|
Л + ßCi + |
c? |
|
|
|
|
Cl (c2 — cx ) |
|
|
t
</2 (s) ds —
(5.14)
Из (5.9) и (5.14) выводим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
^ " |
i ^ |
^ d |
s |
^ |
|
|
|
|
|
2m' |
J |
s |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
s0—S°° |
|
|
|
|
|
|
|
|
- f - tf |
: 1—-^-e^t+ |
\ + |
|
q2(s)estds |
+ 0(es*<). |
(5.15) |
||||
|
Si (C2 |
— Sj) |
|
|_ J |
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Si |
|
|
|
|
|
Оценка интегралов |
j + |j<72 (s )es 'ds |
|
при t->oo производится ана- |
|||||||
логично случаю a). После замены |
s — s1=~-z в |
q2(s)est |
получаем |
|||||||
функцию eSii |
q2(z) ezt, |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( С г ' + Р ^ / Л |
• K l + |
(z/h) _ |
/h |
y |
. |
|
|||
|
|
(2 + |
«і)(г + |
4 ) / Г |
_ |
VI |
£ |
j i Z ' ' |
|
|
192
a |
Dj , h и C2 те же, что и в случае а). |
Коэффициенты / . получают |
||
ся |
при разложении функции |
|
|
|
|
— C |
z + D l |
, |
Ѵі+Ш |
|
(2 + |
S l ) ( |
2 + 4 ) |
|
в ряд, которая аналитична в окрестности нуля (круг с радиусом о):
(=0
+ |
Csx + D — Sj (s1 — c2 ) |
|
(5.16) |
|
c 2 ( s i — сг) 4, |
(s — c 2 ) ' |
|||
1 (s — s2 ) |
||||
|
i=0 |
|
Далее, учитывая значения на, получаем при 2->oo
1 — № 2 ( 0 = <>м
A + Bsx + ä{
s i (si — c2 )
arg г на разрезах и применив лемму Ватсо-
1 |
Cs,+D |
|
•G- |
|
2 л |
Sj (st — с2 ) |
К Г |
||
|
||||
|
1 |
0 + i ) |
||
|
2 л |
|
^/+(1/2) |
|
|
/>1 |
|
|
|
|
|
|
т О ( г < ^ ) , |
|
|
|
|
(5.17) |
|
где коэффициенты fj получаются из (5.16). |
|
|
|
|
|||||
|
Попадание |
второго полюса сг вовнутрь Г приводит к появле |
|||||||
нию |
в правой |
части (5.17) |
дополнительного |
слагаемого |
|||||
ес*' Выч ( Û 2 ( S ) |
более высокого порядка. Остальные члены |
остают |
|||||||
ся без изменений. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
з) Оба полюса |
совпадают с ближайшей точкой ветвления, т. е. |
|||||||
Si = |
Ci = c2. В |
этом |
случае рассматриваем тот же контур, |
что и в |
|||||
случае г). В правой части (5.11) |
вычет |
имеет |
вид |
{lj + |
/2)е^(; |
||||
из (5.16) коэффициенты разложения q2{z) |
в |
окрестности |
точки |
||||||
нуль не получаются, так как теперь |
|
|
|
|
|
||||
|
Я,(г) = К |
^ + В,)ѴГТЩ_ |
, |
J |
_ = |
y |
|
|
|
|
|
|
s r |
|
|
|
/3=0 |
|
|
На подробностях останавливаться не будем. Приведем только ре зультат
13 Зак. 64 |
193 |
l — W*{t) = e*J
0 |
0(e<s '-f l ")- |
( / - < l / 2 ) |
Несмотря на то что вычисления здесь кажутся громоздкими, производить их на практике при оценке асимптотики хвостов рас пределений для больших значений аргумента намного выгоднее, чем считать все на машине.
Г Л А В А 8. СИСТЕМА С ОТНОСИТЕЛЬНЫМ ПРИОРИТЕТОМ
ПЕРВОГО ТИПА
На практике можно привести много примеров систем, в кото рых выбор вызовов на обслуживание производится на основании приоритета (преимущества) одних вызовов перед другими. Боль шое число таких систем влечет за собой и существование их раз новидностей. Однако большую важность представляют случаи, ког да обслуживающий прибор выходит из строя, требуя ремонта (вос становления). Поэтому, когда прибор ненадежен, поток выходов прибора из строя имеет как бы «абсолютный» приоритет перед обслуживанием вызовом. В некоторых практических системах с относительным приоритетом в момент выхода прибора из строя выгодно отправлять прерванный вызов обратно в очередь (бункер), тем самым предоставляя возможность вызовам, накопившимся в бункере и имеющим приоритет перед прерванным вызовом, обслу живаться раньше прерванного вызова.
Такого рода системы будем называть системами с относитель ным приоритетом второго типа, в отличие от систем с относитель ным приоритетом первого типа, когда прерванный выходом прибо ра из строя вызов сразу же после восстановления прибора продол жает свое обслуживание. Это может происходить, например, когда обслуживаемый вызов нельзя снять с прибора (требуется демон таж прибора, и восстановление прибора осуществляется с вызовом на нем) или невозможно установить, сколько нужно еще обслужи вать прерванный вызов, чтобы закончить его обслуживание, а терять обслуженное время невыгодно и т. д.
§1. Описание систем обслуживания
А.Рассматривается одноканальная система обслуживания с
ожиданием, |
в которую поступают |
г |
потоков |
вызовов |
Li, . . . , L r . |
||
Будем |
предполагать, |
что потоки |
L i , . . . , |
L,. независимы; |
поток |
||
вызовов Lu |
является пуассоновый |
с параметром au, k=\, г; |
дли |
||||
тельность |
обслуживания |
вызова |
потока L k |
есть |
сл. в. с |
ф. р. |
|
Bh{t), k = \, |
г. |
|
|
|
|
|
|
1 Как и в предыдущих главах, рассматриваются системы с ожиданием.
13* |
195 |
Вызовы потока |
Ц называем |
вызовами приоритета |
k и гово |
|
рим, что вызовы |
приоритета і имеют |
относительный |
приоритет |
|
перед вызовами приоритета / при |
і < / . |
|
|
|
Рассматриваются случаи, когда вызовы одного приоритетного класса
1) обслуживаются в порядке поступления, т. е. по принципу
первым пришел — первым |
обслужен; |
2) обслуживаются в инверсионном порядке, т. е. по принципу |
|
последним пришел — первым |
обслужен. |
Прибор ненадежен как |
в свободном, так и в занятом состоя |
нии. Если в момент Т началось обслуживание вызова и его обслу
живание длится время ~^>Л, то с вероятностью |
C(t) прибор выйдет |
|||
из строя |
в |
промежутке [T, T + t); |
после этого |
прибор восстанав |
ливается |
и |
время восстановления |
есть сл. в. с |
ф. p. D(t); если в |
некоторый момент Т прибор освободился от вызовов и в течение
времени |
t |
нет поступлений вызовов, то с вероятностью E(t) прибор |
|||||
выйдет |
из |
строя |
в |
промежутке [7", T + t); |
после этого |
прибор |
вос |
станавливается |
и |
время восстановления |
есть сл. в. |
с ф. p. |
F(t). |
||
Для прерванного выходом прибора из строя вызова возможны сле дующие случаи:
1°. После восстановления прибора прерванный вызов возвра щается на прибор и
а) дообслуживается, б) теряется,
с) обслуживается заново, где следует различать идентичное и неидентичное обслуживания заново.
2°. Прерванный вызов после восстановления прибора становит ся в очередь первым среди вызовов своего приоритета и после того, как будут обслужены все вызовы более высокого приоритета, по ступает на прибор и
а) дообслуживается, б) обслуживается заново.
Б. Под периодом занятости системы понимается длительность промежутка времени, начинающегося с момента поступления в сво бодную и исправную систему вызова и кончающегося следующим непосредственно моментом, когда система свободна и исправна.
Таким образом, по определению в период занятости вклю чаются промежутки обслуживания вызовов и те промежутки вос становлений прибора, выходы которого из строя происходили во
времена включенных в период занятости, обслуживании. |
||
Обозначим через П(£) |
ф. р. периода |
занятости системы. Пусть |
порядок обслуживания |
всех вызовов |
— инверсионный. Тогда |
Tl(t) — ф. р. длительности промежутка |
времени, начинающегося с |
|
момента начала обслуживания некоторого вызова |
и кончающегося |
|||
следующим моментом, когда система |
освободится |
от |
этого |
вызова |
и вызовов, поступивших после начала |
обслуживания |
этого |
вызова. |
|
В данном случае с вызовом связан период занятости обслужива-
196
нием вызовов, поступивших после начала обслуживания данного вызова, поэтому U(t) — ф. р. периода занятости, связанного с некоторым вызовом.
Пусть Uh{t) — ф. р. периода занятости системы обслужива нием вызовов приоритета k и выше (ft-периода), т. е. длительности промежутка времени, начинающегося с момента поступления вы зова приоритета k или выше и заставшего систему свободной и
прибор исправным, до следующего момента, |
когда |
система |
свобод |
|
на от вызовов приоритета k и выше и прибор исправен. |
|
|
||
В случае, если дополнительно известно, что /г-период начи |
||||
нается с обслуживания вызова приоритета |
г ' ( г = 1 , |
k), |
то |
указан |
ную ф. р. будем обозначать через Щ*(0> а с |
а м ^-период |
называть |
||
ftt-пеоиодом. |
|
|
|
|
Ясно, что П ( 0 = П Р ( 0 . |
смысле |
вызова |
на при |
|
Определим время пребывания в узком |
||||
боре как сумму времен, потраченных непосредственно на обслу
живание этого вызова и на восстановления прибора |
после тех поло |
|||||||
мок прибора, которые произошли во время обслуживания |
этого |
|||||||
вызова. Далее нам потребуется функция Hk(t) |
— |
ф. р. времени |
||||||
пребывания |
в |
узком |
смысле |
вызова |
приоритета |
k на приборе. |
||
|
§ |
2. Одно вспомогательное соотношение |
|
|||||
Вызов приоритета |
і объявляется |
красным |
с |
вероятностью |
||||
х Д О ^ Х г ^ І ) |
и |
синим |
с дополнительной вероятностью 1—ХІ неза |
|||||
висимо от того, какого цвета другие вызовы. |
|
|
|
|||||
Пусть Ri (х) есть |
условная |
вероятность того, |
что если |
после |
||||
окончания пребывания на приборе некоторого вызова система ста ла свободной, то все вызовы, поступившие в систему до начала периода занятости, окажутся красными, причем из обслуженных за этот период занятости вызовов первым поступил вызов приори
тета |
і. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л е м м а . Справедливо |
|
соотношение |
|
|
||||
|
|
|
Ri(x) |
= |
Ri(xi, . . . |
, х г ) |
= |
|
|
= |
- — т Ѵ т т { |
— |
- е |
<a »fa ( а - |
|
- |
Ф (° - М + 0 1 1 } . |
||
|
1 — е(0) ф (а) |
( |
0 |
|
|
|
|
|
J ) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.1) |
[ах]{ |
= а{х{ |
+ |
... |
+ arxr, |
[ах]г+1 |
|
|||
|
== 0; |
||||||||
|
|
|
а = аг |
+ ... |
+аг. |
|
|
||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Если в некоторый момент (этот момент |
|||||||
можем считать равным нулю) прибор |
освободился от вызовов, то |
||||||||
выход прибора из |
|
строя |
может произойти через случайное время |
||||||
А, ф. р. которого есть E{t); |
после чего прибор |
восстанавливается |
|||||||
за случайное время |
V , ф. р. которого равна |
F(t). |
|||||||
197
Выражение е(о) есть вероятность того, что за время Д «жизни» прибора в свободном состоянии не поступят вызовы сум марного пуассонового потока вызовов с параметром o*=ßi + . . . + аг;
—— [1 — е ( а ) 1 — |
есть вероятность того, что за время А «жизни» |
||||||||||
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прибора в свободном состоянии |
поступили |
|
вызовы |
суммарного |
|||||||
пуассонового потока |
вызовов с параметром |
а=аі + ... +аг, |
причем |
||||||||
первым поступил красный |
вызов приоритета і; |
|
|
|
|
||||||
е (о)ф(а) есть |
вероятность того, |
что за |
время |
Л |
«жизни» |
||||||
прибора в свободном |
состоянии, ни за время |
V последующего |
вос |
||||||||
становления |
прибора не поступали вызовы; |
|
|
|
|
|
|||||
ф ( а _ [ax)t) = f e~(^ax]i)fdF(t) |
= J e~a^ |
f ] |
f £(a**f |
' < r < V W ( 0 |
|||||||
|
Ь |
|
о |
|
/=і " *;->° |
|
|
|
|||
вероятность |
того, что за |
время |
одного |
восстановления |
прибора |
||||||
не поступали |
вызовы приоритета |
выше |
і |
и поступали |
лишь |
крас |
|||||
ные вызовы приоритета і и ниже; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Ф (а — [ax]t) — ф (а — [ах]і+і) |
= |
|
|
|
||||||
|
|
Г |
|
|
|
— а. / |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
dF(t). |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
||
= i e - < W f V |
{ a i X i t ) k '1 |
|
/ = « + 1 * y > 0 |
вероятность того, |
что за время одного восстановления прибора |
не поступали вызовы приоритета выше /; поступил хотя бы один
вызов приоритета і; все поступившие вызовы |
красные. |
|
Теперь соотношение (2.1), переписанное в виде |
||
Rt (x) : = - ^ - ( 1 - е (а)) + |
е (а) [<р (а - [ах],) - |
Ф (а - [ах]{+1)] + |
а |
|
|
+ |
е(а)ф(а) /?, (*), |
|
доказывается следующим образом. Пусть после окончания пребы вания на приборе некоторого вызова система стала свободной от вызовов и все вызовы, поступившие в систему до начала периода занятости, оказались красными, причем из обслуженных за этот период занятости вызовов первым поступил на прибор вызов прио-
198
ритета / (вероятность Ri(x)). Для этого необходимо и достаточно, чтобы
либо за время А «жизни» прибора в свободном состоянии по ступили вызовы суммарного пуассонового потока вызовов с пара
метром а=щ |
+.. . + аг, при |
этом первым |
поступил красный |
вызов |
|
приоритета / |
( в е р о я т н о с т ь - ^ - ( 1 — е (сг)); |
|
|
||
либо |
|
|
о |
|
|
за |
время А «жизни» прибора не поступали вызовы |
(ве |
|||
роятность |
е (а) ) ; за время |
последующего |
восстановления V |
при |
|
бора не поступали вызовы приоритета выше і; поступил хотя бы
один вызов приоритета і; все поступившие вызовы красные |
(веро |
||
ятность ф (ст—[ах]і) —ф (а—[ах]і + х |
) ) ; |
за |
вре |
либо вызовы не поступали |
ни за время А «жизни», ни |
||
мя V его восстановления; (вероятность е(а)ф(о")) далее |
все |
на |
|
чиналось сначала (вероятность |
Ri(x)). |
||
Справедливость |
формулы |
(1) |
доказана. |
З а д а ч а . Доказать |
окраской |
вызовов справедливость соотношения |
|
Rt M = 2 fe(0)ф(a)1" {"^(1 ~~е(0)) +с(а) [ф(<т ~~[ах]і) ~
п>0
—Ф(а — [ а х ] і + 1 ) ] |
иполучить из него утверждение леммы.
§3. Метод вложенных цепей Маркова
А.Упрощение задачи. В системе с относительным приоритетом
первого типа находится уравнение для производящих функций числа вызовов. Если прибор приступил к обслуживанию вызова, то для ожидающих и вновь прибывающих вызовов важно лишь время пребывания вызова на приборе, что позволяет свести задачу для исходной системы обслуживания к той же задаче, но для системы обслуживания с прибором, не отказывающим в периоде занятости. Здесь за ф. р. времени обслуживания вызова приоритета і прини
мается Hi(t), где Hi(t) |
для каждой из рассматриваемых схем по |
|
лучается из § 3, 4 гл. 3. |
|
|
Пусть Bi(t)=... |
= |
Br(t)=B{t). |
Если нас интересует общее число ожидающих вызовов в системе, то какой вызов в данный момент обслуживается (т. е. какого приоритета обслуживаемый вызов) не имеет значения. Следовательно, не имеет значения и порядок обслу живания поступающих вызовов. Считаем, что вызовы суммарного потока (сум марный поток пуассоновый с параметром о > 0 ) обслуживаются в порядке своего поступления. Итак, задача нахождения производящей функции числа вызовов в системе свелась к аналогичной задаче для системы обслуживания с одним поступающим потоком вызовов и ненадежным в свободном состоянии прибором.
Стационарная производящая функция |
Р(г) числа вызовов, ожидающих |
начала обслуживания в моменты окончания |
обслуживания каждого вызова, |
равна |
|
199
P(z) = — J |
|
P(0)h(o-oz) |
( | z | < 1), |
(3.1) |
ft Jo — oz) — z |
|
|
|
|
p ( 0 ) s |
n - g ^ i l |
[i-c(g)T(g)] |
|
|
1— с ( о ) - ; - я е (а) ф1
асреднее число ожидающих вызовов равно
|
|
|
Р'(\)= |
|
a2ft„ |
|
|
|
1 |
|
|
|
о"2ср3 e (а) |
, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
- |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
- г а / г і - |
|
|
(3-2) |
||||
|
|
|
|
ѵ ' |
|
2(1 — 0 / 1 !) |
|
1 |
2 |
1 - е ( а ) - ; - а |
с (а) <рх |
|
|
|
|
||||||
|
Рассмотрим |
теперь |
случай, |
когда 5; (О |
различны ( t = l , /•)• |
|
|
|
|||||||||||||
|
Б. Обозначения. В каждый |
момент очередь в системе будем характеризовать |
|||||||||||||||||||
вектором k— (k\,..., |
kr), |
где fe,- — число |
вызовов приоритета і в системе. Если |
||||||||||||||||||
х=(хі,..., |
Хг) |
и k=(k\,..., |
|
kr) |
|
— два |
вектора размерности г, то |
полагаем |
|||||||||||||
xk=z(xkl, |
. . . |
, |
х)г). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Через |
pin(k) |
—Pin(ki, |
• • •, |
kr) |
обозначим |
вероятность |
того, что я-й вызов |
|||||||||||||
(нумерация производится в порядке обслуживания) |
является вызовом |
приорите |
|||||||||||||||||||
та |
і и, покидая |
прибор |
|
(после |
окончания |
пребывания на |
приборе), |
оставляет |
|||||||||||||
в |
системе |
очередь типа |
k = ( A i , . . . , |
kr); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Рщ{х)= |
|
£ |
|
Pinih, |
|
...kr)x\\ |
|
|
. . . |
,xkrr= |
Y,Pin(k)xk |
|
(3.3) |
||||||
|
|
|
|
|
ft,>0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k^tO |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
kr>-0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вероятность, что я-й |
вызов является |
вызовом |
приоритета і |
и, покидая |
систему, |
||||||||||||||||
не оставляет |
в ней синих |
вызовов; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рп |
(х) = |
£ |
Рш (х) |
|
|
|
|
(3.4) |
||||
вероятность |
того, что я-й вызов, |
покидая |
|
систему |
(после |
окончания |
|
пребы |
|||||||||||||
вания на приборе), не оставляет |
в ней синих |
вызовов; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
обозначим через |
Р(и'хо^) |
|
значение |
Р(х) |
при |
фиксированных первых і и |
||||||||||||||
последних j |
координатах. Именно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Х^ |
. . . — Xi |
|
U, Xf- |
|
— • * • — Xf — V, |
|
|
|
||||||||
hi(a—ах) |
— вероятность |
того, |
что за |
время |
пребывания |
на приборе |
вызова |
||||||||||||||
приоритета і в систему не поступят синие |
|
вызовы. Так же |
можно найти |
веро |
|||||||||||||||||
ятность того, что за время пребывания |
на приборе вызова приоритета |
і |
в |
систе |
|||||||||||||||||
му не поступят |
синие |
вызовы |
приоритета |
і |
(именно |
я , ( а ; — а ^ ) ) . |
|
|
|
||||||||||||
|
В. Условие существования стационарного распределения. Ана |
||||||||||||||||||||
логично |
§ 5 гл. 4 показывается, |
что условием существования |
ста |
||||||||||||||||||
ционарного распределения |
служит |
неравенство |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а^п+ |
|
. . . + |
a r ß r l < l , |
|
|
|
(3.5) |
||||||
и при его выполнении |
существуют |
ненулевые |
пределы |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
pt(k) |
= |
\\mpin(k), |
|
V |
|
Vptk=l, |
|
|
|
|
||||||
200