книги из ГПНТБ / Приоритетные системы обслуживания

ятность того, что в этом

интервале синие

вызовы не поступят). Такое толкова­

ние

производящих функций, по-видимому,

восходит

к

работам

(199,

174]. В ра­

боте

[199]

вместо

синий

говорилось

о катастрофе,

в

работе

[174] — о «собы­

тии

£ » .

П р и м е р

2.

Пусть

длительность

«жизни»

некоторого

элемента

имеет ф. р.

A(t).

Возьмем

число s > 0

и предположим,

что

происходят

некоторые катастро­

фы,

моменты наступления которых образуют пуассоновый поток с параметром s

(см.

доп. §

1). Тогда число

щего нас события с двух точек зрения, использующих

введенное

событие —

катастрофу,

или

красные

и синие

вызовы — и заме­

тить, что

произвольно

s > 0

или

z,

О ^ г ^ І ,

то получим соотно­

шение, верное для всех

s > 0

или

z,

О ^ г ^ І .

Используя,

где необ­

каждого вызова есть сл. в. с ф.р. B(t).

Длительности

обслужива­

ния различных вызовов являются независимыми

сл. в.

Предпола­

гается, что в начальный момент система

свободна

от

вызовов.

Т е о р е м а , а) я (s)—удовлетворяет следующему

функцио­

нальному

уравнению:

я (s) =

ß(s

I- a — ал (s)),

R e s > 0 ;

(2.1)

б)

функциональное

уравнение

(2.1)

определяет

единственную

функцию

я ( s ) , |rt(s)|sg:l,

являющуюся

преобразованием

Лапла­

са—Стилтьеса

от распределения

H(t),

аналитическую

при

Res>0;

в)

ïl(t) — собственная

ф.р.

при

a ß i ^ l

и

несобственная

при

a ß i > l ;

первые

три момента

ф.р.

ïl(t)

определяют­

г)

если a ß i < l ,

то

ся

соотношениями

1 — a ß x

(2.2)

я, ^

!Ь

;

(2.3)

( 1 - a ß , ) 3

я

-

Ь

:

^

'

(2 4)

3

( 1 - a ß ^

'

( 1 - a ß i ) »

З а м е ч а н и е .

При

a ß i > l

смысл

того,

что

11(f)—несобственная

ф.р.,

т. е. П ( + с ю ) < 1 ,

заключается в условии

1 — П ( + о с ) > 0 ,

т. е. существует

положительная

вероятность

того,

что

период

занятости

сколь

угодно затянется.

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м ы .

В. Пусть какие-то два

вызова vi

и Ѵ2 обслуживаются

в одном

периоде занятости. Если вместо

вызова

vi

обслуживать

вызов

ѵг,

а

вместо ѵг—vi,

т. е. поменять

их местами, то

от этого длина

пе­

вым обслуживается тот из них, который поступил последним

(та­

кой порядок

обслуживания называется

инверсионным).

Г. Пусть далее в некоторый

момент обслуживания ожидают k

вызовов (k^l)

и

t,<t2<

. . . < t k ,

где ti, i = l , k, — моменты поступления

их

на

прибор. Пока

не

за­

кончился промежуток обслуживанием

вызова,

поступившего

в

мо­

ного из оставшихся

(к—1)

вызовов (других вызовов

в

момент t2

в системе нет) и вызовов,

поступивших после него, и т. д. Очевид­

но, что все промежутки

ti+\—U независимы

и одинаково

распреде­

лены с ф.р. H(t),

ведь

длительность

этих

промежутков

не

зави­

сит от наличия других вызовов в системе в момент

начала

этих

промежутков. Когда этот

промежуток

начинается с

поступления

При инверсионном порядке обслуживания с каждым

вызовом

можно связать промежуток времени с момента начала

обслужи­

вания этого вызова до следующего момента освобождения

системы

служивания первого вызова и длин периодов занятости,

связанных

с теми

вызовами,

которые

постудили за время обслуживания пер­

вого вызова.

Д.

Считаем,

что независимо от функционирования

нашей си­

стемы

наступают

катастрофы,

поток которых — пуассоновый с па­

раметром s>0 . Тогда

00

О

есть вероятность

того, что за период занятости не наступала

ката­

строфа.

Вызов назовем плохим,

если за период занятости,

связанный

с ним, наступила

катастрофа.

Каждый вызов является

плохим с

вероятностью

1—я (s). Так как поток всех вызовов — пуассоновый

с параметром

а > 0 , то просеянный поток (см. § 1 доп.)

плохих

вызовов, поступивших за время обслуживания первого

вызова, —

тоже пуассоновый с параметром

а[1 — я (s)].

Ввиду того что поток

катастроф и поток плохих вызовов, по­

симые пуассоновые потоки

с параметрами s и а[\—л;(s)]

соответ­

ственно, то суммарный поток катастроф и плохих вызовов

за вре­

мя обслуживания первого

вызова (см. § 1 дополнения)—тоже

пуассоновый с параметром

Пусть

cp(s, z ) = ß ( s + a—az)—z, s^O,

Os£:zsg;l.

1°. При фиксированном

s> 0 функция

cp(s, z) выпукла

по z.

Действительно, так как ß(s)

(теорема 1*, § 8 доп.)—вполне мо­

нотонная

функция и, следовательно, по определению ß"(X)^0

при

К>0, то

Ч>22 (s,

z) =

a 2 ß " (s

- f a — az) >

0.

При фиксированном s^O

непрерывная

no

z

функция

cp(s,

г)

в

точках г = 1

и г = 0

принимает

положительное

и отрицательное

зна­

чения.

z)

z

Принимая во

внимание

выпуклость

функции

cp(s,

по

(рис. 1), заключаем, что существует

единственный

корень

л (s)

функционального

уравнения

ß (s + a • -az)

— г = 0 ,

0 < г <

1.

(2.5)

2°.

Положим

ß(s+a

-az)-z

я 0

(s) =

0,

n „ + ! ( s )

- ß(s

I a — алп

(s)),

(2.6)

/г > 0 ,

s > 0 .

Методом

математической

индукции

можно

доказать:

а)

0 < пп (s) <

я „ + ]

(s) <

1 ;

Рис 1

б) nn(s)—вполне

монотонная

фун-к-

ция

(§ 8 доп.). Действительно,

так

как

ß

(s + a)

—

вполне

монотонная

функция,

то из (2.6)

следует, что

а)

и б)

верны

при п = 0.

п.

Пусть

утверждения

а)

и

б)

верны

для

некоторого

Тогда

на основании неравенств

О < я„ (s)

=

ß (s +

a — ая„_і (s))

<

ß (s +

a — ann

(s)) =

л п

+ і

(s) <

1

и свойства / вполне монотонных функций имеем, что а) и б)

спра­

ведливы для

всех

/ г ^ О .

Предел

я (s) =

1 im я„ (s)

ограниченной

монотонной

последова-

ности {яп }

существует

и по

свойству

2

вполне

монотонных

функ­

реме 1, § 8 доп. я (s)

представима в виде

я (s) =

j V * < d n ( 0 ,

о

где П ( ^ ) — некоторая

мера на [0, оо].

3°. По

построению z — я (0) — наименьший

корень уравнения

ß (a — az) — z = 0.

(2.7)

Очевидно,

что z = l

— тоже

корень

уравнения (2.7).

Выясним,

когда эти корни совпадают.

Из выпуклости

графика (рис. 2) ß(a—az) вытекает,

что вто­

рой корень

г < 1 существует тогда и

только

тогда, когда

угловой

коэффициент касательной в точке (1,

1)

больше единицы,

т.

е.

когда

—aß'(O) = a ß i > 1. Следовательно,

только в этом

случае

рас­

пределение,

соответствующее я (s), будет несобственным. Если

же

a ß i ^ l

(рис.

26),

то я(0) = 1, Т . е. корни совпадают, и

по теореме

Бернштейна

л (s)

соответствует собственная

ф. р.

О

!

г

0

1

г

Рис.

2

Моменты jti, яг, яз получаются

однократным,

двукратным

и

трехкратным дифференцированием

в нуле уравнения (2.1). Далее

берется аналитическое

продолжение

функции я (s)

при

Res>0.

Рассмотрим примеры

(предполагается,

что

со

[ tdB(t)<

y < + C O ) .

о

П р и м е р

1. B(t)=l—е~ы.

Из

(2.1)

получаем

s -f- b +

а — ал

(s)

откуда

л (s) =

s +

a +

b~if(s

+

a+bF-4ab

2а

(взят знак

минус,

ибо

| я ( * ) | ^ 1 ) .

Обращением

преобразования

Лапласа

—

Стилтьеса

получаем

П' (0

=

— l

— h

m Vâb)

е-(«+ь»,

Р =

- г ,

здесь / і ( / )

— функция

Бесселя

первого

рода. Д л я

моментов получаем:

л1=(Ь

— а)~1,

л2

= 2Ь(Ь — а)~г,

я3

= 6Ь (а + Ь) (Ь — а ) - 5 ,

я 4

=

24 Ь (а2 +

ЗаЬ + Ь2) (Ь — а ) - 7 .

Дисперсия периода

занятости равна

я 2 — л\ = (a - f b) (b —

а)-3.

П р и м е р 2.

Время обслуживания постоянно

и равно Ь~1. При этом

В ( 0 Н

° ' ' < г Г ! '

P W - e - * - 1 .

1, г >

b - 1 ,

Используя

(2.1), получаем:

я 1 =

( Ь

— а ) - 1 ,

я г = Ь ( Ь

— а)~3,

я 3

.-= b (2а -\- Ь) (Ь — а ) ~ 5 ,

я 4

== & (6а2 +

8ab f

&*) (6 — а)~7,

я 2 = я ?

а (Ь — а ) - 3 .

Из

примеров

следует,

что дисперсия

периода

занятости — ме­

сти

обслуживания

на b(b—а)~ъ

меньше, чем при

экспоненте.

§ 3. Число вызовов, обслуженных за период занятости

Пусть

pk — вероятность

того,

что

за период

занятости

будет

обслужено k(k~^\)

вызовов.

Положим

p(z)

=

£ P k z k .

(3.1)

Т е о р е м а ,

a)

p(z)

удовлетворяет

функциональному

уравне­

нию

p(z) = zß(a—ap(z))\

(3.2)

б)

уравнение

(3.2)

определяет

единственную

функцию

p(z),

аналитическую

в

круге

| г | < 1 , в

котором | / ? ( z ) | < l ;

в)

пусть

a ß i ^ l , тогда р(1)

=

1, а

при a ß i > l

р ( 1 ) < 1 ;

г)

при

a ß i < 1

Y l ^ - ' v — d * : -

( 3 - 3 )

£

« V . =

Р» (1) +

р- (1)

=

{ 1

+ ^

+

(3.4)

З а м е ч а н и е .

При a ß i > l имеем

1—р(1)>0, т. е. существует положитель­

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м ы .

Пусть O^zsgll. Каждый вызов с вероятностью z обьявляется

красным,

а с дополнительной

вероятностью (1 — г) — синим,

неза­

висимо

от

того,

«какого

цвета

были

предыдущие вызовы.

Тогда

phzk — вероятность того, что за

период

занятости

обслужено

k

вы­

зовов

H

все эти

вызовы

были красными; p(z)='LphZh—

вероят­

ность того, что за период

занятости обслужены

лишь красные

вы­

зовы.

ванием тех вызовов,

которые поступили позже него. Вызов назо­

вем темно-красным,

если он сам оказался красным и за период за­

красные

вызовы. Теперь р(г) есть вероятность того, что взятый вы­

зов оказался

темно-красным.

темно-красным

Каждый

вызов не является

с вероятностью

1—p(z).

Так

как

поступающий

поток — пуассоновый с парамет­

ром а,

то (см. §

1 доп.) поток

не темно-красных

вызовов, посту­

вый с параметром

а(1—p{z)).

Теперь легко

доказать

(3.1). Пусть за период занятости об­

служивались лишь

красные

вызовы (вероятность p{z)). Для этого

которого

начинается

период

занятости)

был красным

(вероят­

ность z)

и чтобы за

время его обслуживания в систему поступали

лишь темно-красные

вызовы

(вероятность

ß(a—ap(z)).

красным

с вероятностью z, О ^ г ^ І ,

независимо от

цвета

других

вызовов

и синим с вероятностью 1—z;

О-моментами

называем мо­

менты начала или окончания обслуживании вызовов; Щ ( х ,

t)dx—

вероятность того, что в момент времени t в системе

присутствуют

k(k^l)

вызовов, а с последнего 0-момента прошло

время

х.

оо

Положим

(4.1)

2 Зяк. 64

17

Тогда sn(z,

X, s)dx есть

вероятность того,

что в одном

периоде

занятости первая катастрофа наступила в момент, когда

все вы­

зовы — красные,

а с последнего 0-момента

прошло

время

х,

П (z, 0 t f

E n 4 ( 0 * * = E j

z*nfc

(X,

t) dx,

(4.2)

oo

л (z,

s) =

^ л (z,

X,

s) dx.

о

Нас интересует функция U(z, t), заданная

своим преобразованием

Лапласа — л (г,

s).

Наконец, пусть фиксирован некий момент окончания обслу­

живания вызова (0-момент) внутри периода

занятости

(конечно,

если период занятости не состоит из длительности

обслуживания

одного вызова) и взята вероятность

того, что в периоде занятости

до этого момента не наступали катастрофы

и в этот момент

в си­

стеме были лишь красные

вызовы. Сумму

всех таких

вероятностей

для одного периода занятости обозначим

через

л(г, 0, s).

Б. Л е м м а

1.

л (г, 0, s) задается

соотношением

л (г,

0,

s)=

^ '

t r

- ?

"

"

^

;

(4.3)

1 —г

p(s-}-ß — az)

R e s > 0 ,

! z | < l .

Д о к а з а т е л ь с т в о

л е м м ы .

Представим

(4.3) в

виде

л (г, 0, s) =

ß (s -г а — az) +

я (z,

0,

s) —- ß (s -[- a — az) — л (s),

(4.4)

где

оо

${s-i-a

— az)

j" e-tH-ad-*)]' dB (t)

о

— вероятность

того, что за время

обслуживания

одного вызова не

наступали катастрофы

и не поступали

синие

вызовы

(поступали

лишь красные

вызовы).

Действительно, каждый вызов — синий

с вероятностью

1—z.

Просеянный

поток

синих

вызовов

(см. § 1 доп.) — пуассоновый с

параметром

а(\—z).

Суммарный

поток,

получаемый

наложением

двух

независимых

пуассоновых потоков

катастроф

и

синих

вызо­

вов

(см. § 1 доп.) — тоже пуассоновый

с параметром

s + a—az.

Далее,

л(г, 0,

s ) £ - 1 ß ( s + a—az)

—

есть

сумма

вероятностей

того, что в

О-моменты

внутри

периода

занятости

были

красные

вызовы и до этих О-моментов не наступала

катастрофа

(вероят­

ность n(z, 0, s)).

За время обслуживания

следующего

вызова не-

б)

функция

я (г, s)

f „(г,

X,

- ;

-

' - ß ( « - - l - - " >

J

-

" О

;

J

s-[-а — аг

1—z

p ( s f «

— яг)

о

(4.7)

Res;>0,

| г | < 1 ,

задает

производящую

функцию

П.(z,

t)—

числа

вызовов

в системе

к

моменту

t.

З а м е ч а н и е .

Пусть

г 0

есть

то

значение

г ( | г | < 1 ) ,

при котором

зна­

менатель

правой

части

(4.6)

обращается в нуль. Тогда

z0 =

ß ( s + a —ого)-

Но числитель в

точке

z0

тоже

должен

обратиться

в

нуль.

Следовательно,

z0

=

я (s).

Получили

другой вывод

формулы

(2.1), определяющей

период занятости

си­

стемы.

§ 5. Число вызовов, обслуженных внутри периода занятости

Пусть

в момент

/о = 0 начался период занятости

и в момент t

он еще не закончился. Найдем

число вызовов,

обслуженных

к мо­

менту t.

А. В настоящем пункте находится совместное

распределение

длительности

периода

занятости

и числа

вызовов,

обслуженных

за период

занятости.

Пусть

<£>k{t) — вероятность

того,

что за время

закончится

период занятости и за его длительность

обслужено

k(k^l)

вызо­

вов. Составим

функцию

def

.»

ф(г, s) -

У e~sx-zk

аФк(х)

=

e~std(î>(z,

t);

k>\ о

Ь

О < 2 <

1;

s > 0 .

(5.1)

Каждый

вызов

считается

красным

с

вероятностью

z и

синим

с вероятностью 1—z.

В систему независимо

от ее эволюции посту­

жены лишь красные

вызовы.

Т е о р е м а

1. й)

ф(г, s)

удовлетворяет

функциональному

урав­

нению

ф (z, s)

= zß (s - j - a — аф(2,

s));

l z | < l ;

R e s > 0 ;

(5.2)

б) уравнение

(5.2) определяет

единственную

функцию

ф(г, s),

аналитическую

при

и

Res>0;