книги из ГПНТБ / Приоритетные системы обслуживания

Рассмотрим

интеграл

1

[ 1 1 Я ^ (2A j ( s j

J I V m ) e s t

d s '

2лі

( s

_ S

где мы

берем уже

ту часть

разреза у точки sm,

которая

входит в

круг с центром sm

и радиусом

а. После замены

s на sm

+ z

получим

&m

=

i£üL\\

+

П — f — Y

A, (sm) гіі-т &

dz.

(4.7)

2ЛІ

LJ

' J J

z

+

sm

/3=0

Однако

на верхнем

берегу

разреза у точки s'm

г=хеія,

а

на

ниж­

нем — z = xe~in.

С учетом этого факта

при рассмотрении

каждого из

интегралов (4.7)

в отдельности,

получаем

- ^ -

Г f — — У

Л, (s.) x'/vm

(e

V

m

) / e - "

dx —

a

'

;>0

-

f —

У

( s

« ) x i /

V m

(e~1

~тУ

e ~ x t

d

J

x

\

s m

0

/5*0

я

J ^ J x +

s„,

vO T

1

Г

Г

Г

Аналогичным

образом получим

выражение

для

QJJ

=

—

I -f-

о

;>o

Сумма

+

ô7m

с учетом

sm

=

s0

-]- iVm

дает

,

-z,

_ 2 e € '

?•

(x -\ - s0 )

COS V m < -|- V m sin <ùmt

л

J

(x + s 0 ) 2 + V ^

0

У

( s m )

s i n J2-

e~xt

dx.

(4.8)

/3=0

З а м е ч а н и е .

Если в

(4.8)

в интеграле заменить верхний предел

инте­

грирования a на оо, то

при

>-оо погрешность

от

произведенной

замены

будет

порядка

0 ( е ~ а

і ) .

Далее, пусть имеем следующее

разложение:

(х -4- f0) cos Vmt -f Vm

sin Vmt

_

y

BT(t)xl.

(4.9)

sin

]Л

\

ѵт

)

V m

t1

+ ( J / V „ ) - f 1

І>0

+ о (/<*•-*>o.

(4.10)

і2яі

J

J J

t J ^ x + s ,

v0

о / = 0

Ps„t

r ( l + - ! - + i )

j ] ( - s 0 ) - ^ ^ . ( S

; ) s i n

/ > 0

; > 0

v0

0 ( ^ 0 - « ) ' ) .

(4.11)

Так как a < s 0

— s*,

то

из

(4.4), (4.5),

(4.10) и (4.11) при t~+oo

получаем

асимптотическое

соотношение

i - n f c ( * )

es,t

SS

x

sin - H

tl+Ulv0)+\

X

V q

X 2:SZ J

5BTf ( ^ . ( s j s h l

f 0(e&-e "),

f'+<//vmH-l

(4.12)

будет

ближайшим

к нулю

отрицательным

числом, в

котором

лк (s)

становится

равным бесконечности.

Разложение

Л&(А) в

окрестности

so

производится,

далее,

с помощью диаграммы

Ньютона. В некоторых случаях отсутствие других

особых

точек

ЯА(А) на прямой

Re s = s0 можно установить,

проверяя

устойчивость

мно­

гочлена R(,U),4)n)l(s—'So)

относительно

прямой.Re

s = s0

(см. [127]),

либо

про­

веряя

отсутствие

других корней уравнения

(4.5), лежащих

на

этой

же

прямой.

Иллюстрируя

сказанное

выше,

в этом

параграфе

мы

изучим

асимптотиче­

ское

поведение ф. р. Ri(t)

периода

занятости вызовов

приоритета

1.

Индекс 1

Пі(^)

в этом параграфе

будем

опускать.

аЬл2 (s) — (1 - L ab + bs) л (s) + 1 = 0.

(4.13)

для ri(s) и лежат

на отрицательной

полуоси

абсциссы,

причем

s0 <so. Интересующая нас ветвь яі (s)

легко находится

из

(4.13),

причем она должна

удовлетворять условию яі(0) = 1.

Как и раньше, обозначая

ni(s)=n(s) , имеем

/ ч

1 +

ab + bs — V

(1 + ab + bsf — 4ab

я (s) = -

1

•

—

•

•

.

v ;

2ab

Выбираем контур интегрирования

Г так, как указано

на рис. 5,

где s 0 < s * < s 0 . Заметим, что на рисунке должно

быть р=0.

Функ­

цию я (s) в окрестности

точки ветвления s0 представим в виде

Я /S \ =

1

+ab + bs — Ь V(s

— ig) (s — î„)

^ '

2ab

1 - f- ab -f- bs0

0

2ab

,1,

-

»'»

,

A,

- L

1

2a

2

2a

A,l

^

0,

A2i+i

=

^4=- •

~

r

^

- • - ( 4 - 1 5 )

2 a / я

П Г ( _ / +- r_ І Л

W

Теперь,

считая

по

формуле

(4.12),

находим

Г

/

2/ - f

1

-Ц 1

So*

I / -1- ——

1 — П (t)

:=

—

!>0

і^О S 0

'

т

г 1

t

2

~

3

О ( О = - ^ -

nikT (k + - | - ) Г к ~ + о ( О .

где обозначено

H-s=ft

а числа

Л2/+1,

у -

0,

1, . . .

определяются в

(4.15).

уравнения

(3.7). Особые точки

ли-і (s)

будут

точками

ветвления

для (Oft(s),

а нули уравнения (3.7)

— полюсами. Так как

число

осо­

бых точек конечно, то теорема

§

2 позволяет

делать

выводы

об

их расположении относительно

начала

координат и мнимой

оси.

видно, что все

особенности находятся в левой полуплоскости.

В случае

а) есть два полюса,

которые ближе к

мнимой

оси,

чем точки ветвления. Заметим, что

тогда обязательно

одна из

то-

IV

IV

IV

рами a i , . . . , ük и

Ь\,...,

bh, при

которых имеет

место совпадение

полюса с точкой

ветвления.

Теперь, так же как и в § 4,

можно вывести

асимптотическую

формулу для 1 — Wk(t)

при t-yoo

и любом k на основании в) рис. 2,

падения точек ветвления на

Г с другими полюсами,

то для асимп­

тотической оценки 1 — Wh(t)

будет

справедлива

формула

типа

(4.12) (конечно, с другими

коэффициентами), однако к правой ча­

сти такой формулы надо еще прибавить члены вида

Выч

<М*) est

1

где число q указывает, какой полюс

coft(s) из тех,

которые

оста­

co2 (s) = J l — а А ) [s +

a1_ — aln1(s)]{l-T-(s

+

a i • -fllJÏ! (s)) b2 }

(s- • a2 )

[1 + (s + ax — АІЛІ (s))

62] + a2

пени lift (s),

если

знаменатель

o»2(s)

записать

в

виде

Л (s)яі (s) + ß ( s )

и умножить на A (s)m(s)

+B(s). Таким

образом,

мы вообще исключим

яі (s)

в знаменателе. Проделав все

эти

эле­

ментарные, но весьма трудоемкие выкладки,

получим

соа (s) =

/С

Bs +

s^-f(Cs +

D)

/

s 2

4 - £ s + F

(5.1)

ßs -j-

s2

(1

a

a 2 ( l

• albl — a2 b2 )

b i -

M 1 +

«1&2 —

•

+ 2 a 2 .

ß

b 2

(&i — bg)

Как

было

показано

в § 4, точки ветвления ( 0 2 ( 5 ) ,

являющиеся

корнями

дискриминанта

s2

+ Es + F=Q,

отрицательны.

Обозначим

их через

si и

s2,

причем

пусть

si>s 2 .

Корни знаменателя с\ и с2

дают нам полюса

юг (s),

где полюсом

может быть только тот ко-

А, //?'

д - — ш

s2

sf

СГС2

s,=c

4R

-iR

iR

A,

iR

O C,

Г

и s,

oC

src,=c2

s

s,

OC.

s"

OC2= CJ

oc,

-iR

-iR

Рис. 7

шениях между коэффициентами а ь

а%, Ьи

Ъ% все

эти случаи

воз­

можны. Все эти случаи приведены

на рис. 7, и здесь полюса с\,

с2

отмечаются нуликами, а точки ветвления Si, s2

—

крестиками.

Случай ж)

исключается, так

как он

противоречит

теореме

§ 2, гл. 7.

Случай а). Ближайшая особая

точка — полюс

Ci (рис.

7 а ) ) .

По формуле

(2.7)

l—W.(t)=l—Wt(0)

—

Г

s

e'1 ds.

(5.3)

2лі

J

_ ! _ Г І ^ ? І £ ) e s ,

d s

- в ы ч ^ в "

и В ы ч - ^ - е *

2лі

J

s

s

s=0

s=0t

г

(5.4)

где

to2(s)

определяется формулой (5.1). В таком случае

Выч

s=0

К

A +

DVF

Л' Л -j-

B c r f с] +

(Ссх -j- D)V^

с? +

£ С і -f-

f

«1 (Ci — c 2 )

Аналогично

случаю,

рассмотренному

в § 4,

теперь можно

показать,

что

при ^ - > о о и при

t-+oo

справедливо

асимптотическое

соотно­

шение

2ш'

S o + ' ° °

,

ft*

[2я(

J

s

X

X

М И (s)

es Ms

f

O(ss *0,

(5.5)

где

s 2 < s * < s r

Оценки

интегралов

l

h

]

по верхнему

и нижне­

му

берегам разреза у

точки ветвления

s1

производятся

так же, как и

в случае,

изложенном

в

§ 4.

Только

теперь

коэффициенты раз­

ложения

J£ïiiL

в р Я д будут

другими. Здесь

можно

записать

es, юAs)2

=

к

lA + Bs + 0] est

L

к

(Cs + D) / ( s -

S]) (s -

s2 ) g

s

t

s

s(a +

ßs +

s2 )

s (s — C!)(s — c2 )

= 0.

В интеграле

& =

Г1

( C s + P ) V(s-sl)(s-si)

e S t d s

2лі И ]

s(s — c1)(s — c2)

сделаем замену s—Si=z

и положим Si — s 2 = li, после чего интеграл

I запишется в виде

1

2пі

(z + S l ) ( z — cî)(z — 4)

2яі

,1 fe>o

Учитывая,

как

и в § 4

гл. 7,

что

на верхнем берегу разреза

z = xe

,

а на нижнем z=xe~ \

мы получаем

in

llг-ІЯ

^

^

Vhп^цкд*-кѵ.)

е-*'dx^j

+ О(e<s.-ô>< ),

о

где в

качестве ô берется

число

m i n ( s ^ s 2 , |Si — с ^ ,

Isx — c2 |,

— sx),

с7

Vh e s ' '

(5.6)

2я

fc>0

Теперь из соотношений (4.3),

(4.5) и (4.6) находим

=

- К

у ^ * '

И*Г + T ) Г"~ "2 + О (e**'-0»).

2it

W 2 (0)

+

K

= 1 ,

(5.8)

a

так

как

V

A+DVF

равняется

полной вариации функции W%(t) на

величина д

интервале ( + 0, оо),

W2(0) есть

ее

скачок в

нуле, а полная вариация W2(t)

на

[—0,

оо)

равняется единице и дается суммой

(5.8).

В

случае

д)

в правой

части (5.7)

на месте qxeCit

фигурирует

сум­

ма

где

-Всг

+ cï+(CcL

+ D)V

cî +

Ect

+F

q = K

•iV

Положим c1 =

— и - f iV,

q = Qx -(-

iQr.

Тогда

i U = 2e-"'

(Qx cos

Vt - f Q2 sin W),

причем

— и <

s r

Остальная

часть

(5.7) остается

неизменной.

месте

В

случае

совпадения

двух полюсов

с, =

(рис. 36), на

слагаемого qxe°J

в (5.7) стоит выражение