книги из ГПНТБ / Приоритетные системы обслуживания

shk(z,

x,s)dx

= zk[\

— Bk(x)]

e-( [ o -Û Z ] ft+ < W*e~s *s dx

+

со

+ snk^

(z, x, s) dx j e-l*Ha-a*W

[1 - Bk (t)] e-°^

CTfc_, -

dt,

о

которое доказывается так.

Пусть первая катастрофа внутри отдельно

взятого

k-цикла

наступила в момент S = (г, х). Для этого необходимо и достаточно,

чтобы:

либо

начальный

вызов

красный,

первая катастрофа

наступила

через время х после начала его обслуживания, до этого

момента

не поступали вызовы приоритета

выше k и синие

вызовы

приорите­

та k и ниже;

либо

во время обслуживания

вызова приоритета k раньше ката­

ритета выше k, прервавший обслуживание,

а за отдельно взятый

(&—1)-период первая катастрофа наступила

в момент

S—(z,

х).

С х е м а

3. а) неидентичное

обслуживание

заново.

Отдельно взятый k-цикл

может

иметь

начальный

этап

двух

типов. Либо

за время обслуживания

начального вызова

не посту­

пают вызовы приоритета выше k и k-цикл, а также начальный

этап

оканчиваются с окончанием

обслуживания

этого вызова,

либо

ва более высокого приоритета (кончается начальный

этап) и начи­

нается {k—1)-период,

с окончанием которого

((k—1)-периода)

цевом

начальном этапе, во

втором —

неконцевом.

Пусть <Pfc(0

и Gk(t)

распределения

концевого

и неконцевого

этапов соответственно. Имеем

ФЙ 0) =

ßft (s +

а*_0,

ОО

gk (s) =

f e-* [1 -

Bk(t)]

e~°k-i

4 - 1 dt

=

-

^

-

[1 -

ßf t (s +

о*_,)].

0

Вероятностными

рассуждениями доказывается

формула

(4.8)

shk (z, x, s) dx = zk

[Фк (оо) — Фк

(x)] é~la~az'lkx

e~sxsdx

+

+

zk [Gk (oo) -

Gk (x)] е - [

а

- а г

]

ь х e-°* s dx

+

Г Л А В А 6.

СИСТЕМА С ЧЕРЕДОВАНИЕМ

ПРИОРИТЕТОВ

На прибор поступают г независимых пуассоновых потоков вы­

зовов L i , . . . , L r

с интенсивностями а.\,..., аг.

Длительности обслу­

ф. p. Bk(t) для

вызовов А-того потока

(k=l,

г).

Если вызов г'-того потока, приходя в систему, застает, ее пус­

той, то прибор сразу начинает обслуживать

этот вызов.

Вызовы

одного и того же класса

обслуживаются в

порядке поступления.

Дисциплина выбора на

обслуживание

среди

различных

потоков

вызовов следующая. Пусть в некоторый момент времени

прибор

был свободен,

и пусть

первый поступивший

в систему

вызов

до

тех пор, пока их не останется

в системе, затем процедура выбо­

ра

повторяется и т. д.

Таким

образом, если прибор

обслуживает вызовы

приоритета

і, то он не

может переключаться

на вызовы приоритета

/(і=й=/) до

прибора.

В случае, когда за переключение

прибора приходится

платить

большой «штраф», подобная дисциплина более выгодна,

чем какая-либо другая. Примером указанной

дисциплины может

{и'х)

= (и, ...

,и,

хі+и

. . . ,хг);

[хи1)

= (хг, . . . , х г

_ ь и, . . . , и);

(игхѵ>) =

(и, . . . ,и,

хі+\,

. . . , Xr-j, V, . . . ,v);

{xvtx)

= {x1, . . . ,Xi-u

V, Xi+i, . . .

,xv);

(u'xVjX) = ( « , . . . , u, xi+i, ...

, Xj-u V, Xf+u . . . , xr);

ax = avxx + . . . + arxr

(i = 1, v).

При помощи дополнительного события выводятся

уравнения

х{Ріп+1

=

[ Р , „ (О'-'х) -

Pjn

(0<х)] + [Pln (x) -

Ріп (х0,х)]

+

г

+

S [P^-'xO^-P^O'xO^+^f-PAO^^ia-ax)

(1.1)

и

P{n(V-1xlr-4

= Pin{lr)<oin(al-a.xi)Ç>l(ai-aixi)

( | x , | < 1). (1.2)

Аналогично показывается,

что условием

существования

ста­

ционарного

распределения является

неравенство

Pf=<hhi+

••• + а Л і < 1 -

(1.3)

Тогда существуют пределы

lim Ріп (x) = Р , (x), lim Рп

(x) = Р (x)

( | xt

| < 1, i = Î77) . (1.4)

п~>оо

п -у оо

При

ЭТОМ

р(х)

= j ; P , ( X ) ,

І * І < І ,

Р ( І О = i .

(1.5)

(=1

Уравнения

(2.1), (2.2) при я - * о о

имеют вид

+

[ Р У (0'->х03.х) - Р 3 . (0<хО;.х)] +

Р (00,

( 1.6)

Pt

=

P. (F) a>, (at -a{xt)

ß, (a, - а

Л

) ,

(1.7)

где

Ч- iflt — aixt)

= 1 i m

®rt K- — « Л ) .

I

К

1 •

Отсюда имеем соД+0) = 1, следовательно,

W{(t)

=

lim W{n{t)

есть

несобственная ф. р.

Б. Нахождение Р(х).

Суммируем

(1.6)

по

і

от

1

до

г.

Полу­

чаем

суммарное

уравнение

г

S *Tl{x\

=

р w

+

Г —

- 1 > ( о о ,

(1.8)

Лші pi (а — ax)

\

a

J

или

VI

(*)

[xt

-

ß(

(a -

ax)]

=

( - ^

l ) P

(00,

(1.80

Pi (a — ax)

справедливость которого для широкого класса

систем

(включаю­

щего и эту систему)

была доказана ранее в § 5 гл. 4.

З а м е ч а н и е

1.

Рі(х)

Pi (a — ах) [Xi — pi (a —

ах)]+Рі(х0іХ)

не зависит от первых і—1

координат,

т. е. от

х\,...,

Хі-\.

З а м е ч а н и е

2. В

§

5 гл. 4 доказано

утверждение. Система функциональ­

ных уравнений

/

г

Uki=^do — Uk-~Y^aixi)

( t ' = l ,

£ — 1 )

ft-l

(1.9)

"ft

в

области 2 a j R e

* j <

2

a J

и

м е е т

единственное

аналитическое

решение

иы =

=

«fti

• . • , *г)

такое,

что

| щі

I <

1 (t =

1, г ) , а

также при

р <

1

ft-i

lim

u f c (x A ,

. . .

,xr)=

У\аі.

(1.10)

Хі = "/•! ( * г ) . • • • •

= Urr-l

ixr)-

Тогда

xc — ßc(o — ах) = ип—

ߣ

(а — ur

— arxr)

=

0

(i=\,r—1);

(1.11)

хг — ß r

(а — ах) = xr — ßr(a

— ur —

arxr).

Из уравнения (1.8) и (1.11) получим

—

і — [х, — ßr (cr — ur

— arxr)\

= Gr(xr),

(1.12)

где

ß„ (о — «, — аг л:Л )

Gr

(xr) =

g f* ' P (0r ).

CT

Вспомнив замечание

1, согласно

которому

ß , (CT —

ox)

ß , ( o — ur

— arxr)

[xr — ßr{o — ur — arxr)] +

+ P r ( « r l ,

. . . . U r r - x , 0) = Ф,(А:,),

| X , | < 1

(i =

Г77)

(1.13)

есть

функция,

зависящая

только

от хг;

из (1.12)

имеем соотношение

Фг (хг) — Рг

(иа,...

, Urr-i,

0) =

P f

( x )

[хг ~ßr(a

— ах)}

+

Рг (ст — ах)

-і-РДхО,) — Р , ( и г 1 ,

. . . . И г г - ь

0)=Gr(xr).

(1.14)

Как

видно из (1.14), для нахождения

Рг(хг)

нужно

знать

Рг(хОг).

Л е м м а .

РГ (*0Г ) =

ФД2Г ) +

-a^rzРr( 0 ' ) ,

(1.15)

где

ст

г—1

г, =

я , ( 2 ^ 0

— **)}.

К - К 1

( і = 1 , г — 1 ) ,

і=і

а ят

(s)

преобразование

Лапласа

—

Стилтьеса

от ф. p.

Tlr(t)

периода

занятости

системы

M | G111 оо с интенсивностью

входящего

потока,

равной

аг,

и ф. р. длительности

обслуживания

Br(t).

Утверждение

(1.15)

следует из (1.13), если положить там

г—1

• хг

= я , { £ а , ( 1 — * , ) ) ,

І = І

и того

факта,

что

nr(s)

=

ß r ( s + ar

— а,яг (в)).

Теперь

из соотношения (1.14) получаем следующее функциональ­

ное уравнение

относительно неизвестной функции

Ф г ( х г ) :

где

Фг{хг)

= Фг&) + Ѵг(Хг),

(1.16)

zr = лг (о>_і — ur(хг)),

оѵ-1 =

at,

yr (Х ) =

+

р( 0 Г ) _

О

Таким образом, мы можем теперь выразить Рг(х)

через

Р(0Г ) из

(1.13) и

(1.15):

Гг(х)-Тг(пг)

р (

о

_ а

х )

і

(1-17)

где

жг — р г (а — ах)

Г, (x) = Г г (х1 ( .. . , хг) = Фг (xr) +

-

^

,

Y r (Xzr)

= Гг (Xlt

. . . , Xr-u

zr).

Вообще,

чтобы

найти Pk(x),

положим

i

Xj, =

"fci (Xk,

. . . ,Xr), . . .

, Xk-\ =

Ukk-i

{xkt

. . . yxr)

( k - - l , r ) .

Тогда

*t — Pi (a — a x

) = 4i — ß/ [a — uk — £

aixi)

— 0

(t

=

1. * —

1),

г

xi — ßi (о — a*) =

— ß( (<* — " Л —

£

a,-*,)

(i = k,r).

i=k

Из

равенства (1.8) имеем

_

P f c ( « A - 1 , * ) _

[

X f t _ ß e

( a _ U

f t _ [ a

x ] f t ) ] )

( 1 л 8 )

ßFE(0 — wfe— [ax]fe)

.где (

[a*]f t = akxk

+ ...

+ arxr,

Pk (Ф-"Х)

= Pfc

( Ц И ,

. . • , Ukk-U

xr, . . .

,xr).

В силу замечания

1 для i > &

P i ( x )

[xt-p-{{o-ax)]

+ Pt№{x)

=

ßi (0 —

ax)

'

157

P * ( « ( f t l)x)

.[Xl-p{{a-uk-[ax]k)

f

ßi (a — Uk— [ax]k)

+ P(. ( H < * ~ » xO]x) = Ф, (*l f . . . , x r ),

(1.19)

где по аналогии

с (2.13)

Ф((х{, ...

,хг) есть

функция, зависящая

только от х{, . . . , хг

Р, (u<k-UxOtx)

= Р( (uA l , . . . , uÉ É_b

. . . ,

0 , X j + i .

. . . , хг).

Из выражения (1.19) можно получить выражение для

Pt(xQtx),

ана­

логичное (1.15)

Р, (хОсх) = Ф, (z,*,+ 1

хЛ ) + — - Р (00,

( 1.20)

г

о

где г£ = я , - а ; - ( 1 — л г 3 ) | ,

a я,-(s)

является

преобразованием Лап-

/=і

г

г

£ Фс(х£,

... ,хг) = '£Ф1(г{,хш,...,хг)

+ Чк(хк,...

,xk),

(1.21)

где

z{

= nt(o — at — uk— [ax]k -f- atxt)

{i > k, k = Ï77),

r

+ 2 ß i Z ( — a

Wk (xk,

...,хГ)

=

<=*-

P (00.

0

Из (1.19)

с учетом (1.20) имеем

Pk{x)=

$k(o-ax)

( Ä = l , r ) ,

(1.22)

где

Xk — Pk (о — ax)

Tf c

(x) = rk (xlt

. . . ,хГ)

= Фк (xk, ...

, xr) + Ä

p (00,

Tk (xzkx)

= Tk (xv

. . . , Xk-u zk, xk+i

xr).

" * ( * ) = —

—

—

( | l - S a - ' | < l ) ,

(1.23)

ûfe

Pfc (s)

откуда, имея в виду

(1.22),

получаем

щ (s) =

о { Г к ( 1 * ) - Г к ( 1 * - 1 ,

1-saj1,

V~k))

s — ak + af e ßf t (s)

—

а < Ф * ( 1 г ~ й + 1 ) - Ф * ( 1 - * * г Л r - A ) } + s P ( 0 0 .

2 4

a ß i < 1-

(2.1)

Обозначим через

(t) возможное время ожидания, начинающееся с

момента t. Положим

ю<*> (s, t) = Ше-™(к) «>

(2.2)

и обозначим

через

Poft)

(t) вероятность

того, что в момент t

систе­

ма свободна

от

вызовов. Просто

выписываются

уравнения

со№ (s, t) = els~a+a^V

{[ß (s)]* — s J

e-r*-e+««s>]* p<*> (x) dx},

(2.3)

00

о

f

P?> (X) dx = ms + a-an(s))}\

(

2 > 4 )

J

s +

a— ait (s)

о

я (s) = ß(s + a — ал (s)), R e s > 0 , | j t ( s ) | < 1,

(2.5)

<D<*> (s, t) =

(s,

0 +

J co<°> (s, z1

— u) d [U (u)]*,

(2.6)

где

со' (s,

t)

=

Me-sw(k){t\

(2.7)

а П ( / )

— ф. p. периода

занятости

системы

M | G | 1 . Доказательство

(2.6)

проведем, использовав

поток катастроф. Пусть за возможное

время ожидания, начинающееся с момента t, не наступала

ката­

строфа

(с вероятностью

o#)(s,

/ ) ) . Для этого необходимо и

доста­

точно, чтобы

либо

во всем промежутке

[0, t) прибор был занят и за

время

поступивших до t, не

было

катастроф

(вероятность co(fe)(s,

t)),

либо

в какой-то момент

u(u^Lt)

система освободилась

от вы­

зовов (с вероятностью

d|TI («)]*)

и за

возможное

время ожидания

wW)(t—и)

не было катастроф

(вероятность со( 0 ) (5,

t—и).

Б. В

дальнейшем

предполагается, что выполнено неравенство

fllßu

+

. . .

+ f l r ß r l < l .

(2.8)

Ф;(%> = Ѵ Р Д / ) 4

(2.9)

Qfc_! (Xk-u xk) = 2 р ч 4 - і 4 >

(2 - 1 0 )

1 - S а ' ßa 1 + S Ф і ( Я ( Л

- а***> - я ( / ) Ю > +