книги из ГПНТБ / Приоритетные системы обслуживания

Г Д 6

« A n

(x)

— производящая

функция распределения

числа

вызо­

вов,

находящихся в системе в л-й марковский момент,

когда

в

этот

момент систему покинул вызов приоритета k.

Составим систему рекуррентных уравнений для определения

Pftn(x).

2. Для

рассматриваемой

системы

обслуживания

име­

Л е м м а

ют место

соотношения

•Ч Pf t „ (х)

=

Рп

(О-», x) -

Рп (О*,

х) + Рп

(0)

- ^ -

х{

Б„

(х)

а

\хк\<\

( Ä - T 7 7 ) ,

(3.4)

где

запись

вида

(0'{,

х) эквивалентна

записи

(0,0,...,

0,

х^+і,..

-,хг),

а 0 эквивалентно

(0, 0, ... ,

0).

г

Справедливость

соотношений

(3.4)

для

Д о к а з а т е л ь с т в о.

0<ÇXfc^l,

k=\,

г

не сложно

проверить раскрашиванием

вызовов,

£ Р Л ( * ) = Р(х), | * f t l < l

(k = ü~r),

Ч p fc (*)

Р (0к-\

х)—Р

(0е ,

x)

- I -

Р (0) —

хЛ

а

( | * f c [ <

1,

k

=•-= 1, г).

(3.5)

Просуммировав

по

получим

ах

P(0).

(3.6)

a

Заметим,

что

из

формулы

(3.5)

следует,

что

отношение

не за-

k—1

ß f t W

висит от

первых

координат.

Этим

и

воспользуемся.

Если

удастся найти решение

системы

функциональных уравнений:

ukx

=

Bi(ukl,

... , UkM-u

xk>

• • • > xr)

( t ' = l , Ä—1)

(3.7)

для всех

k = 2,

г,

относительно

функций

uhi

у

переменных

x h

,

х п

то при подстановке этих решений в (3.6)

нас обратились

бы

в

ноль первые k—1 слагаемых левой части.

В пункте Д будет доказано, что (3.7)

имеет

решение

внутри

единичного

круга,

при

| x w | ^ l

(n=k,

г),

если

хотя бы

одна

из

координат

хп

отлична

от единицы. В пункте

Е будет доказано, что

ния, т. е. р < 1 , такое

решение единственно и аналитично в рассмат­

риваемой области.

Используя

прием раскрашивания

вызовов, можно

убедиться,

что

Uhi(xk,...,

Xr), 0 ^ х „ ^ 1

(n — k, г)

есть вероятность

того, что

за

период занятости

системы

вызовами

потока L k - : и более высо­

та i

(і=\,

k—1), в

систему поступят

разве

лишь

красные вызовы

приоритета

не выше

k.

k — r,

Таким

образом,

подставляя

в (3.6)

решения

(3.7)

при

г—1,

2, мы может определить шаг за шагом

отношения

Pfc ("ftl '

• • • ' uk,

ft—1 '

xk > • • •

» xr)

Bft("ftl.

• • • . uk,

ft-1'

xb<

• • • > xr)

и, следовательно, функции

Р^(х). При этом в выражение

будет

вхо­

Справедливы

соотношения

Р А Л І * - 1 .

xk,

ir-k)

= Pkn(l)^n(ak-akxk)Bk(lk~K

xk,

1-*)

| * * | < 1

(k^TTr).

(3.8)

Здесь (ùhn(s)

— преобразование Лапласа

— Стилтьеса

от

ф. р.

времени

ожидания

начала

обслуживания n-м вызовом

приори­

тета k.

Для 0 ^ х п ^ 1

они подтверждаются

вероятностными

соображе­

ниями: левая

и правая части

представляют

вероятность

того,

что

в п-й марковский момент прибор покинул вызов приоритета

А й в

системе

остались

разве лишь

красные

вызовы приоритета

k.

На

всю область это соотношение можно продолжить.

При выполнении условия существования стационарного рас­

пределения можно перейти к пределу в (3.8). Тогда

Р,(Т* - \ xk,

Р-*) = Vk(\)ak{ak-akxk)BkÇ\k-\

xk,

V~k).

Существование предела <»f t (s)=

limcof e / î (s)

вытекает из

существо-

Л-»оо

«Ma* —ВДк)

-

H M O ]

, P j f e ( ï * - 1 ,

xk,

Y-k)

Ek(\k~\

xk,

V~k)

Положив

xk

1 —

*n =

nkn (s) s= ukn

( 1

—,

V~k

)

(л =

1, é — 1),

Oft

*„ =

1

(л =

A +

1, r),

стандартным для метода вложенных цепей

Маркова способом

полу­

чим выражение для

(ok(s)

,-.

(с \

PfcCs +

Öfe.i—-Oft.j

Я Е - І ( « ) )

s — a f e [ l — M s ) ]

где

A, (s) =

ß, (s +

о,.,)

+

[1 -

ß, (s +

а,_0]

q

* - i r t » - i < s L

s

(s + ffA-i)

=

->*(яА 1 («). •••

. Ï Ï A A _ I ( S ) ,

1

— ,

l ' - * Y

V

ak

/

2pfc-i

Pfe

Г. Будем говорить,

что находящиеся

в

системе вызовы

образуют

очередь

типа

k(ki,

kr),

если

в очереди £і вызовов

первого приоритета, кг

вызовов

второго приоритета

и т.

д. Тогда через

Pin(k)

обозначим

вероятность того, что

я-ный

вызов

есть вызов

приоритета

і и

оставляет после себя

в системе

очередь

типа

k.

(i;

k), если,

Будем

говорить, что система

находится

в

состоянии

покидая

нечным числом состояний. Пусть {qet}s,

( >і

— матрица

переходных вероятностей

цепи Маркова М.

И з т е о р е м ы

Ф е л л е р а

(Неприводимая

непериодическая

однородная

цепь

Маркова

принадлежит

к одно­

му из двух

классов:

а)

либо

для любой

пары

индексов

s,

t,

Р(^'->-0 при я->-оо и

не

существует

стационарного

распределения

(все состояния

невозвратные,

или

все

состояния

нулевые);

б) либо

все

состояния

эргодические,

т. е.

1 і т Р ^ )

= Р < > 0 .

(3.9)

В этом

случае

{Pt}

— стационарное

распределение

и не

существует

никаких

других

стационарных

распределений.)

следует, что

пределы

Рі П (&)

при

п-^-оо су­

ществуют.

Найдем условия, при которых состояния цепи Маркова

1W эрго­

Т е о р е м а

1. Все

состояния

цепи Маркова

M

эргодические,

если

р г 1 < 1 .

(3.10)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Установим следующую

нумерацию

состояний: состоя­

ниям (1 . 0), ... , (г,

0) — соответствуют

числа 1 , . . . , г, а

для

остальных

состоя­

ний номера устанавливаются произвольно. Тот факт, что

состоянию

(i;

k)

соот­

ветствует номер s,

запишем

как

s =

s(i;

k).

Д л я

каждого состояния

s =

s(i; к)

определим

# 8 =

^ 1

1

+ •••

+ k r

b n .

(3.11)

Т е о р е м а 2.

Пусть

неприводимой

непериодической

эргодич-

ной

цепи

Маркова

соответствует матрица

переходных

вероятностей

{Qst}

(s,

t=l,

2, ... ) . Если

l i m qf)

=P((k)

= Pt[t

=

Hi;

Щ,

« - » C O

где

qTt

— вероятность

перехода

из

s в

t

за

n шагов

(здесь

пре­

делы

существуют, положительны

и не

зависят

от s), тогда мы

име­

ем

для

неотрицательных

функций

состояния

Ft

И т £

$ > F ,

=

£ P , F ,

(3.16)

для

каждого

s.

о і

о і

Если

положить

Ft^Ft(k)

=

x\\

. . .

,

xkrr,

то

для

k

=

1,

2, . . .

r, | J C J < 1 ,

г =

l , r

lim Pf e n (x) = Pk

(x),

lim P„ (x) =

P (x).

При

ЭТОМ

ukt=B{(ukl,

. . . ,uk,k-i,

xk,

...

,xr)

(i=l,k—l)

(3.17)

относительно переменных им,

\x \ <Cl.

Фактически

нам

необходимо показать разрешимость системы

k—i

4

/=1

/ = *

ft—1

г

ft—1

= ßn (а — £

fly

— S а Л - ) + [ 1

— ß» (° — S aiukj —

j=n

j=h

j—n

r

n—l

"

k—l

T

- 2

ai

xi )] ( £ а

Ы I [° ~ .S

аіиы - 2 а

л) •

/=ft

/=і

/=n

z=ft

Заметим,

что

при

ukn

— 1 (я =

1, é —

1) л:. =

1, (/ =

k, r)

являются

решением

нашей

системы.

Покажем,

что система

разрешима и при

І Л К 1 '

/ = * Г л

И

\ukn\<l>

л =

k—l.

1 — ахЪх

— а2Бх

. . . — а й _ і Б 1

h-i {uk, x)

— ajBjj

1—а2 Б3

. . .

— а £ _ і Б 2

— üjBk-]

—a2bk—l

. . .

1—ük—ibk—i

ft—1

T

Бі = ßi (a — V

an ukn —

£

an

x„),

/1=1

n=ft

Ift-i(«ft.

*) = П О—Я/lß/j).

л=і

Так как

Ift-l(«ft, X) > I f t - l ( ï )

= p,

то мы получим

Ift-i("ft. x ) > 0 ,

если

p >

0 или р Л 1 <

1. *

одного

и того же приоритета несуществен.

В начальный

момент

система

свободна

от вызовов. Сохраняются

определения и обозна­

чения § 2, гл. 4.

А. Предварительное замечание.

Заметим,

что строение

всех

промежутков,

описанных

в п. А § 2 гл. 4

(кроме

k-цикла),

для

СМО с относительным

и разновидностей абсолютного

приоритета

одинаково.

Следовательно, для разновидностей СМО с абсолютным

прио­

ритетом остаются в силе леммы п. Б § 2 гл. 4. Все различие

заклю­

чено в строении

k-циклов.

Jiki(s),

Функции hh(s),

nhk{s),

я (s) для разновидностей

СМО с

абсолютным приоритетом

определяются в гл. 3, где выписаны

так­

же условия существования

стационарного распределения.

Б. Формулировка результатов. Имеет место

Т е о р е м а . Функция

P(z, s)

вычисляется

по

формуле

P(z,s)

= 1

+

,

(4Л)

s -f- ст —

0 Я (s)

где

on (z, s) = arnr

(z, s) определяется из рекуррентных

соотношений

aknk(z,

s) = ak_x

я*_, (г, s) +

hfz'"]

—

x

4 — ftfe (s + [a —

az]f e )

X

{akzk + Ok-i

iik-i

(s + [a — az]k) — aknk

(s +

[a — az]k+1)}

(k =

1 ,r),

(4.2)

(4.3)

С х е м а

2 (потеря

прерванного вызова)

s + Gk-i +

[o — az]k\

(4.4)

С х е м а

3 а) неидентичное

обслуживание заново

hk (z, s) = zk

1 — ßfe (s

+

s +

[a — az]k +

Ofe-i — 0ft-!

rtft-i (s + [ 0 — az]ft) X

n + R [ ÜTb + ?")

ÏT (1 + Gk~lnk~X(2'S)] {k= Г)- (4 '5)

X [1 — M s + [ 0 — azb +

Oft.i)]

б) идентичное

обслуживание

заново

hk(z,

s) =

zk^

-f- [ 0

(i _ r < s +

[ a _ a z ] f e + f f * - i ) T }

x

x

о

s

—

az]k4-

ak.x

— akml

я 6

. х

( s -f- [a — az]k)

X

dBk(x)

[1 + ^ - ^ ^ ,

( 2

,

s)]

{k =\,r).

(4.6)

Здесь

u,fe (s) =

s +

af t _j —

ok_x nk-i(s).

(4.7)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Первые две формулы теоремы

приведе­

ны в следствиях § 2 гл. 4.

hh(z,

s)

Остается

получить выражения

в каждом отдельном

случае.

С х е м а 1. Формула

(4.3) непосредственно следует из

формулы

hk(z, x,s)

=

zk{\

- B k ( x ) ] е - ^ 0 - ^ *

+

+

l - f e ( M . + r a - « I > ) ) а А _ 1 Л А _ , ( г > X f

s ) )

(s +

[о — az]fe)

которая, будучи записанной в виде

shk

(z,

x, s) dx =

oo

+ VW»*-, (2, x, s) dx-

j

e ^ ^ f t + ^ - i t ' - « * . ^ ^ ] ^

x

X

о

[\—Bk{t)]ak^dt

доказывается следующими

рассуждениями.

Пусть

k фиксировано.

Функция

h^(z,

x,

s)

не изменится, если

го вызова. Этот промежуток

есть А-период. Вызов назовем

хоро­

шим, если за (k—1)-период,

связанный с ним, не наступала

ката­

строфа и не поступали синие

вызовы приоритета k и ниже.

Пусть первая

катастрофа

на отдельно взятом k-цикле наступи­

ла в момент S=(z,

х). Для

этого

необходимо и достаточно,

чтобы

начальный вызов оказался

красным

и