книги из ГПНТБ / Приоритетные системы обслуживания

Умножим обе стороны

формулы (3.10) на s и при k --- г— 1 уст­

ремляем

s к

нулю. Так как

существует

р0=

lim Р 0 (/), то

сущест-

вует

*->+«>

оо

рг

-=

lim Pr (t) = lim Г e - s ï P r (x )

(см. § 7 доп.).

Далее

при условии существования

р 0

и рг

для £ --- г—-2 из (3 10)

устанавливается существование

рЛ _і =

ПглРг _і (/) и т. д.

Следова-

_

_

/ - » + о о

тельно,

существует предел р . ^

lim Р . (Л .

откуда

Pi = ar

(3.15)

В формуле (3.14)

устремляем

t —»j-j- оо и применяем правило

Лопителя. Откуда]

г

«>*(s) = [Poî^fe +

£ P 3 ( l - - ß 3

W ) ] [ s — fl* + a*ß*(M"L!-

(3.16)

«>*(*)=

~

,

.

(3-17)

где цк определяется

из (3.11).

Отсюда

<oel =

^

,

(3.18)

2p*-l Pfc

m i a =

+

PnP*.

+

_

_ ^ ! ^ .

(3.19)

3pfe_,

2p| _, pf c

2 p f t - 1

pf t

oo

З а м е

ч а н и е.

В

случае, когда

(JC) =

. . . =

Вг

(х) =

5 (ж),

е - s * Р,- (x)

находятся

в явном

виде. Действительно, тогда

о

(3.20)

откуда

e-s v 'Pf e (A:)dx =

^ — —

^ —

(fe = 2,

r)",

(3.21)

J

l - ß ( H f e )

l - ß ( ^ + i )

а

я (s) = ß(s-'; • а — а я (s))

( R e s > 0 ) ,

| я (s) | <

1.

(3.22)

условии, что после момента

t вызовы

в систему

не поступают;

(0h(s, t) — преобразование

Лапласа

— Стилтьеса

от wk(t) —

С помощью катастроф легко доказывается

формула

(ùk(s,

t) = (ùk-i(s

+ ok

— 0knk(s),

t).

(4.1)

Замечая, что (oft(s, t),

Ро(х),

Pj(x)

(j — 2, г) не зависят

от порядка

обслуживания вызовов одного

и того же приоритета,

и предпола­

гая, что вызовы одного и того же

приоритета

обслуживаются в

порядке поступления, из (3.5), (3.6) и (3.10) имеем

ft-i

[*-2

at <l-ß,(s))]f

©A_i (s, t) = e

' = 1

X

t

-[S-fi

в(С1-Р,(*))]дг

x i l — s j P 0 ( x ) e

f = 1

dx —

k—i

r

t

~ [s _ 2

a i ( 1 - ß i ( s ) ) ] x

_ 2 ( l - P , ( s ) ) J

Р у (х)е

1 = 1

dx},

(4.2)

J=k

о

^e-^Pl)(x)dx^ii7+l,

(4.3)

о

y

' " M M f г * p { x ) d x _

^

_ ^ ь

( 4.4)

/Г*

^

ô'

где

(it =

s4- 0 f e _ i — aft_!

Я Е _ ! (S),

(4.5)

k

^ Л ( 5 ) = £

a,ß,(s + afc — ад

(s)),

R e s > 0 ,

| n f e ( s ) | < l ,

(4.6)

я (s)

ar(s),

ak

ai + • • • r

aft,

07 =

a.

(4.7)

cofe(s, t) = e[s+ak~akh^k+0¥

x

X {1 -

Ціи-і f P0 (x) e~[s+a^a^k+№

d x _

о

- £ (1 -

ß, (uA + 1 )) j4 (x) e-[s+ab-a^+Vxdx}.

(4.8)

;=fc

0

Так как уравнения, определяющие Pj{x) (j = 2, г)

и Ро(х), в

нашем случае и в § 3 совпадают, то при выполнении

условия ста­

ционарности

существуют пределы

р 0 = 1 і т Р 0 ( 0 ,

Р і = lim P,(f) (j = 2,

г),

t->-{- СО

/-»-[-00

равные

р „ = і - 2 а ' р л « ^ = ѵ

(4Л°)

8 Зак. 64

И З

..(.) = Um M , . 0 =

s.+

£а

- « Ы , ^ '

•

( 4 Л 1 )

-г * —

akfa(Pk+i)

Подставляя

вместо р0

и

р . их

значения

из

(4.10),

заключаем,

что

1

— ^

ß i ß i l )

(S +

Oft — öfcJtft ( s ) ) - г

2 « Л 1

— ß j

(S "I

«fe — Oftrtft (S))]

i = l

s - { - öfe — af e ße (s +

j=k

Oft — aknk (s))

(4.12)

Формула (4.12)

позволяет вычислить

моменты

(л

—

Р'2

(4.13)

<»* =

3p f t

_ i pfe

+

2 Р й _ ! P f t

+

?

Ä

(4-14)

2 p é _ ! 9 k

З а м е ч а н и е .

Как и следовало ожидать,

Ыкі

не

зависит от

порядка

обслу­

живания вызовов приоритета

k.

зовать

вектором k=(ku...,

kr);

здесь ki

— число вызовов приори­

тета і,

находящихся

в системе

( г = 1 , г);

pin(k)

— вероятность

того,

что л-ный вызов (нумерация вызовов

в порядке их

обслуживания)

является вызовом приоритета і и, покидая прибор

(после оконча­

ния

обслуживания),

оставляет

в

системе

очередь

типа

k=(ku...,

kr).

Если x— (х\,...,

хг),

k=(k\,...,

kT)

— два

вектора размерно­

размерность), то положим хк

=

х\1,

...

,

xkrr,

и далее

Ріп(х)

=

£

Pin{k)xk,

РП(Х)

=

£

Ptn(x).

(5.1)

Здесь условие £ > 0

означает

kt

> 0,

. . . , kr >

0

(и'х)

=

(и, ...

,

и,

Xt+u

...

,

хг),

(XU*) = (Хх,

. . . , Xr-i,

и, ...

,

и),

=(«,...,

U, Xt+i,

...

,

Xr-j,

V,

... ,

v).

либо tt-ный вызов,

покидая

прибор,

оставлял в

системе

хотя

бы один вызов приоритета /, не оставляя

вызовы приоритета

выше

і, все оставшиеся

вызовы

были

красными

(вероятность

P „ ( 0 ' - 1 x ) — Рп (Ог 'л:)) и

за время обслуживания

следующего

ятность

(а—ах) ) ,

либо

/г-ный вызов, покидая прибор, оставлял систему свобод­

ной от вызовов (вероятность

Р П ( 0 Г ) ) , следующий

поступивший вы­

зов был

вызовом приоритета

I (вероятность СІ)

И красным (веро­

синие

вызовы

(вероятность

ßj(cr—ах)).

Сейчас мы

получим

еще

формулу

Р,„ (

ХѴ-І)

=

Р.„ (К)со(.„ (a, -

atxt)

ß, (a,

-

а Л )

(5.3)

в предположении, что вызовы одного и того же приоритета

обслу­

живаются

в порядке

поступления.

Для

этого

заметим, что Р[П(Ѵ)

— вероятность

того,

что

/г-ный

вызов

есть

вызов

приоритета

і;

PTN

(lc~l

х\г~1) =

S \_k±

> 0, . . . ,

kr > 0

1 pin

{kx,

. . . , kr) Xi1 — вероятность

того,

что

/г-ный

вызов есть

вызов приоритета і и все вызовы приоритета і, оставшиеся

в

системе

после

его

обслуживания, являются

красными;

со

Xi

\

1

'— е-"іи

dBt

(и)

=

ß, {at

— aixl)

— вероятность

того,

что

mSïO

0

за время обслуживания вызова приоритета і в систему

не

посту­

пят

синие

вызовы приоритета і; аналогично О)ІП (ЙІ—at

Xi) —

веро­

ятность того, что за время ожидания начала обслуживания

п-го

вызова в систему не поступят синие

вызовы

приоритета

і при

усло­

вии, что /г-ный вызов есть вызов приоритета

і.

Теперь формула (5.3) получается из следующих рассуждений.

Пусть /г-й вызов был вызовом приоритета і и все вызовы

приорите­

та і, оставшиеся в системе после его обслуживания, были

красны­

ми

(вероятность P*n(l i ~ 1 *l r _ i ) ) . Дл я

этого необходимо

и

достаточ­

но,

чтобы

/г-й вызов

был

вызовом

приоритета

/

(вероятность

Р г „ ( 1 Г ) ) ,

за

время ожидания

начала

обслуживания

этого

вызова в

систему

не

поступали

синие

вызовы

приоритета

і

(вероятность

tûin(fli—а*))

И за время его обслуживания

в систему

не

посту­

пали синие

вызовы приоритета / (вероятность ßi(ßi—«t#i)) -

хг,

Мы не накладывали никаких ограничений на числа

Х\,...,

кроме

О ^ Я І ^ І

(г'=1, г), так что формулы

(5.2) и

(5.3)

справед­

ливы

для

всех

таких

Х\,...,

хг.

Так

как РІП(Х)

есть

ряд

по степе­

ням

х\,...,

хг

с неотрицательными

коэффициентами

и

Р „ ( 1 Г ) = 1 ,

а функции ß,-(s) аналитичны в полуплоскости

R e s X ) ,

то

отсюда

следует, что формулы (5.2) и (5.3) справедливы для

всех

Х\,...,хг

таких, что

\ХІ \ <С 1 (/' = 1, г). Эти формулы

показывают, что

функции

Pt-nW и

töin(x),

r,

r ^ l могут

быть

определены

рекуррент

ным

образом.

З а м е ч а н и е .

Можно

доказать

более

общее

утверждение,

чем (5.3). По­

ложим

ОІ = a l J r

... - fa;,

(axf =

-f- .. . - j - щхі,

(ax)r = ax.

Тогда

справедливо утверждение

Pin (ll~lx)

= Рт ( 1 1 Щп (at -

atxt) Pi (or, -

(axf).

(5.4)

ßißu + . . • + aAi < 1

(5-5)

не

зависящие от начального состояния

системы, и

р Д * ) > 0 ,

S L i = l ,

A > 0 _ j p , ( Ä ) = l .

Пусть т і , . . . , T N

...—последовательные моменты ухода вызовов

из

системы;

— последовательность сл. в.; £ п — со­

после себя в системе очередь

типа k—(ku...,

kr). Пространство

состояний сл. в. {|п} счетно.

Занумеруем все состояния

числами

1,2,... так, чтобы состояниям

(1,0), ... , (г, 0)

соответствовали чис­

ла

1,..., г, а в остальном нумерация произвольна. Если состоянию

(i,

k) соответствует номер S, то будем писать

S = S(i, k).

Так мы

дичность этой цепи очевидны. Марковская

цепь {!;«} характери­

зуется некоторой матрицей

{àst}stt^i

переходных

вероятностей. Для

каждого состояния S=S(i,

k) положим

Уs ~

^lßll ~Г • • • ~Ь k$rv

Так как ß2 i — среднее время обслуживания

вызова приоритета і,

ys можно

рассматривать

как среднее

время,

необходимое для

обслуживания очереди типа k=(k\,

kr). При такой интерпрета­

ции ^ 8styt

есть среднее

время,

необходимое

для

обслуживания

очереди, получающейся после одного

шага,

если

в начале этого

шага было состояние S=S(i,

k).

Пусть

S =

S(i,

k)

и

k

=

(0, . . . ,

0,

kt,

. . . .

kr),

kt>\.

Тогда

E Ô . / &

=

É

(%ßa)ßa +

( ^ / - l ) ß / i

1

t

%

=

=

I

М л

-

ßn

f1

-

E

a *ß'i] <

& -

8 '

<5 -6 )

где

j=l

i=l

e =

[min

ß

n

]

f

l - E a ^ l -

1=1

Требование

e > 0

равносильно

условию

(5.5). Если же S = S(i,

0), то

E < u

=

E ^ É < e

^ )

P'i <

-; - °°-

( 5 7 )

^ і

/=i

t=i

Из формул (5.6) и (5.7) видно, что марковская цепь {£„} удов­

летворяет

следующему

критерию

эргодичности

Мустафы

(§ 6,

доп.).

Для

того

чтобы

неприводимая,

непериодическая,

однородная

цепь Маркова

имела

стационарное

распределение,

достаточно

существование

е > 0 натурального

числа

k

и набора

неотрицатель­

ных чисел хо, х\,...

таких, что

£

рих-

<

хс — е

для

і >

»0,

£

р^.л:,. <

-| - оо

для

t <

t0 .

В нашем случае pin(k)

есть

вероятность

перехода

за

«

шагов

из начального состояния в состояние

(г, k).

Следовательно,

сущест­

вуют ненулевые

пределы

Pt {k) =

lim pln {k),

-

1,

p£ w

=

E

PI

w

**•

p

w

=

E p

<

( J C ) -

( 5 - 8 )

fe>0

1=1

В кубе

0 < x < d < l ,

i =

l,

г,

Pin(x)

сходится к РДх), так как

можно

по

x и

п равномерно

оценить

хвосты рядов Рш(х).

Имен­

но, выберем такое

N = (Nlf ...

,

Nr),

чтобы

сумма

ft

X

_

*1

• • •

xr

l _ x

. . . ( 1 - Х , )

Тогда

и так как

0<pin(k)<h

0<p{(k)<\,

то

0 <

£

Pcn(k)xk<

£ x f t < e ,

0 < £ p t . ( £ ) x f e < £ x ' ; < e .

Сумма £ pin(k)xk,

очевидно,

сходится к

£

pi(k)xk

Откуда

| x t - | <

1

(t =

1, r),

при

ЭТОМ

' ( * ) = £

РД*)

( | х | < 1 ,

Р(10

=

1).

(5.9)

1=1

Из

формулы (5.2)

получаем

xt

Pc (x) =

[P (O'-i x) — P (0<x) +

qiXiP

(00] ß, (о* -

ах),

(5.10)

Из

(5.3)

вытекает

существование

предела

1 im

(ùln{at

— atxt)

= <o,(a(

— at-x(.),

| x , . | <

1,

И

P, ( l ' - i x i - ' )

= P, (К) со, (a, -

atxt)

ß, (a, -

atxt)

(5.11)

(т . е . cof (-f-0) = 1, так

что функция Wt(t)=

lim W[n(t)ecTb

ф. р.).

П- Н - о о

г

г

у ,

*№)

:

у [ Р ( 0 <-і х ) _

р (О^) + q.Xi

P (00],

J—i pi (a — ax)

i = l

«=i

ИЛИ

r

ax)

[ * 4 - М а - а * ) ] =

( ? х - 1 ) Р ( 0 ' )

( | * | < 1 ) .

S- ßi ( 0 —

P i W

(5.12)

Здесь qx = qxxx

+

. . . - f

я,.*,. =^ - ^ - .

систему с ожиданием г пуассоновых

независимых потоков

вызовов

с

параметрами а\,

...,

а? и длительностями обслуживания

с

ф. р.

ВІ(Х)

для

вызовов

г-того

потока

без прерывания уже

начатых

обслуживании

соотношение

(5.12)

верно.

Докажем

справедливость уравнения (5.12). Пусть сохраняют­

ся введенные

ранее

обозначения:

ХІРІ(Х)

— вероятность

того,

что

после окончания

обслужива­

ния

красного

вызова

приоритета

/ в

системе остались

лишь

крас­

ные

вызовы;

г

хР(х)

ѵ

— - 1

- условная

вероятность того, что после

обслужива­

ли fa (о —ах)

>

i

вызова в системе остались лишь красные

ния красного

вызовы,

при

зались

красными.

С другой стороны, эта условная вероятность равна сумме двух

вероятностей:

РП(Х)

— Рп(0г )

— вероятности того, что после

окончания обслужи­

вания некоторого вызова в системе

остались

вызовы, причем

все

они оказались

красными;

и P(0r)qx

—

вероятности того,

что

в некоторый

момент

система

освободилась

от вызовов и до начала

следующего

периода

занято­

сти

поступил

лишь

один красный

вызов,

с которого и начался

пе­

риод занятости.

Е. Одна

система функциональных уравнений. Докажем одну

лемму, которая играет важную

роль

как

в этом параграфе, так и

в дальнейшем.

Л е м м а .

Система

функциональных

уравнений

Ч і

--•=

ß,- (а — Mfe — [ax]k)

(i =

1, k—

1),