книги из ГПНТБ / Приоритетные системы обслуживания

так же, как период

занятости

системы M | G11 j оо из длительно­

стей обслуживания

вызовов.

Для получения

я й й ( г , x, s)

в формуле

(4.3) ß(e, x, s) заме­

няем на Л*(г, x, s),

z— на zh,

а— на ад.

В нашем случае для

мых за k-циклы

до

поступления

первой

катастрофы

внутри

от­

дельно взятого ^ - периода, эти вызовы следует

окрашивать

Поэтому

я (s) и ß(s + a—az)

в

(2.3) не просто заменяются на

nkh(s)

и hh(s

+ ah—ahZk),

а на

« H (s -г [о — az]k+x)

и hk (s - f [о —

az]k).

Пусть sn*kk (z,

x,

s)dx — вероятность того, что первая

ката­

строфа внутри отдельно

взятого

/гЫ-периода наступила

в момент

S = (z,

x).

2. Имеет место

формула

Л е м м а

in),

s u

,

ч

4 — [3tkk(s

+

[o — az]k+1)}'1

я&} (z, x, s) = hk

{z,

x, s)

Zfe — M

—

(n > 1).

(2.4)

S + [<T — azjft)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

На

основании

соотношения

(2.2)

фор­

мула

(2.4) представима в виде

sn$(z,

x, s)dx

= zflsnkk(z,x,s)dx+

. . . + [nkk(s + [a—az^+i)]'-1 X

x zTl-snkk(z,

x, s)dx+ ...

+[nkk{s+

[o — az]k+i)]n-l-snkk{z,xt

s)dx.

(2.5)

Пусть первая катастрофа на отдельно взятом fe/гп-периоде на­

ступила в момент 5 = (z,

х).

Так как &&п-период складывается из п независимых

/^-перио­

дов, то для осуществления этого

события

необходимо

и достаточ­

В правой части (2.4) і-тое слагаемое

(і—1,п)

соответствует

осуществлению

вышеуказанного события на /-том Aé-периоде.

Обозначим

через snk(z, x, s)dx

вероятность наступления пер­

вой катастрофы

внутри отдельно

взятого

fe-периода

в момент

лк

(z,

s)

=

j " nk (z,

x, s)

dx,

0

(2.6)

oo

hk

(z,

s)

=

j nf t (z,

s)

dx.

о

Л е м м а

3.

Верна

рекуррентная

формула

Oknk

( Z ,

S )

---- OA_,

Я Е _ !

( Z ,

S )

+

,

S

)

X

4 — /ifc (s + [a

— azjfe)

X {akzk

+

o-ft-i яА _і (s +

[a — az]fc) —af c nf t (s-f-[a —az]f e + i)}.

(2.7)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Справедливость

равенства

5ЯЙ (z, x,

s)

=

0 / г - 1

-Ärtfe-i

(z, x,

s)

dx +

-^-snkk

(z,

x, s) dx

- f

0"ft

CTfe

(2.8)

S=(z,

х)

(с вероятностью s-nk(z,

x, s)dx).

Для

этого

необходимо

и достаточно, чтобы ^-период начался

либо

с

такого (k—1)-периода,

за

который

первая

катастрофа

наступила

в

момент

5 = ( z ,

х)

(вероятность

чего

есть

Ok

s - я^_і (z, x, s)dx);

либо

с такого (k—1)-периода,

за который не наступали ката­

строфы и поступали разве лишь

красные

вызовы

приоритета

ниже

k и

поступило

п ( и ^ І )

вызовов приоритета

k

(с вероятностью

Ok-

oft

О

за последующий

отдельно взятый

&&л-период

первая

катастрофа

наступила

в

момент S =

(z, х) (с

вероятностью

snj^

(z, x, s)dx);

либо

с

&&-периода,

первая катастрофа

за

отдельно

взятый

-^-

snkk

(2, x, s)

dx].

Oft

J

После подстановки в (2.8) значений

nkk{z,

x, s),

Jij$ (2,

x,

s)

из

лемм

1,2,

суммирования

по п

под

знаком

интеграла

получаем фор­

мулу

oksnk

/

\ j

t

\

_/

shb(z,

x,

s)

dx

— — -

X

(z, x,

s) dx --= GA_i - S •

(2, x,

s) dx i

,

' ,

/

Zfe — hk{s-\-

[a —

az]k)

X

{akzk

— aknkk

(s

[o — az]k+\)

-,- af t _i я*_і (s

\a--az]k)

—

— 0*_i nf e _i (s

-p [0 — az]k+i)

+

ak[l—nkk

(s -•- [a —

az]k+i)]},

которая

с

помощью

равенства

akKk (s)

сгЛ_і я/е _і (s +

ak

— ak

якк

(s))

ak

xkk

(s)

(2.9)

и интегрирования по x от

0

до

оо дает

(2.7)

С л е д с т в и е

1. Из

(2.6)

вытекает

формула

с я (2, s)

У

hk(z,

s)

{akzk

-f- ok-i

nk-i

(s H- [ G — azjfe) —

{a~az\k)

Zk — hk(s +

V *

(s

+

[ °

—

az]k+x)}.

(2.10)

ненадежным прибором. Пусть за некоторый

промежуток времени

а 1 с распределением A(t) накапливаются

вызовы. Рассмотрим

вов приоритета k и выше. Такой промежуток назовем

(a,

k)-цик­

лом

(с ф. р. П(а,k){t)).

Промежуток

а

называется периодом

бло­

кировки,

а следующая

за периодом

блокировки часть

(a,

k)-цик­

ла—

ХвОСТОМ (a,

k) (с

ф. p. Q{a,k){t)).

Пусть

s-a(z, x,

s) dx

(sK(a,k)(z, x,

s)dx)

— вероятность

наступле­

ровки ((a, k)-цикла)

в

момент S—(z, х).

Наконец, s-q(z,

x,

s)dx —• вероятность наступления первой

катастрофы

внутри

отдельно

взятого

(a, k)-цикла

на хвосте

(a, k)

в момент S — (z,

х).

ос

a (z, s) --~ J а (z, x,

sjdx,

о

я( а, k) (z, s) =

•о

j я { а > ft) (z,

x, s) dx,

(2.11)

0

<7(a,ft)(г, s)

j "

а( а ,A ) (z, x,

s) dx.

0

Л е м м а

4.

Справедливы

соотношения.

где

Ща, ft) (Z, S) =

a (2, S) - f 0( a >ft)(z, s),

[(2.12)

<7<a,ft)(г, s) =

Y

-

^

i

î

—

{щал-D

(s +

[a -

« ] , )

-

<-J 2j — hi (s 4- [a — azji)

— я( а ,г, (s +

[a — аг] ( ] + 1 )} .

(2.13)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначим

через

sg(aU)

(z, x, s)dx

вероят­

ность того, что первая катастрофа

на отдельно

взятом

(а, ^ - цик ­

ле наступила

после

(a, і — \ )-цикла

в момент 5 =

(z, х).

Равенство

Sg(a,t) iß, Х, S)dx =.--• ^

5л|?(2,

S) dx X

X j e - ' s

+ t — .

| = ^ _ е - ^ " | а П ( в >

, _ „ ( 0

(2.14)

0

получается из следующих

рассуждений.

Пусть первая

катастрофа

на

отдельно

взятом (a,

t)-цикле

произошла после (a, і—1)-цикла

в момент

S—(z,

х).

Для

этого

необходимо

и достаточно,

чтобы

за (a, і—1)-цикл

не было

ката­

строф, поступали разве лишь красные

вызовы

приоритета

ниже і,

поступило п

вызовов приоритета

і (п^\)\

за

отдельно

взятый

ц'п-период первая катастрофа наступила в

момент

S=(z,

х).

Подставив значение лі? (z,

x, s) из (2.4) в (2.14),

просуммировав

по п, использовав

(2.9) и соотношение

Ща,к) (s) =

a (s +

ak — aknk

(s)),

проинтегрировав (2.14) по x

от 0 до оо, получаем

(2.13).

1 С этих п вызовов

начинается

іш-период.

С л е д с т в и е

2.

Из (2.12)

и (2.13)

вытекает

формула

h

t-,

ч\ — у

1 — ßfe (д +

а — дг)

S + A — az

k—i

-№ j >

—

( h fr, (s +

[a -

«],))

-

У

£l

гі-

Ы

(s +

[a —

az]i)

t=i

_ ß ^ + 1 ( s + [ a - a z ] l + 1

) ) b

(2.15)

где

Hi = s + at~i — 0 £ _ i n j _ i ( s ) ,

(2.16)

о — az =•= [a—

az\v

З а м е ч а н и е ,

k-цикл

можно

рассматривать

как

(ßs,

k—1)-цикл.

В. Формулировка результата. Справедлива

Т е о р е м а .

Функция

P(z,

s)

вычисляется

по

формулам

P(z,

s) =

1+

s)

t

(2.17)

s - j -

о — а я

(s)

где n(z,

s) определяется

через

hk{z,

s)

(k—l,r)

в

следствии

1,

a

функции

hk(z,

s)

задаются

рекуррентным

образом

в следствии

2.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Докажем

формулу

(5 +

а)в-<5 +°>* + а л

(z,x,s)

из которой непосредственно вытекает (2.17).

Перепишем

ее в

виде

sP (z, X, s) dx = se~<s+CT)ï

dx

-i

—

sn (z, x, s) dx

+

j

—

n(s)-sP(z,

x,

s)dx.

(2.18)

s +

a

Пусть первая катастрофа наступила в момент

S=(z,

х).

Для

этого необходимо и достаточно, чтобы

либо

первая

катастрофа

произошла

в момент х,

когда

система

была еще свободна от вызовов;

либо

до поступления

первого вызова

не

наступали

катастро­

либо катастроф не было ни до начала

периода занятости,

ни

за период занятости, а первая катастрофа

(начиная с конца

пе­

риода занятости) наступила в момент S= (z,

х).

Положим

_

<oft(s,

t) : = M < T S ^ ( 0 .

(3.1)

Пусть

ш й ( 0 ) = 0

(в начальный момент система свободна от

вызо-

зовов)

и выполнено условие стационарности (условие ненасыщения

системы)

ajiu+

. . . + a , ß r

l < l ;

(3.2)

Po (О

— вероятность того, что в момент

t система

свободна

от вы­

зовов; Pj(t)dt — вероятность того, что в момент t

началось

обслу­

живание вызова

приоритета

/ (/ = 2, г).

Имеет место

формула

e i = 1

= e - * ' © f c ( s , 0 +

1 В e n e s V. E . General

stochastic processes in the theory of qucnes. Massa-

chy setts, 1963.

t

- > Г a ; ( l - ß ( . ( s ) ) « - A )

f j P 0 ( x ) ß

d [ l - e - " ] +

exp

j

—

^

щ(\

—ßi(s)) t^,

для этого необходимо и достаточ-

І=І

но,

чтобы

либо

катастрофа

не наступала

ни

за

время

t

(вероятность

ехр{—st}), ни за условное время, которое пришлось бы ждать вы­

зову приоритета k, если бы он поступил в момент t,

при

условии,

что после момента t вызовы в систему не поступают

(вероятность

«/г (s, t)

) ;

либо

катастрофа наступила до момента t в момент

х,

когда

система

была

свободна

от

вызовов

(вероятность

Po(x)d

[1 — e~ s x ]),

и

за

оставшееся

время

t—хне

поступали плохие

вызовы

k

приоритета

k

и выше

(вероятность exp | — а £

( 1

— ß f

( s ) ) ( £ —

x)jj;

либо

катастрофа

i=i

х (с

произошла

в

момент

вероятностью

d[l—ехр{—sx}]);

в этот момент обслуживался

вызов

приоритета j

(j = k+l,

г), начал же этот вызов

обслуживаться

в

момент,

u^Zt

(вероятность [1—Bj(x—u)]Pj(u)du);

за время

t—и

в систему не

поступали

плохие

вызовы

приоритета

k

и

выше

(вероятность

е х р { - £ а , ( 1 - М « ) ) ( * - « ) } ) •

Рассмотрим

выражение

k

i_

- 2

«fd-PlW)«'-")

ос

[ P ; ( u ) e ' = 1

d u j { l —

— u ) } d [ l — e - » ] .

Ô

u

Во

внутреннем интеграле делаем замену

х — и — у и интегрируем по

о,

откуда

~2

а »<1 -^*>Я'-В )

ос

| Р ; . ( и ) е 1 = 1

d u j { l —

— u ) } d [ l — e~s*] =

О

и

ft

jf'P.(u)e ~2 , = = 1

O i ( l - ß j ( s ) ) ( < - « )d [ l — e-s "].

(3.4)

о

Из

(3.3) и

(3.4)

следуют основные

соотношения

s

ft

[ s - 2

0;(1-Р; (5))] f

{

- [ s - 2 ^(1—P£{S)>

(3.5)

В

полученной

системе

уравнений

для coÄ(s,

t) неизвестны

Р0(х),

Pj

(x),

j = k +

1, r, & =TT~r.

не зависит от

порядка

В. Вычисление Po(x). Вероятность Po(x)

обслуживания

вызовов. Поэтому

можно объединить

все

г

потоков

в

один

и

считать, что

вызовы суммарного

потока обслуживаются

в

порядке

поступления. Суммарный поток

является

пуассоновый

с параметром

а = а\ + .. . + аг. Каждый вызов

суммарного

потока с

вероятностью

-^- — приоритета

і. Следовательно,

за

ф.

р. дли­

Для полученной

системы M | G | l | o o вероятность

Ро(х)

определя­

лась в гл. 1. Она

задавалась формулами (10.2),

(10.3).

Итак,

[ e-sxP0

(x) dx = [s - f a — on (s)]-1 ,

(3.6)

ô

pu = lim P0 (t)

lim s f e-°< P0 (*) <W - 1 -

£ afitv

(3.7)

Г. Уравнения, определяющие

Pj{x)

(/ = 2, г).

k

Функция s — £ аДІ — ß, (s)) > 0 )

для каждого s > 0 (так как

i=l

выполнено (3.2)) и равна нулю в точке s = 0.

Следовательно, для s > 0 при t-*oo

функция

e x p { [ s - y

at(l-Ms))]t}

по t возрастает до бесконечности.

При s > 0 , ^ > 0 coft(s, /) как вероятность

ограничена.

Отсюда и из формул (3.5) заключаем

ft

JP0 (*)<

t-

I

s

J J

/=*-и

(3.8)

k

(s) = £

at

(1 — ßt- (s +

afe — oytf c (s))),

Re s > О,

£ = 1

| я * ( 5 ) | < 1 ,

(3.9)

я

(s) = itr (s),

k — I , г,

Тогда

на основании

(3.9) выражение

s — £

at( 1 — ß,(s ))

заменит-

s. Формула (3.8) после

i=,i

ся на

произведенной

замены

запишется в виде

1 - Мц*+,)

5

о

(3.10)

где

\ik+i

= s + cf e

— oknk(s)

(k

= \, r).

(3.11)

Система линейных уравнений_(3.10),

(3.6) позволяет шаг за ша­

гом от \ = г до У = 2 находить Pj(x). Определитель

системы

уравне­

ний (3.10) при каждом s > 0

положителен, так как

равен

г

n ± ± l w L > o

Таким образом, co/^s, ^) определяется

из системы уравнений

(3.5),

(3.6),

(3.10).

Д. Возможное время ожидания вызовом приоритета k. Обо­

значим через Wk{t)

возможное

время

ожидания вызовов

приорите­

та k,

поступившим в момент t. Положим

(ùk(s,

t)

, Me-OTfeO.

(3.12)

(ùk(s,

t)

=

(ùk(s

-г Ok-i —

ай-іЯ/і_і (s), t).

(3.13)

Из формул

(3.5),

(3.9) и

(3.13) выводим

t

(ùk (s,

t)

=

e^s~ak+akh^k>V

j 1 —- \ik

j" P0

(x) e-ts-efe+°*PÉ(^)]*

—

—

£

{ 1 —

ß; (p.f e )} | Р 3 . ( х ) е - [ 5

- а А + а й М ^ ^ } .

(3.14)

;=ft+i

о

Таким образом,

a>h(s, t)

определяется уравнением

(3.14), где не­

известные

Po(jc), Pj(x)(j=2,

r; k=\,

r—1)

задаются

соотношения­

ми (3.6),

(3.10), (3.11).

E. Распределение времени ожидания для вызова приоритета k

в установившемся

режиме.

Теперь из выражений (3.6), (3.10), (3.11), (3.14) найдем

ф. р.