книги из ГПНТБ / Приоритетные системы обслуживания

i 2 + f и (i + i ) a + a — i ) a = ïa

н 2 - ь 2 ( і - у

и ) ,

т. е. во втором выражении добавится член

2 ( і — / + 1 ) ^ 0 .

Следовательно, каждое отклонение

от

правила

обслуживания

В настоящей

главе

изучается

одноканальная система с

отно-

-» -*

->

сительным приоритетом

и ожиданием — M r | G r | 11 оо: Мг

указы-

вает на то, что поступают г пуассоновых

потоков вызовов;

Gr —

что длительности

обслуживания

вазовов

являются

произвольно

распределенными

случайными величинами

(сл. в.),

различными

пределены; 1—число

обслуживающих приборов; оо—допускает­

ся неограниченная очередь.

Дадим точное описание системы обслуживания.

Пусть на некоторое обслуживающее устройство поступают г

потоков вызовов L i ,

L r , которые назовем вызовами приорите­

та г. Будем говорить,

что вызовы потока Lj имеют более высокий

ность обслуживания вызова приоритета k имеет ф. p.

Bh(t)

теристик для вызовов

приоритета

г сводится

к

определению

тех

же характеристик

для системы

M | G | l | o o

с

ненадежным

при­

бором

(см. гл. 2), со следующими

данными

a = ar;

B{t)=Hr(t);

£(*)

=

l _ e - W ;

F(t)

= Tlr-x(t).

(1.1)

Здесь

П г _ і ( / ) — ф . p.

(г—1)-периода, a

Hr[t)

— ф. р. промежутка

ственно моментом

освобождения системы

от

вызова

приоритета

г

и вызовов приоритета выше г.

потока L r

Приведем некоторые

результаты

для

из гл.

2.

1°. Обозначим

через

(x, t)dx

вероятность

того,

что

в

момент времени t

в очереди присутствуют

k

вызовов

приоритета

г,

а с последнего 0,-момента

прошло время

х.

К (z, x,s) = £ j er* p(r)( J C > t ) z k d t (jг j < i ) .

(1.2)

+

a r [ l — Я , ( х ) ] е —(s+ar —afz)x

Z — Urr (S)

z — hr ( s - j - a r — a r z)

+

ar _, [1 - Пг _! (x)] e~<s+ar~a,*x +

[ l _

Hr

(x)] x

V ö

- ( s + a — a 2)x

J t f _ ! [S -f- flr — flrZ) — Я , . ! (s + g r

— ar

л г г (s))

(1.3)

z — hr(s-\-ar

— arz)

причем приемом катастроф просто показать

Är (s) = ß r ( s + o-,_l — oy-, я г _ , (s)), R e s > 0 ,

(1.4)

»V(s) = ß r ( s + a — an (s)),

R e s > 0 ,

(1.5)

r—1

ar _, я,_і (s) = £

a£ ßj (s + ar _i — ar _! Я Г _ І (S)), Re s >

0. (1.6)

З а м е ч а н и е . При определении PJif' {x, t) выделены

слова «в очереди при­

учитывается. Это объясняется тем, что за

длительность обслуживания вызова

приоритета k условно принят промежуток

\ г

с ф. p. Hr(t),

а после

того, как

вызов приоритета г, с которого промежуток

| г

начался, покинет систему,

услов­

ная длительность обслуживания

вызова

приоритета г может

еще не закончить­

ся. Тогда,

чтобы получить Pr(z,

x, s),

следует члены, содержащие

1—

НТ(х),

разделить

на z.

Из (1.3),

(1.4) вычисляются моменты

от ф. p. Hr{t)

и П г г (^):

P*r [z, s) =

j* PI {z, X, s) dx

=

0

= [s +

o-on

(s)]-1

Г ! +

M 1 -

M *

+ a, -

fl^)l >

t

S +

a r —

" f Z

x

z — n r r ( s )

L

а г - ! f l — nr-xjs + ar — arz)\_

z — hr(s-\-ar— arz)

s-\-ar — arz

_j_

P r - i f 1 — hr

(s + ar — ar z)}

nr-i

(s + ar — ar z) — я г _ г

(s + g, — аглгГ

(s)))

s-\-ar

— arz

z — hr(s-\-ar

— arz)

]'

(1.13)

Если считать, что вызов приоритета k не покидает

систему вплоть

до

окончания

его «условной»

длительности

обслуживания,

то

мент t, задается своим преобразованием Лапласа

(s)

Р Г ( S) = [s + 0 — а л (s)]-1

j[(s + ar — ar

nrr

(s))

+

-\- аг _, [1 — я,_і (s -f ar — ar nrr

(s))]

s2

а, (1 — nrr

(s))

+

+

аг _! [л г _ 1 (s) — я л _ ! (s + ar

— а,ягг

(s))] —

n

.

s )

.

\ .

(1-14)

M

s [ l — f t r ( s ) J

J

Теперь из формулы

(3.9) гл.

2 и

(1.7), (1.8) этой

главы

вычис­

ляем

главный член

асимптотики величины

sPïr ) (s)

при малых s:

s pW (s) ~

JlM-

+

ar?r*

(1.15)

pr _x

2pr-ipr

мент времени t с последнего О

г -момента прошло время х, а к этому

моменту обслужено k вызовов

приоритета г.

Положим

Pr(z,x, s)= 2 ]гг«РР(х,

t)zkdt,

| z | < l .

(1.16)

Из (4.9) гл. 2 и (5.2) гл. 1 имеем

Р, (г, x, s) =

[s +

o — ar ф « (г, s) — аЛ _! я, _ ! (s - f а,—а, ф'г> (г, s))]~] х

X Us +

а) в-<«+а>* + а, Г1 — Я.(х)1 е~" . 1 - Ф ( г ) ( 2

' s>

+

I

1 — zhr

(s)

+ o r _ 1 [ l — n , _ , ( x ) ] e - ^ +

+ 0,_I [ 1 - Я , ( x ) ] g - s , Я м ^ - Я м ^ + ^ - а г Ф ^ ^ , » ) )

l

1 — znr (s)

J

где

R e s > 0 ,

| 2 | < 1 ,

(1.17)

WHzts)

= 2$r(s + af — arWnz,s)),

Re s > 0, 12 j <

1.

(1.18)

pW(S )

= ^ _ _ P « ( S ) .

(1.19)

s2

В предположе"нии

ö i ß u +

. . . +аг$п<1

(1.20)

при малых s устанавливается

асимптотическое

равенство

s 2 p ( r ) ( s ) ^ l - l ^ ^ - +

й г Р п

\s+0(s).

(1.21)

I

Pr-l

%>Г-1 pr J

cor(s, і) = Же~™'щ.

(1.22)

©, (s, 0 =

e[s~ar+ar

М«И' {1 -

s j <Г [ - а г + Ѵ ѵ № pw( J C )

^

0

-

{1 -

я л _ , (s)} j

P(,r) (x) dx};

(1.23)

0

j ' е-*< Pf > {t)dt

=

{[-

я г _ , (s - - а - а г л г л (s))}- 1

x

X {1 — (s +

ar — ar

nrr

(sj) j e - « P0 (x) dx

j" e~s< P0 r )

(t) dt

=

о

ô

=

[s +

0 — an(s)] - 1 .

(1.24)

Существуют

предел

m , (s, t)--=

Р Д » + ' г - і И - Я г - і ( « ) 1 }

c o r ( s ) ^ l i m

( L 2 5 )

<-++«>

s — a r -f- arhr (s)

и первые два момента

времени ожидания в стационарном

режиме

работы системы.

4°. Приведем некоторые соотношения, вытекающие из резуль­

татов § 8 гл. 2. Пусть выполнено

(1.20) и prh

— вероятность того,

Р Д г ) =

£ р г * Л

| 2 | < 1 .

(1.26)

Тогда

Р, (г) = К (аг -

аГ z) -

^

1

Л

... V i

R

\

( 1 - £

а,

Р л

x

х

а—-zgr

— аг _! jtf-Ла,- — arz) .

(127)

о - а м я г ч ( а г ) 5

У

=

- r - ^ -

,

(1-28)

2

> , « Рлй =

1 ;

г

—

—

г

г

a r P r - i 2 p r 2

,

а? Pr2

(1.29)

2p?_,

Р .

2р2_, p2

со (s) = p - - p °r~1 ^ ~~ Я г ~ ' ^ g f ~ g f Я г г

J- ^ П — я г г (s)J

s-j-ar — a r n r r ( s )

s-(-ar — arnrr(s)

n r ( s ) - « > r ( s ) ß r ( s ) ,

(1.33)

°п = «>,і + ß a .

О - 3 4 )

іѴаг ^ ^ 2 + 2corl ß r l -Î- ß r 2 -

( 1 -35)

Б. Средняя

длина очереди приоритета k(k=l,

г)

(Ві(х)= ...

...

=Вг{х)).

очередь, составленную из вызовов

приоритета ни­

Рассмотрим

же

k, в некоторый

момент

времени.

От перестановки

местами

вызовов приоритета

ниже k в очереди в этот

момент времени дли­

на

очереди из вызовов приоритета ниже

k не изменится.

Следо­

вательно, при вычислении

средней

длины

очереди

приоритета

ниже k возможны

любые

перестановки

их местами

в очереди.

Объединим последние г—k потоков в один суммарный,

являющий­

ся

пуассоновый

с параметром а—о*,

И будем считать

обслужива­

будет последним

по приоритетности (&+1)-м

потоком системы

обслуживания

->

приоритетом. Но для

M^+i | G111 оо с относительным

последнего потока средняя длина очереди

Tk+i

при условии

a ß i < l

задается

формулой (1.28)

(a — o E ) ß i

.

(а — o-fe)öß2

l - a k h

2 ( l - a f e ß 1 ) ( l - a ß 1 )

Тогда средняя

длина очереди

приоритета

k в стационарном

режи­

ме работы системы равна

Th—Th+i.

вызовов

приоритета

k

В. Среднее

время

ожидания

для

(6= CT)

(Bl(x)

= ... =£,(*)).

обслуживания

вызовов

приоритета

г

Независимо

от порядка

формуле

(1.31), а среднее время ожидания

co>fti для вызовов при­

оритета

ниже k при перестановке местами

в очереди вызовов

приоритета

ниже k не изменяется. Следовательно, суммарный по-

7 Зак . 64

97

cö> f c l

=

^

,

(1.36)

причем, так как каждый

вызов

приоритета ниже

k

с вероятностью

a-/(o

— ok)

принадлежит

потоку

вызовов

приоритета

/,

то

г

tö>ki

=

У

а.а>у 1 .

(1.37)

а — Ok І=к+і

Из

(1.36)

и (1.37) легко

получить

ö ß 2

Г. Производящая функция числа вызовов (В\(х)

= ...

=Вг(х)).

Если нас интересует общее число ожидающих в системе вы­

зовов, то

какой вызов в данный момент обслуживается

(т. е. ка­

вательно, не имеет значения и порядок обслуживания

поступаю­

щих

вызовов. Пусть

вызовы суммарного потока

(суммарный

поток

—

пуассоновый

с

параметром

a — cti + ... + а г

> 0 )

обслужи­

ваются в

порядке своего

поступления.

И теперь задача

нахожде­

задаче для системы обслуживания с одним поступающим

потоком

вызовов,

описанной

в

гл.

1. Например,

на основании

результатов

§ 10 гл.

1 стационарная производящая

функция

P(z)

числа вызо­

вов, ожидающих начала

обслуживания, равна

(условием

ненасы­

щения системы служит неравенство a ß i < l )

Р ( 2 ) = 0 - < r ß . ) ( l - 2 ) ß ( q - q 2 )

( L 3 9 )

4 ;

ß ( o - - a z ) — z

'

и

У

kpk

=

P' ( 1 ) = aßi

j

^

;

(1.40)

H k

w

K 1

2 ( 1 — a ß j

'

£ Ä V , = P' (1) +

P" (1) =

aß, +

- i - a*ß2 [ 1 + -

~ ^

] +

А2Я

g 3 ß i ß 2

,

q 3 ß 3

,

2

2 ( 1 - o ß i )

6 ( 1 - o ß i )

4 ( 1 - o ß i ) 2

'

Если

m

=

(mv

. . . , тг) и z = (zv

. . .

, zr)

— два вектора

размер­

ности г,

то

zm

=

z"4 . . .

zfr;

def

°°

P (z,

x,

s)

P (zlf ...

,zr,x,s)=

j e~st

£

p (m, x, t) z'n

dt.

0

iml>0

проинтегрировать Р(г, x, s) по х

от 0 до

оо.

Всюду в дальнейшем предполагаем выполненным условие ста­

ционарности a i ß n +

... + a r ß r i < 1-

в

гл. 3,

Приведем соотношения,

полученные

К (S)

=

ßft ( s +

° k - \

—

Ok-i

J T f t - l

(s)),

nkk(s) = hk(s

+

ak — aknkk(s)),

(2.1)

nki (s) -

Лй-и (s +

ak

— aknkk

(s))

(t < k),

k

Ofe«ft(s) =

£

atnu(s).

i=i

пуассоновый с параметром s>0 .

Вызов

приоритета

k

считаем

красным

с

вероятностью

zk

(O^z^s^l )

и

синим

с

дополнитель

ной вероятностью 1—zh

(k=l,r).

лишь красные

Если

в некоторый

момент

в системе

вызовы, а

с последнего 0-момента прошло, время х, то пишем S=(z,

х).

Обозначим

через

shk(z,

x,

s)dx

вероятность

того, что

внутри

отдельно взятого fe-цикла

первая катастрофа

наступила

в

момент

S = (z,

x).

Справедливо

соотношение

Л е м м а

1.

nkk(z,

x,

s) =

hk(z,

x,

s)

+ [ ° - " j * * >

( Ä

= 7 7 7 ) . (2.2)

Здесь

Zfe —

hk(s

+ [a — az]k)

[о — az]k+i

= ak+i

(1 — zk+l)

+ . . .

-г- ar (1 — zr ),

[cr — az]r+i

s= 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из

соотношения

(4.6)

гл.

1

для

системы

M I G і 1 I со

имеем

л (z, x,

s)

= ß (z, x,

s)

— г

*

(2.3)

z — p (s - j - a — az)

где

ß (Z, X, S) =

2 [ 1 — В (X)]

e-[s+a-az}xw