книги из ГПНТБ / Океанография и морская метеорология учебник

теорологііческих элемента, чтобы придать составленной системе замкнутый вид. Таким подобием является одно­ значная зависимость между T u t . На практике такой способ оказывается нерациональным. Более приемлемым является метод, основанный на установлении порядка величины метеорологического элемента. Под порядком величины понимается значение этого элемента с обеспе­ ченностью не менее 99%.

Порядок величин метеорологических элементов опре­ деляется с округлением до ближайшей степени числа 1 0 и обозначается 0 (...). Давление воздуха, например,

стему, воспользуемся таблицей, составленной М. И. Юди­ ным, которая содержит среднеквадратические значения метеорологических элементов и их производных. Табли­ ца приведена в приложении 5. Согласно этой таблице по­

Анализ установленных порядков показывает, что в первом уравнении (9.38) имеются члены, порядок кото­ рых значительно выше остальных, следовательно, они не оказывают заметного влияния на результат решения и ими можно пренебречь.

419

Таким образом, произведя определение порядков всех членов системы п оставляя только соизмеримые по порядкам члены, получим замкнутую систему уравнений, состоящую из шести уравнений, в которых содержится шесть неизвестных. Однако для интегрирования этой си­ стемы необходимо задать вертикальную составляющую ветра w, которая в метеорологии непосредственно не из­ меряется, способов ее вычислить нет. Более удобной формой выражения вертикальной составляющей ветра является замена аналогом, который образуется при за­ мене вертикальной оси г через геопотенциальные высо­ ты главных изобарических поверхностей. Это достигает­ ся переводом составленной системы в изобарическую систему координат. Тогда в этой системе независимыми переменными будут: хр, ур, Р, tp. Так как при таком пе­ реходе оси X, у и время t не меняются, то

Тогда функции координат н времени в новой системе координат будут и, v, t, z = H{xp, ур, Р, tp), а функция

дифференцирования сложных функций многих перемен­

Так выглядят основные уравнения гидро- и термоди­ намики в изобарической системе координат, пригодные

420

для интегрирования. Однако при решении этой системы обнаруживается неравносильность отдельных членов, входящих в уравнения, которая проявляется в том, что окончательные значения прогностических величин полу­ чаются в виде малых долей при оперировании большими числами. Это обстоятельство приводит к тому, что при малейшей ошибке в исходных данных получается боль­ шая ошибка в предвычисленных. Следовательно, состав­ ленная система в таком виде не решает поставленной задачи предвычисления значений метеорологических полей.

Уравнение вихря скорости и его анализ. В целях лик­ видации неравносильности членов, входящих в систему уравнений гидро- и термодинамики, на Них накладывают операцию вихря скорости.

В векторном исчислении вихрем поля называется век­ тор, определенный в каждой точке поля, который яв­ ляется объемной производной этого поля, взятой с об­

Для наших целей используется только вертикальная составляющая вихря скорости, так как другие состав­ ляющие на несколько порядков меньше основных членов уравнений, т. е. Q*= Qy = 0; QZ= Q. Для получения рав­ носильных уравнений продифференцируем первое урав­ нение системы по у, а второе — по х. После этого выч­ тем из второго уравнения первое. Тогда

421

Выражение в скобках есть вихрь скорости (9.43), по­ этому разность этих членов равна производной от вихря скорости по времени.

ИТ . Д .

Приводя подобные члены, получим уравнение в виде

Произведя оценку порядка членов, входящих в урав­ нение (9.49), и оставляя члены с соизмеримыми поряд­ ками, получим уравнение вихря скорости в сокращенном виде:

до дО dt 4~ it дх

(9.50)

или окончательно

В полученном уравнении изменение вихря скорости по времени связано с изменением параметра силы Ко­ риолиса 2 ш sin ср = / и горизонтального переноса (адвек­

ции), выраженного дивергенцией вектора скорости div V. Связь же с давлением находится в скрытом виде, а так как нас интересует именно изменение давления, без чего невозможно построение прогностической карты, то выра­ зим входные параметры через высоты стандартных изо­ барических поверхностей. Для этого будем считать, что на уровне изобарической поверхности действительный ветер близок к геострофическому ветру. Тогда выраже-

422

нне дивергенции, стоящее в правой части, будет равно нулю, уравнение значительно упростится:

Используем связь геострофического ветра с высотой изо­ барической поверхности в виде

Теперь найдем выражение вихря скорости для этого случая:

Выражение, стоящее в скобках, есть лапласиан высоты изобарической поверхности АН.

Подставляя значения и, ѵ и Q в (9.52), получим

Разность между вторым и третьим членами полученного выражения есть новый оператор — якобиан:

423

будущих значений давления в заданных точках можно применить положения теории вероятности, считая, что давление .воздуха является случайной величиной, подчи­ ненной нормальному закону распределения. В настоящее время приняты три основных направления в разработке таких методов: метод эмпирических функций влияния, разложение поля давления в ряды п установление кор­ реляционных зависимостей.

Прогноз барического поля с помощью метода эмпи­ рических функций влияния. Физическую основу данной методики составляет система гидродинамических урав-

dv — элемент объема.

Конкретный вид функций G и F зависит от тех гипо­ тез, которые положены в основу составленных уравне­ ний, и от методики их решения. При практической реа­ лизации тройные интегралы в формуле (9.61) заменяют суммами парных произведений вида

П

^ CJ' і — С\Р1 + С2^ 2 + • • • + СпРп. (9.62)

І= 1

где ЬР— приращение величины Я;

/Г— значение F в точках пространства (г'= 1,2,...,п) ; сі — коэффициенты, получаемые с помощью функ­

ции Грина.

В этом соотношении искомая величина ЬР опреде­ ляется по известным значениям Сі и Fi. Точность предвычислення величины ЬР в этом случае будет целиком зависеть от правильности определения величин с*. Меж­ ду тем их значения при решении определяются прибли­ женно вследствие упрощений, сделанных на различных

425

этапах решения. Методы математической статистики позволяют произвести уточнения этих коэффициен­ тов.

Для этого обратимся к данным за предыдущие сутки. Тогда величину ЬР можно считать известной из мате­ риалов наблюдений за прошлые сутки. В отличие от ЬР, получаемых по формуле, эти фактические изменения обозначим ЬРф. Величины Fi снимаются с синоптической карты для любого срока. Коэффициенты же с{ будем считать неизвестными. Для их определения применим способ наименьших квадратов, для чего составим систе­ му условных уравнений путем вычисления ЬРфи /д для каждого случая. Эта система примет такой вид:

Здесь у F первый индекс I означает номер точки про­ странства (/= 1 , 2 ,..., п), а второй к — номер случая (к = 1 , 2, ..., N). Далее действуем в соответствии со спо­ собом наименьших квадратов для определения коэффи­ циентов Сі на основе системы нормальных уравнений, которая получается из условия минимума суммы квад­ ратов разностей между фактическими ЬРф и рассчитан­ ными ЬРдля всех N случаев:

N

426

Эту систему можно ,записать в таком :виде, ражение (9.64) продифференцировать по bP нять к нулю для нахождения минимума:

Здесь все суммы парных произведений вида 2FF и luFbP.$ являются известными величинами, а коэффициенты — искомыми. Таким образом, решая систему уравнений, вычисляют значения коэффициентов Си которые прини­ маются за постоянные.

В отличие от функции влияния G, определяемой тео­ ретически, коэффициенты сгвычисляются по эмпириче­ ским данным, поэтому их называют эмпирическими функциями влияния.

427

Метод разложения барического поля в ряды. При ис­ пользовании эмпирических функций влияния мы вы­ нуждены стремиться к тому, чтобы наиболее полное опи­ сание начального состояния ожидаемого поля давления производилось с использованием как можно меньшего количества параметров-предсказателей. Эту же задачу можно решить и другим способом, если в качестве пред­ сказателей брать не сами значения давления, а коэффи­ циенты разложения начального поля давления по тем пли иным функциям. Наиболее подходящими для этой цели функциями на ограниченной территории являются ортогональные полиномы П. Л. Чебышева.

Обозначим через % переменную, принимающую толь­ ко целочисленные значения от 1 до п {х=\, 2 ,..., п), и построим последовательность функций ф0 (х); фі(х); ф2 (х); ...; ф&(х), которые являются полиномами k-ü сте­ пени от дискретной переменной х. При этом потребуем, чтобы данная последовательность полиномов обладала свойством ортогональности, т. е. чтобы

Тогда удовлетворяющая этому требованию последова­ тельность полиномов будет такова:

где фь фг,. . фь-і известны как числа Чебышева. Значе­ ния чисел Чебышева вычисляются заранее (табл. 32).

Практически разложение поля давления для целей предвычисления делается так. Пусть мы сняли значение давления с синоптической-карты за 9 ч текущих суток в 7 дискретных точках, равноотстоящих от точки, для которой составляется прогноз. Требуется представить давление воздуха в виде полиномов 7-й степени. Тогда

4 2 8