книги из ГПНТБ / Океанография и морская метеорология учебник
..pdfсреднего уровня моря, вычисленная по материалам уровенных наблюдений. Требуется определить наинизший уровень, теоретически возможный по астрономическим причинам.
Задача решается при условии, что углы положения всех 8 волн отнесены к поясному времени, что облегчает пользование таблицами астрономических данных. Эти углы называются специальными углами положения; при их использовании все астрономические параметры сле дует брать относительно Гринвичского меридиана.
Таким образом, будем считать заданными:
1. Гармонические |
постоянные 8 волн: |
М2, S2, ..., |
Qp Н — амплитуда, |
g — специальные углы |
положения |
для всех восьми волн. В тех случаях, когда в данном пункте приливы носят мелководный характер, учиты ваются гармонические постоянные трех мелководных волн М4, М6 и MS4.
2. Высоту среднего уровня прилива Z0.
Тогда высота уровня прилива определится формулой
ht = Zq+ f MH Mt cos [qMt + (V0 + u)AU— £Жа] +
+ fs,Hsac o s |
(^ o |
+ u)sa~ S sJ + - |
|
- + fqtHQt cos №<?/ + |
(^o + u)Qt - g j , |
(5.23) |
|
где H — гармонические постоянные высоты;
/— редукционные множители, зависящие от долготы восходящего узла лунной орби ты (N );
(1/ q+ u) — начальные аргументы для 0 ч;
t — число средних часов от 0 начального дня до заданного момента;
q — постоянные угловые скорости волн за 1 ч среднего времени;
g — гармонические постоянные положения, выраженные через специальные углы.
Для нахождения минимального значения # min, каза лось бы, достаточно принять, что фазы всех волн одно временно равны 180°; тогда все косинусы, входящие в (5.23), будут равны —1. В этом случае наименьший воз
можный уровень оказался бы равным |
|
fsflsz |
(5.24) |
2 2 9
В действительности же это ошибочно, так как фазы различных волн находятся в зависимости одна от дру гой, поэтому это решение непригодно.
Обозначим для сокращения написания
/ЛІД ч , |
fsflsi ^2 ••• fQHQi — Qi, |
а qMt + (V0+ u)M - g AU= <pMt... qQt +
+ (V"o + h)^, — = ? 9l-
Тогда выражение (5.23) запишется в виде
ht = |
Z0 + |
cos срЛІ2 + S2cos (ps,s + f<2 cos 9 Aa + cos 9 ^ + |
+ |
Кг cos |
-f Oi cos 9 0i + Pi cos 9 Pi + Qi cos 9 Q. (5.25) |
Для того чтобы установить зависимость между фа зами различных волн, выпишем полные выражения, по которым вычисляется фаза каждой волны, в прямой за висимости от основных астрономических параметров:
?ль = 2Г + 2/г - 25 + [2е — 2ѵ] - g M- |
) |
||||||
Tw, = |
2Т + 2й - |
3s + р + [2s — 2ѵ] — |
|
||||
«Р* = |
2Г + 2й |
|
|
|
(5.26) |
||
= T + h + 9 0 |
+ I—V'I — gKj |
||||||
|
|||||||
? о = Т + h - 2 s — 90 + |
[2s — v'] — gQ; |
|
|||||
У р ,~ Т |
h 90 — gp-, |
|
|
|
|||
V = |
T + |
A ■- 35 + p ~ |
90 + |
[2 « -v ']-ff<?t, |
|||
где Г — среднее поясное время |
в градусах |
(1 ч = 15°), |
|||||
|
отсчитываемое от полуночи; |
момент; |
|||||
h — долгота среднего Солнца в данный |
|||||||
р — средняя долгота перигея лунной орбиты в дан |
|||||||
ный момент; |
|
|
|
||||
[ . . . ] — небольшие |
поправочные члены, зависящие от |
||||||
долготы восходящего узла лунной |
орбиты. |
||||||
2 3 0
На основании выражения (5.26) можно получить сле дующие зависимости между фазами различных волн:
90, = 27 -f 2h — 25 + f 2с — 2v] — |
) |
gM, — ^ ^ + 2s + 90 — [2s — v] -f gQt |
= |
= T + h + 90 + |
[—v] + g0i — gM-, |
|||
9j , — 9Pl = 2T |
— gSt — T + А + 90 + £Л = |
|||
|
= |
7’ + |
h + |
90 + gPi — gs ; |
9 ^v.I“ "9 g 1 = |
27 , + |
|
|
(5.27) |
2Ä — 3 5 - f p + [2 s — 2 v [ — |
||||
— T — h + 35 —/>-(-90 — [2s — v] -j- gg^ — |
||||
= |
T + h -f 90 + |
[—■v] + gQi — gNj |
||
9 ^ = |
2 (T + h + 90) - 180 + [—2v"j - g K- |
|||
|
VKl = T + |
h + |
90 + [—-v'] — gK. |
|
В каждое выражение разности «р входит повторяю щийся член (Г + А + 90). Из последней строки (5.27) сле дует, что
|
T + h + 90 = ? ^ + [v'] -t |
gK. |
(5.28) |
||||
Подставляя (5.28) в предыдущие строки, получаем |
|||||||
9Ла - |
90, = |
9К, + Ь' ~ |
+ gKl + g0l - gtij |
' |
|||
9Sa |
9/J, — 9a, + |
K] + gKl + gPi |
gSS |
|
|||
9№j - |
?<?, = |
9a', + |
К - |
V1 + gKl + |
gQt — gNj |
} (5.29) |
|
9 K, = |
2 ?a, + |
[2vf - |
2v"] |
+ 2 g Ki - |
1 8 0 |
|
|
|
9a, — T- + Л + 90 -f- [—v'] — gKi- |
) |
|||||
Выражения периодических членов, взятых в скобки [...],
медленно |
изменяются от года |
к году |
с |
периодом |
18,6 лет, |
достигая наибольших |
значений |
при |
долготе |
восходящего узла лунной орбиты 96 и 264°, и обраща
ются |
в нуль при N = 0° и N —180°, как это видно из |
табл. |
19. |
В связи с выбором значений редукционных множите лей /, которые тоже зависят от N, как это будет видно из дальнейшего, нас интересуют только значения 77 = 0°.
231
Т а б л и ц а 19
Значения |
периодических |
членов |
при различных |
значениях |
N |
|||||
|
|
Ч л е н ы |
|
/Ѵ = 0° |
N = 96° |
N = |
180° |
N = |
264° |
|
[ V — |
v] |
в |
— |
<P0l) |
0 , 0 |
—4,0 |
0,0 |
+ 4 , 0 |
||
K l |
в |
( ? j , |
— Ч>Р,) |
0,0 |
+ 8.9 |
0,0 |
—8,9 |
|||
[ v ' - v ] |
в |
— |
?Q,) |
0.0 |
- 4 , 0 |
0,0 |
+ 4,0 |
|||
[2v' — |
2 v " ] |
в ( ^ |
) |
0.0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
|||
[— v'l в (< ?* _ ) |
|
0,0 |
—8,9 |
0,0 |
+ 8,9 |
|||||
иN=180°. В первом случае склонение Луны будет 28,6°
ибудут иметь место наибольшие приливы у суточных
волн, а во втором — 18,3°, когда имеют место наиболь шие приливы у полусуточных волн. На этом основании в выражении (5.26) периодические члены, взятые в скоб ки [...], можно опустить.
Обозначая
е к , + ё о - ё м , = аі> gKl+ g p - g s,= 0 £
— 180 —gK^ = а 4;
Г, + а і = ХИ |
+ а 2 = x2l |
+ « 3 = х3> |
получим
^ О , ~ Ѵ м 2 х 1» Ѵ р , — |
Х2І ? Q , = |
— х з> |
Ук, ~ %Ѵкі ^ |
|
(5.30) |
Подставляя эти значения фаз в выражение высоты прилива ht, получим
ht == Z0 + Лі2cos срЖа + О, cos {(fMi — Tj) +
+ S2cos cp^ +-Pj COS (<p5ä — x2) + ^ 2 |
cos |
+ |
+ Ql cos (cp^ - XS ) + /C2 cos (2<pKi + a4) + |
ATj cos |
(5.31) |
232
В этом уравнении для |
каждой пары волн М2 и Оь S2 |
|
и P u N 2 и Qi получаются аналогичные члены |
вида |
|
А cos 9 |
-f В cos ( 9 — х), |
(5.32) |
которые можно привести к одному члену путем преобра зований
А cos 9 |
+ В cos ( 9 — т) = |
(Л -1-Л cos х) cos 9 + |
||
|
4 - В sin х sin 9 . |
|
(5.33) |
|
Вводя вспомогательные величины R |
и $, |
определяемые |
||
условиями: |
£ sin х = 7?sine; |
I |
|
|
|
(5.34) |
|||
|
А -f В cos 1 = R cos е, |
) |
||
получим |
|
|||
|
|
|
|
|
( |
А В cos е) cos 9 |
-f В sin х sin 9 |
== |
|
|
= R (cos e cos 9 |
+ sin в sin 9 ). |
(5.35) |
|
Вспомогательные величины определяются из выражений:
R--=VA*A- # 2+ 24ßcosx; |
(5.36) |
||
. _ |
В Sin X |
(5.37) |
|
® S |
А + В cos T ' |
||
|
|||
При этом R всегда положительно, а четверть, в которой лежит угол £, определяется из условия, что sins имеет знак числителя, a cos в — знак знаменателя.
После всех преобразований получаем окончательно
К = Z 0 + Ri cos (9 л і2 — sQ + R2cos (9 ^ — e2) +
+ Ri cos (<?Nt — £3 ) + K2COS (2ffKi + a4) + Kxcos |
^ , (5.38) |
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
9 |
R\ = V Щ + |
|
+ 2 M2 0 |
i cos xt ; |
|
|
||
R2= |
|
|
+ |
|
cos x2; |
|
(5.39) |
Я8 = |
jA v* + Q2 + |
2N2Q, cos xs; |
|
|
|||
. |
0] Sin Ti |
|
|
. |
Pi Sin x |
||
^ Sl |
+ Oi cos X] ’ |
|
£ ®2 |
S2 + A |
cos x2 |
||
|
|
|
|
2 |
|||
|
t _ e |
|
QiSinx, |
|
|
(5.40) |
|
|
0 3 |
iV2 + |
Qi cos x3 |
|
|||
|
|
|
|||||
233
Полученное уравнение для высоты прилива показы вает, что высота прилива представляет собой сложную функцию четырех переменных, которые в конечном итоге зависят от пяти основных астрономических параметров, меняющихся по своему характерному периоду. В табл. 20 приведены периоды этих параметров.
Т а б л и ц а 20
Периоды астрономических параметров
Э л е м е н т П е р и о д
т |
24 ср. |
часа |
|
S |
27,3 |
ср. суток |
|
h |
365,25 |
ср. суток |
|
Р |
8,85 |
года |
|
N |
18,63 |
|
года |
Из табл. 20 видно, что эти параметры имеют несоиз меримые периоды, вследствие чего в выражении (5.27) можно допустить одновременные сочетания любых ком бинаций значений Т, s, h, р, N. При этих условиях вы ражение (5.38) можно рассматривать как функцию че
тырех независимых |
переменных |
<ps , <pN и <рк , |
а |
для N принимать любое постоянное значение, например |
|||
N — 0° или N=180°. |
В этом случае для определения |
аб |
|
солютного минимума можно применить общий матема тический метод определения минимума функции от мно гих неизвестных. Согласно этому методу, если дана функция и от многих переменных, являющихся независи мыми, X, у, г , ... и параметра а, т. е. u — f(x, у, г ,..., а), то для нахождения минимума функции нужно задать та кие значения х, у, г, . .., которые одновременно обращают
в нуль частные производные |
от |
этой функции, взятые |
|
по X, у и г: |
|
|
|
Ж |
■0; |
Ж |
= . |
дх |
|
ду |
0 |
Применяя это условие к рассматриваемому случаю и считая <рКі параметром, получим необходимые и доста
234
точные условия для определения абсолютного миниму ма /ішш, а именно:
d h |
г \ |
• / |
, |
„ |
1 |
|
_ - = |
_ / ?1sm(<pA!j- e 1)= 0 ; |
|
|
|||
= |
_ Я 2 |
sin (Ьг - |
е2) = |
0 ; |
} |
(5 .4 1 ) |
sin
Таким образом, минимум обеспечивается, если за дать
|
180; Ь 2— « 2 = |
180 и <PW, — «, = 180. |
||
Подставляя эти значения в выражение (5.38), по |
||||
лучим |
|
|
|
|
^min |
— |
Rx— R2— Rs + K<i cos (2фА,і -f a j + |
||
|
|
+ Ki cos <pKi. |
(5.42) |
|
В это выражение входит только одна независимая пе |
||||
ременная |
в явном виде, |
и от нее же зависят значе |
||
ния R 1 , R2, /?з- |
При решении |
полученной |
формулы для |
|
минимального уровня прилива удобнее применять гра фический метод, для чего надо построить график экстре мальных значений L, задавая для значения 0, 15,
30, ..., 360° и принимая ІѴ= 0о или ІѴ=180°. Все вычисле ния выполняются на специально издаваемых бланковых формах.
Определение теоретического нуля методом Н. Ф. Куд рявцева. В 1956 г. Н. Ф. Кудрявцевым предложен новый способ определения теоретического нуля глубин по гар моническим постоянным 8 волн, который обладает зна чительным преимуществом в скорости получения гото вых данных. Расчеты по этому способу в некоторых случаях дают несколько заниженную точность предвычисления нуля глубин, поэтому его использование целесооб разно только при рекогносцировочном промере и в особо
экстренных случаях. |
экстремальных высот |
прилива |
|
Для получения |
|||
Н. Ф. Кудрявцевым |
получены следующие уравнения: |
||
— для суточных |
приливов |
|
|
hx — Ахcos 9 |
+ Вхcos 2 9 — Ci sin 2 9 ; |
(5.43) |
|
2 3 5
— для полусуточных приливов
h2 А2C O S ф “I" $ 2 cos ~2 |
02 |
~2 ~» |
{5.44) |
где коэффициенты А{, В і и С,- определяются по гармони ческим постоянным главных волн из выражений:
Ах — К\ + Ох-f- Р 1 -f Qi!
Вх = М2cos ах+ S |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
(5.45) |
||
|
cos а2+ К 2cos ай-f ЛГ cos а 4; |
|
||||||||||
Сх= М2sin ах-f S2sin а2-f N 2sin ö8 |
+ |
|
sin ait |
|
|
|||||||
при этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 = |
SKt + |
g0i - |
Sm; |
«2 = |
gKt + |
gp, - |
gsj |
|
||||
«S = |
+ gQl - itrj |
a+= 2 ^ |
- |
- |
180. |
|
||||||
Для полусуточных приливов |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
А2— vW2 -|- S2 4* Л/ 2 + /г2; |
|
|
|
|
|
I |
|
|||||
В2= (?! cos bx+ Рхcos £ 2 |
+ Qxcos £ 3 |
+ |
Ki cos |
|
| |
(5.46) |
||||||
C2 = Oxsin bx-f- Pxsin b2-f Qxsin bs -f Ki sin bit |
I |
|
||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bi = g M, - |
4 |
- g K ~ g 0i- |
9o; |
&s |
|
- |
4 - |
^ |
- ^ |
- 9°; |
||
h =»^ |
|
-& >, - |
90; |
^ |
|
|
|
+ 9 0 * |
||||
В расчет принимаются редуцированные амплитуды |
||||||||||||
Л*, |
=f |
м., |
|
^2 |
fs fls i |
|
Q |
i = |
/ A |
(5.47) |
||
Полученные уравнения приводятся к виду, пригод ному для номограммирования, что и обеспечивает бы строту вычислений.
Известно, что для отыскания экстремумов данной функции необходимо равенство нулю первой производ ной от данной функции.
Дифференцируя уравнения (5.43), (5.44) по ф и при равнивая к нулю производную, получим
Ахsin <р+ 2Вхзіп 2ф + 2СХcos 2<р — 0;
(5.48)
А2sin 9 + В2sin -у + — С2cos —- = 0.
236
При решении этих уравнений получаются четыре кор ня, которые удовлетворяют решению задачи нахождения экстремума, но действительным корнем может быть только один. Хотя Н. Ф. Кудрявцевым даются рекомен дации по отысканию действительного корня, однако ча сто однозначного решения не получается, поэтому пред почтительнее пользоваться номограммами, разработан ными применительно к этим уравнениям В. И. Пересыпкиным.
Для построения номограмм уравнение (5.48) перепи сывается в виде
А2sin 2'4>-Ь - i- 5 2 sin^ -f -^-C2cos ф = 0,
где ф = ср/2. Такая замена позволяет ограничивать по строение номограммы пределами изменения 0 <!ф <^2 тс.
После этого уравнения приводятся к канонической форме Коши, по которым и строится номограмма. При веденные к канонической форме Коши уравнения имеют вид:
— для суточных приливов
2 -р- sin 2 <р+ 2 -J1- cos 2<р+ sin 9 = 0 ;
2 -р-^ |
(—sin 2 ср) + 2 |
cos 2 ср + |
sin ср = |
0 ; |
|
■— для полусуточных приливов |
|
|
|
||
~ â r sin ^ + |
cos ^ + sin |
= 0 : |
! |
(5.50) |
|
( — |
(—sin ф) + |
cos ф + sin 2 ф = |
0 . I |
|
|
По этим приведенным уравнениям строятся номо граммы, имеющие вид, показанный на рис. 43 и 44. Для входа в номограмму № 1 в случае суточных приливов рассчитываются отношения ß i/Лі и С\/А\, а для номо граммы № 2 , предназначенной для полусуточных прили вов, В2/2 А2 и С2/2 А2. При вычислениях необходимо осо бое внимание обращать на знаки величин Ві и С{. По полученным отношениям на параллельных шкалах уста навливается линейка, после чего в точках пересечения среза линейки с кривыми находится искомое значение 9 min или фшшЛинейка при этом прикладывается дваж
237
ды: один раз направления параллельных шкал опреде ляются знаками без скобок, а второй раз — знаками, за ключенными в скобки. Соответственно этому и выбира ются четыре значения углов.
Для установления значений действительных корней, удовлетворяющих условиям экстремума, необходимо знать четверти, в которых они находятся. Из уравнений (5.49) и (5.50) следует, что для этого необходимо уста-
2 38