книги из ГПНТБ / Коновалов Г.В. Импульсные случайные процессы в электросвязи

Фт{к co) = 2 - |- m 1{|5(.*)(/,(o)|2} ,

(2.4)

где

SW(t, со)- J

^

)(0 e~ utfÄ>

(2.5)

—Г/2

так

что

t

t

mi { I S<*> (t, со) I2} =

(k) |<*>(4)

dtx dk\ =

mi

J

j

i p

-T /2 —Г/2

=

j

j BT{tur_k)

d W h ,

—Г/2

-Г /2

( 2. 6)

ф (к со) = 1ітФг(£, со) =

21іт —

j* j Вт(к,

к) е- іш(<’-6> dkdk.

г-►»

г-*=° dt

—Г/2 —Г/2

(2.9)

Введем переменную т = ^ —

и разобьем

область интегрирова­

рая значениям т> 0

'(рис. 2.2). Интегрирование в первой области

будем производить

по переменным т и

а во второй — по .пере­

сплошными линиями

и пунктиром,

а области интегрирования, в

Т

Т

т>0, заштрихованы).

которых — —

т^ О и ——

Ф (t, ю)= lim Фг (t, ad) =

2 j B{t, f+ t)e~iaTdt +

Г—*-00

+

J В (/ — т, t) e-i0)T d г

( 2. 10)

772

0

FT((o)

1

Г

Г

Г

е_і “ т Bf (t, t -j- T) did X -f-

т

J

J

-772 — 772 —<

ТІ2

<■4-772

J

е~ ‘ №XBT(t

( 2. 11)

—772

0

ПереходяJ:к пределу при Т-+-оо, найдем

F(a) = lim Ff (и) =

2 f Я*(т)е_і m dx,

(2.12)

T—+CD

—Vоо

Т/2

где

В*{т)=

lim - L

Г

Bf {t, t + т)di1

(2.13)

Г—00 T

J

—Ti2

— усредненная

по

времени

корреляционная функция

случайного

процесса. Из (2.12)

следует также

В* (т) = —

Г F{w)elaKd(o.

(2.14)

4л

J

Для стационарных (в широком смысле) случайных процессов

корреляционная функция ß * (т) = й (т) и из (2.12)

F{a>)= 2 j

B(r) e“ iwt d x.

(2.15)

б)

длительность импульсов реализаций не ограничена (см.

рис.

1.3).

(к)

t + т) = пн l nk)l( f u n Лк) Ui

t+ x-t)

(2.16)

т<*>

=

*

_I QJ

n

’ dx = If) xf) gn (mf>) e

" t

I f ' rf> J Un(x) e

n

(2.17)

где gn((OT„)= j' и (x) e Ш"х dx.

(2.18)

о

iB случае неограниченной длительности импульсов:

Bn,i(* . t+T) = m1 {

If) I f )

un (t -

/<*>)щ ( / + T -

if))} .

(2.19)

со

_—

dt =

Gnk ) ( ® ) =

If>

J un(t-tf))e

l nk)(

®

—id) (*-H*A))

dx =

. .

—

( 2.20)

=

j « .W «

l f ] gf)(ti>)e

где g(co)= f

u(x)e

i<i>xdx.

(2.21)

B(t,

t + т) = mt

{|(fe) (t) £(fc) (t + T)} =

=

mi{ I

f

l"k) l ik) U"(* -

u<(t+ X - */*’) }

ІП— — oo

/—

— oo

)

или согласно

(2.19)

B (t,t + x) =

£

£

B n . i (t,t+ T ).

(2.22)

n = —oo j= — со

Соответственно усредненная по времени корреляционная функ­

ция процесса

Т/2

Т/2

оо

оо

В*(т)=1іт— f B(t, t + x)dt = Нт^- Г

V]

V

Bn.j(t,

t + x)dt.

T j

Г - » oo T J

ь л

/п f ) o \

— Г /2

— Г/2 n = —

oo/=— 00

I Z . Z O J

В (2.22)

и (2.23)

Bn, j(’t, t+x) определяется из

(2.19),

а при ко­

нечной длительности импульсов из (2.-16).

с

ß*(-t) преобразова­

Энергетический

спектр процесса

связан

нием Фурье

(2.12).

В

ряде случаев

при

оценке

энергетических

Z<*>(®)= £

е<*>и.

(2.25)

п=—N

Тогда

Z ^ M j2 = Z (* > (a )Z j* iH =

£

£

(2.26)

n=—N

j= —N

Из (2.17) [или (2.20)], (2.25) и (2.24) находим выражение для

энергетического спектра случайной

последовательности

импульсов

F( со)= lim

N

N

N

.

(2.27)

S

ѵ »

+

2

I

*„.,(<»)

N-оо (2^+1) Г

n=—N

n=—N

i——N

n+j

где

К,і (®) = mi{

_____ - m (

}

(2.28)

In'1Цк) х(к) x\k) Sn (ШТ<*>) gj ( CÖT;!* ))

e

в случае и м ч у л ь с о в

конечной длительности и

Лп,/(®)= т1

со) g<*>(ю)е

(**>-

(2.29)

Л

мируя в

областях,

где Д<0 и где Д >0

(рис. 2.3)

соотношение

(2.27)

можно переписать так:

*

/ ' ] *

Fla)

=

lim --------------

N

А>0

У,

+

/

1

Л у

Ä

I

v

N->o= (2N + 1 ) 7

’

n= —N

*

/

-1

Д+ЛГ

2N

N

/

- Z-,

-

\ п

- » Г

1

7 /Н

+ S

I

Yi

Е h n , n - д ( “ )

I

-7 /

Е h n , n - д ( “ ) +

1

/

Д=—2N n = - N

Д=1

п=Д—N

1

X -н

ь.<о

(2.30)

-гн

Для процессов, у которых форма и статистичес-

Рис.

2.3.

Обла- кие характеристики не зависят от временного по-

ети сумм,крова-

ложения

импульсов и могут

зависеть

только от

11 я

взаимного их расположения, т. е. от Д= п—}, зна­

чения Л„,„і((й)

и hn, у(со) =/гп, п- (со), определяемые ф-лами (2.28)

или

(2.29),

не зависят от п и могут быть обозначены соответствен­

но h0(iо)

и

hA (со). Тогда,

в

частности, для случайной

последова­

2N

F{св)= lim _ r .— {{2N+ 1)М®) + V {2N + 1 - Д ) Х

N-rоо (2 N +

1 )Т

д=і

X [ h A{ü>) +

/г_д (со)]} ,

(2.31)

где

h0(со) =

m1{[ £<,*> x ^ f I g (coT^))|2} ,

(2.32)

hA(со)=

gw £<*_>д т<*>

g (сот<,*>)g (сот^ід) e

n

n_Ä' )-(2.33)

ленную по ф-ле (2.21). _____

____

Поскольку

/і-д (со) —hs (со)

и /гд (со) +Ад(со) =2 Re/гд (со), выра­

жение (2.31)

легко привести к виду

1

2Л/

\

(і - 2- ^ т ) /гд(со) .

(2.34)

Мсо) + 2Re^Hm £

к о = £

s

(г-35)

п = —

да г = I

при 'неограниченной длительности импульсов групп и

00

/<-<„

*п,г

п ~ —

со

г=\

*п,г

у (*>

у (*)

Л71

Л/

+ т )= 2

2 /77а

2 2

71=—оО/=—00

=1 <f=l

wn (ха,

я,

/) =

V

^

Р (х„ =

X, Ху = Я) б(х1 — х) б (ха — Я),

х=0 я—о

то соотношение

(2.36)

можно преобразовать к виду

B ( t , t + т) = 2

2

2 2 р^ , = *• * = х

гі=—

оо /— —

оо

х=0

Я=0

к

Я

X V

у Bn,i,r.q(t, t +

т),

(2.37)

где

в п . і

. И -Т ) = ж, { I!« {}« к „ ,(<-<<*>) «,.,(<+ т - <$)} -

(2.38)

При одинаковом

(равном т )

числе импульсов во всех группах

соотношение

(2.37) преобразуется к виду

(2.39)

оо

оо

т

т

B ( t , t + X ) =

у

У

у

у Bn,i,r,q( t , t + x ) .

71=—00 /=—00

Г—1 <7=1

Соответственно

772

00

оо

т

т

(2.40)

— Т /2 /і=—

оо

/ = —

оо г = 1

<7 = 1

Соотношения (2.37), (2.39) и ;(2.40)

справедливы и при конеч-

«ой длительности импульсов трупп, причем в этом случае

t+ х) = тх { Ъ(^ Ц к1 unj

ль)

t + i - t f t '

(2.41)

ЛЬ)

иМ

ЛЬ)

е <“ > = Й (a v + D V m*! I z tf> W P ) •

)2A2)

где Г р —средний период

следования групп импульсов;

2/V+1 —

число групп импульсов

в усеченных реализациях

процесса;

G‘ft)(®)= £

G(*)(со);

(2.43)

Г=1

N

= £

£ £ £

|Z<*>(«)|2

I

S

(2.44)

n=—N

r= 1

n = - N

l = - N r= 1 ?=1

Значения

G^\

(со) в (2.43)

и s(2.44)

в зависимости

от того, ко­

следовательности, вычисляются

по ф-ле (2.17) или (2.20). При

этом у всех величин в

(2.17) и

(2.20)

следует заменить индекс п

на п, г.

величины %п и

-Будем считать, что

не зависят от случайных

со

оо

W2X(*1 , *2, п, j) = £

£ р (Хя = X, X/ = М Ö(*1 — х) б(х2 — X)

( x"k)

Сп*М®)

= £

II £ [GJ,*>(©)/xi*) = X]

(2.45)

т х

I £

р(Хп = у) Щ

ir=l

х=0

Г=1

= V

Р (х„ = х) У mi {GW(<B)} .

х=0

r= l

Аналогично

(ю) j =

X.

, (fc)

(*)

00

00

mi IXE

Gn*r(w) G)ffl

£

]£ p (Xn =

X/ = X

lr=l

9=1

x=0

Я=0

X

Я

(2.46)

V

V m ^ GOO (№) G<*> (со) }.

( Оо

X

X

Е ^(хп=*)Х

V /ѵ > ) +

и=0

г—1

q= 1

N -* оо

,

2УѴ+ 1j)Уу Р(х,=*.

уЧ,»}.

4- 2Relim

2N

А=1

х=0 Я=0

л=1 9=1

где

К.г.я (®)= тг (Gj*> (®)G £V,(®)} .

(2.49)

F(ш) = X

f Ё Р (х “

х>Ё Ё к -'-<(в)+

L x —0

г—1 я=\

со

2N

х

к

+

2

J ]

( l - ^

)

j

£

**.,.,(«>

(2.50)

х = 0

Д = 1

т \ <7=1

где при конечной длительности всех импульсов групп

К г . Я (®)=m l {[

Х п , 1 } 2

IS n , г ( < < kl) Г},

(2.51)

K r . q W =

Ѵ п \

я Тп*гТ» - Д . ,

X

__________________________ - і

со ( l < * > -

t (* ) .

n) x

(2.52)

iB случае неограниченной

длительности

импульсов

/іо, r, g(to) и

/ід,г, g(w)

определяются этими же соотношениями, в которых сле­

дует только заменить т<$ £„,Дсот<*>) и т)£>д

gn_A q(ют<£Ді?)

на g^>(co)

И ё п \ . М -

всех импульсов

групп и

Заметим, что при одинаковой форме

при

P ( X n = h

Х/ = 1 ) =

1,

Х/=^1)=0

И Г Г = Г

выражения (2.48)

и ((2.50) соответствуют

(2.34).

=

С другой стороны, при Р(%п =лг, уц=т) = 1, Р{%пфгп,

—О, где т — любое целое положительное число;

- т

т

2 N

F(в ) =

"

~

2УѴ+ 1

X

L r = l

? = i

Д = 1

X

Ё Ё к . , »

(2.53)

Г=1 9=1

где при любом Д ^О

Лд, г, Ды) определяется

из

(2.52),

если дли­

тельность всех импульсов групп конечна, и соотношением

f

____

_

і

,(*)_,(*)

Vi

^

(2.54)

"h {

й !>

= -я. { і и

m

{ 5і‘л

. , } + лі, { і<:> у л . л

araq -f RA,r,q°raq>

(2.55)

где

a, = mx {£<*>},

аг =

j/M 2( £<*>},

R&,r,q =

{ ln)

® U . q) — araq]/ar°q>

(2.56)

преобразуем (2.50)

и (2.53) соответственно к виду

ТДсо)

У Р ( х = х) У і £

(araq+

Ro,r,qürüq) X

и=0

г—1 q=1

X

g„.r(ört^)

e

+

2N

+

'£1P(%= x) 2Rej ^

j

( J — ^ 4 T

) 2

2

x=0

"~*a> Д= l'

‘

' r=l

<7=1

X

(

________________ i

tW_Ak)

«t! { T W *£>д>? g„>r(at<*>) g„_A,9(ö)T^A ?) e

(2.57)

/'((о)

У]

£

(«r«<7 + #0.r,<7OrOq) X

r = l

<7=1

X m-i j x<fc) T <*> g„>r(coTj,*>) £ „ ,„ (« < > )

e

- ( c

- o

2N

+ 2 R e й 1» д2

( 1

2<v+

1/

2

J J

(Ягй?+

^ А>г’9 CTra,?) x

_ i

m (

<<*>-«<*>.

X

( <>т<*_>д,,g„,r (coT<ft))g„_A>? (<ÜT£>a>?) e

V

я , г д —Д,<

(2.58)

Для последовательностей импульсов неограниченной длитель­

ности

^n.lSn.ri^n.l) И

6 ^

4 , 7

«

^

, , ) .