книги из ГПНТБ / Коновалов Г.В. Импульсные случайные процессы в электросвязи

Используя приведенные выше соотношения для йУѵвых (х), сред­ нее значение и дисперсию изменений временного положения им­ пульсов на выходе логических схем можно рассчитать по форму­ лам:

JВЫХ

—CO

cc

−−−−−−−00

Вероятностные характеристики временного положения импуль­ сов на выходе логических схем при равномерном и нормальном за­ конах распределения вероятностей временного положения входных импульсов. Рассмотрим частный случай, когда временное положе­ ние импульса на каждом входе логической схемы характеризуется равномерным законом распределения вероятностей, при котором

Подставив (7.61) и (7.62) в (7.49) « (7.51), непосредственно получим для схемы объединения

270

Графики ^ѵвых (х) для схемы объединения и схемы совпадения, при я = 1, 2, 3, 4, 5 представлены на рис. 7.13.

0 «WW

а) схемы объединения; б) схемы совпадения при равномерном распределении вероятностей временного положения входных импульсов

Далее, вычислив по ф-лам (7.59) и (7.60) величины тДѵ} и Л4г{ѵ}, найдем, что среднее значение изменений временного поло­ жения выходных импульсов схемы объединения и схемы совпаде­ ния одинаковы по абсолютной величине, т. е.

причем в случае схемы объединения отДѵ} отрицательно, а в слу­ чае схемы совпадения положительно. Дисперсия Л42{ѵ} для обоих случаев одинакова и определяется соотношением

(л+ !)*(* +2)

Для схемы усреднения временного положения первого и послед­ него 'Импульсов, используя соотношения (7.53), (7.59) — (7.61) и выполнив несложные преобразования, легко показать, что плот­ ность вероятности

271

Среднее значение mt{v} равно нулю, а выражение для дисперсии изменений временного положения выходных импульсов имеет вид:

плотность вероятности суммы случайных величин \\. Воспользовавшись известными выражениями плотности вероят­

представляет затруднений. Действительно, поскольку среднее зна­ чение суммы случайных величин равно сумме средних значений суммируемых величин, очевидно, что в рассматриваемом случае ті{ѵ}=0. С другой стороны, так как дисперсия суммы некоррели­

.272

Для схемы выбора по минимуму уклонения определение веро­ ятностных характеристик с помощью соотношений (7.57), (7.59) -У -Н (7.61) приводит к несколько неожиданному результату. Как лег­ ко проверить, в этом случае выражения для плотности распределе-

Т а б л и ц а 7.2

заданном чи-сле входов п наименьшее значение дисперсии времен­ ного положения выходного импульса обеспечивают схема усред­ нения первого и последнего импульса и схема выбора импульса по минимуму уклонения.

Графики плотности вероят­ ности временного положе­ ния импульсов на выходе этих схем при равномерном законе распределения веро­ ятностей изменений времен­ ного положения импульсов на п входах, где п ~ 1, 2, 3, 4, 5, приведены на рис. 7.15.

Рассмотрим далее стати­

распределении временного положения входных импуль­ сов, характеризуемых нор­ мальной плотностью вероят­ it ности w ѵЕХ(х), где значение

X выражено в единицах среднеквадратичного значе­ ния изменений временного положения входных импуль­ сов.

При анализе, по-прежне­ му, полагаем, что изменения временного положения вход­ ных импульсов не приводят к пропаданию импульсов на

выходе. Это можно считать справедливым при условии, что сред­ неквадратичное значение смещений входных импульсов значитель­ но меньше их длительности.

Функции распределения импульсов на выходе схем объедине­ ния, совпадения, усреднения первого и последнего импульсов, ус­

При последующем изложении ограничимся приведением ана­ литических выражений для числовых характеристик mt{v} и МДѵ) и сравнением зависимости этих величин от п для различных

логических схем.

274

Согласно (7.49) и (7.59) для схемы объединения получим

00

(7.72)

В результате интегрирования по частям с учетом того, что в рассматриваемом случае

Для остальных из рассмотренных логических схем среднее значение тДѵ} равно нулю при всех п. Этот вывод, вследствие симметрии Шѵвх (х) относительно х = 0, достаточно очевиден из фи­ зических соображений и может быть проверен с помощью соотно­ шений (7.53)—1(7.57) и (7.59).

Для дисперсии временного положения выходного импульса схе­ мы усреднения первого и последнего импульсов согласно (7.53), (7.6Ö) можно написать соотношение

СО X

которое, однако, не удалось пока привести к более удобному для -проведения численных расчетов виду.

Что касается дисперсии временного положения импульса на вы­ воде схемы усреднения всех импульсов, то в соответствии с теоре­ мой о дисперсии суммы некоррелированных случайных величин с нулевыми средними значениями для этого случая

Получим теперь выражение для дисперсии временного положе­ ния импульса последней из рассматриваемых логических схем —- схемы выбора по мииимому уклонения от опорного момента вре­ мени х0 = О. Подставив (7.57) в (7.60), запишем выражение для <Мг{ѵ} в виде

Для последнего интеграла в (7.80) еще раз -применим метод интегрирования по частям:

276

Г)П—1

в случае равномерного распределения вероятностей временного по­ ложения входных импульсов, выбором типа логической схемы и увеличением числа ее входов п (до тех пор, пока это число не пре­ вышает п = 5—6) можно добиться значительного уменьшения дис­ персии временного положения импульсов.

К числу схем, обеспечивающих наименьшее значение дисперсии, относится схема выбора по минимому уклонения от опорного мо­ мента времени Хо. Графики зависимости плотности распределения вероятностей временного положения импульса на выходе этой схемы при плотности распределения вероятностей временного по­

277

лож ения входных 'импульсов, симметричной относительно а'0= 0 , д л я

различных значений п представлены на рис. 7.17.

Рекуррентный метод определения статистических характеристик временного положения выходного импульса. Применяя логические схемы с п входами в кодирующих и декодирующих устройствах ААСС в ряде случаев целесообразно оценить статистические ха­ рактеристики выходных импульсов этих схем при более общих до­ пущениях относительно характера распределения временного по­ ложения импульсов входных сигналов. Необходимо учесть возмож­ ные различия средних значений изменений временного положения импульсов на разных входах («расфазировку»), различие в вели­ чине дисперсий случайных флуктуаций временного положения и т. п. Для схемы выбора по минимуму уклонения от опорного мо­

шений для плотности вероятности временного положения импуль­ са на выходе схемы выбора по 'Минимуму уклонения от опорного момента времени ѵо, когда значение ѵо является случайной величи­ ной, характеризуемой плотностью вероятности wVo (х). Для общ­ ности будем считать также, что плотности вероятности временного положения импульсов на разных входах описываются различными функциями w ѵвх t (х), где і= 1, 2,..., п.

В случае простейшей схемы с двумя входами условная плот­ ность вероятности временного положения на выходе этой схемы

(при УСЛОВИИ, ЧТО Ѵо= Ао)

278

Первое слагаемое в правой части (7.86) характеризует вероят­ ность того, что при условии л’о= XQ временное положение импульса на выходе схемы определяется временным положением на первом входе, а второе — положением на втором входе схемы.

В случае схемы с тремя входами (к + 1 = 3):

Первое слагаемое в правой части соотношения (7.87) характе­ ризует вероятность соответствия выходного импульса какому-либо из импульсов на первом или втором входе схемы, а второе слагае­ мое определяет вероятность прохождения на выход схемы в мо­ мент времени х импульса с третьего входа.

В общем случае схемы с /с+1 входами (к^ .п —1)

Учитывая (7.88), для плотности вероятности временного поло­ жения импульса на выходе схемы выбора по минимому уклонения от случайно изменяющегося момента времени ѵ0 можно записать рекуррентное соотношение

X

279