чтобы они отличались друг от друга как можно сильнее и в то же время по возможности мало искажались при прохождении по уз лам системы передачи информации.
Рассмотрим подробнее вопрос о влиянии формы импульсов на статистические характеристики регистрирующего устройства систе мы связи с импульсно-кодовыми сигналами. Структурная схема приемника импульсных сигналов представлена на рис. 5.12.
Рис. 6.12. Способы регистрации импульсных сигналов:
а) стробирование; б) интегральный; в) автокорреляционный; г) взаимно корре ляционный; д) оптимальная фильтрация
В приемных устройствах систем обмена дискретной информа ции реализуется несколько алгоритмов регистрации импульсных сигналов. Наиболее простыми являются так называемый метод стробирования [30] (метод «узких» импульсов [94]) и интегральный метод [86]. Более сложными, а в некоторых случаях и наилучшими, являются корреляционные методы: автокорреляционный [86] и взаимно корреляционный [88] методы приема, а также эквивалент ный им метод согласованных фильтров [90].
Метод стробирования (рис. 5.12а) состоит в том, что прини маемый сигнал подвергается преобразованию типа свертки с б-функцией, т. е.
ь |
|
I (0 = J I (t) б (t — (п) dt, a < t „ ^ b , |
(5.35) |
а |
|
где %(t) и t,(t) — случайные функции времени, представляющие со
ответственно сигналы на входе и выходе регистрирующего устрой ства.
Видно, что решение о переданном элементе сигнала в этом слу чае принимается на основе измерения мгновенного значения при
нимаемой реализации сигнала в момент |
времени |
tn и сравнения |
этого значения с некоторым эталоном |
(порогом). |
Правильность |
принятых решений таким образом определяется одномерными ста тистическими характеристиками случайного процесса \(t).
В |
случае интегрального приема (рис. 5,126) |
преобразование, |
которому подвергается процесс %(t), имеет вид |
|
? (0 = |
} Ui) dt, |
(5.36) |
|
'я |
|
а решение выносится на основе полученной суммы мгновенных зна чений §(/) в моменты времени от t„ до tn+T {без снижения общ ности можно положить в (5.36) /п= 0]. Правильность принятых ре шений в этом случае определяется более тонкими статистически ми характеристиками (как минимум двумерными) процесса £(і).
Сущность корреляционных методов приема (рис. 5.12 в, г, д) состоит в том, что решение о наличии конкретной реализации сигнала выносится на основе сравнения с порогом случайной функ
ции:
т
(5.37)
о
в фиксированный момент времени tn, 0 ^ t n^ T . Задание функции т\(t), детерминированной или случайной, определяет упоминав шиеся выше разновидности корреляционного приема. Кстати гово ря, полагая в (5.36) г п о л у ч и м алгоритм интегрального приема. Качество корреляционных методов, следовательцог^бпределяется как минимум двумерными статистичесюршжгфактеристиками процесса \(t).
Итак, корреляционные методы регистцДцин-цмпульсных сигна лов требуют анализа реализаций принимаемого сигнала на конеч ном отрезке времени (0, Т), а для оценки качества этих методов необходимо знать статистические, в частности, энергетические ха рактеристики импульсных сигналов на входе регистрирующего устройства, т. е. на выходе канала связи.
Оценка искажений импульсных сигналов в частотноограничен ном канале связи. Импульсные, в частности, импульсно-кодовые, сигналы имеют, как правило, элементы ограниченной длительности и в соответствии со спектральной теорией сигналов требуют для неискаженной передачи бесконечно широкой полосы пропускания,
С другой стороны в реальных системах обмена информацией полоса пропускания канала связи всегда ограничена, а память си стемы бесконечна, т. е. протяженность импульсной характеристики во времени неограничена.
Таким образом, передача импульсных сигналов в частотно ограниченных каналах связи сопряжена с неизбежными искажени
ями их формы. Соответственно регистрация импульсных сигналов на выходе частотноограниченного канала связи затрудняется как за счет уменьшения энергии (амплитуды) сигнала в момент при нятия решения, так и за счет перекрытия во времени импульсов, соответствующих разным элементам сигнала.
Пусть информация передается бинарным сигналом, который представляет собой последовательность импульсов единичной амп литуды, постоянной длительности то, а форма импульсов 'произволь на и задана функцией u(t), отличной от нуля только на интервале (О, Т), где Т — период следования импульсов. Амплитуда импуль сов с вероятностью р может принимать значение «1» и с вероятно стью q—1—р — значение «О».
Канал связи — линейная инерционная система, имеющая им
пульсную |
характеристику |
h(t) |
и |
частотную |
характеристику |
Г(ісо) = 7"(й)е |
1ф<“) |
причем |
модуль |
Т(й ) отличен |
от нуля только в |
пределах 0^ |
й ^ й с= |2я/7’. |
на выходе канала связи определяется |
Заметим, что сигнал v(t) |
как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v(t)= I' u{x)h(t — x)dx, |
|
|
|
|
|
(5.38) |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет спектральную плотность |
|
|
|
|
s„ (i «,) = S, to) e~ 1 |
= |
S„ to) T (Ш) Г |
11". M + » to] . |
(5 .3 9 , |
где S„(iw) =•Su(ffl)e_ 'ф"<C0, |
— спектральная плотность |
сигнала u(t) |
на входе канала. |
|
|
|
|
|
|
|
Для исследования вероятностных характеристик сигнала на вы |
ходе канала |
связи воспользуемся методом «парных эхо» і[ 109). Для |
этого представим модуль !Г(й) и аргумент гр(и) частотной характе
ристики канала рядами Фурье на интервале (—ис, йс): |
оо |
|
In Т (й) = b (й) = Ь0 + УІ bmcos — tri й, |
L J |
w c |
m — \ |
|
где |
|
bm -------Г |
b (й )cos —1— mtöd й, m = 0,1,2... |
(5.40) |
Wc |
~ |
J |
wc |
|
|
|
“ c |
|
|
и |
|
|
|
|
Ф (<o) — *3 (ca) |
Л |
|
cKsin ---- Кffl, |
|
где
. . к |
2 / 3 (i)c |
, 1 |
С |
, . . |
л |
, |
|
|
1) |
— 2— |
4------ 1 ф (со) sin ------- к |
а)da. |
|
(5.41) |
|
К Л |
С0с |
J |
|
Юс |
|
|
|
|
|
—СО- |
|
|
|
|
|
Соотношения (5.40), |
(5.41) |
позволяют |
рассматривать |
реальны/ |
канал как |
ряд |
последовательно |
включенных |
четырехполюсников. |
|
|
|
со |
|
|
со |
\ |
|
|
|
(^ b n C o s m a T — |
к=\ |
sin/с м 7j • |
(5.42) |
|
|
|
m = 1 |
|
|
j |
|
Первые два сомножителя в (5.42) определяют идеальный неиска-
жающий канал, сомножители вида e bm C 0 S m 'a T |
определяют |
ампли |
тудные, а сомножители вида e~'Ocsin кмГ |
фазовые искажения сиг |
нала. |
|
|
|
|
|
|
|
Каждый из сомножителей вида e bm c o s m a T |
можно представить в |
виде ряда |
|
|
|
|
|
|
е£>. cos т со Т |
h Фш) еі р m to Т |
|
|
|
|
(5.43) |
|
р= — 00 |
|
|
|
|
|
где |
ІР(х) ■— |
модифицированная |
функция |
Бесселя р-го порядка |
, СЛІ |
« |
—ic^sin К(йТ |
рядом |
|
12J, а каждый сомножитель вида е |
к |
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
е |
ІСк5іпК(°Т |
( - ' Y J m(cK)e ilKaT, |
|
|
(5-44) |
|
|
/=—оо |
|
|
|
|
|
где Ji(x) — функция Бесселя первого рода I-го порядка [112]. |
|
Тогда, подставляя (5.43) и (5.44) в (5.42), получим |
|
Т ( Ш ) = К Г \ |
2 /P(5m) e - ipmto7’ П |
V |
(—1)г Ji(cK)elKl<äT, |
(5.45) |
|
m= |
1 р= —оо |
к= 1 |
I——оо |
|
|
|
где К = ехр ф0— і со t3),
или после перегруппировки членов произведений и сумм в (5.45) для частотной характеристики частотноограниченного канала связи получим
Т (і (со) = К £ А г е і г а , т , |
(5.46) |
Г= — СО
аимпульсная характеристика этого же канала определится как
М 0 = |
£ |
A r ö ( t - t 3 - r T ) , |
|
(5.47) |
|
r = — со |
|
|
где feo= |0, |
|
|
|
Л = |
2 |
І П П (-1)! |
h (О - |
(5-48) |
|
р = —оо 1= —оо т = 1 к=1 |
|
|
Согласно (5.47) импульсная характеристика частотноограни ченного канала связи может быть представлена в виде ряда б-фун- Жций, умноженных на постоянные весовые коэффициенты и сме щенных на время г7 относительно момента t—ts.
В соответствии с этим реакция канала связи на воздействие п-го импульса &-й реализации случайной последовательности им пульсов состоит из основного импульса A0u(t), задержанного на время U и ряда «эхо-импульсов» той же формы, сдвинутых во вре мени относительно основного на ±гТ:
00 |
{п 4- г ) Т — t3 — V (к) |
^ A r lnk) |
(5.49) |
Г——00 |
г < А ) |
|
В соотношении (5.49) учтено, что за счет внешних помех импульс u(t) смещается на случайное время ѵ(пк) , а его длительность и ам
плитуда изменяются случайным образом и равны |
соответственно |
Іп и ьп ■ |
импульсов на |
В результате воздействия последовательности |
выходе канала связи (возникает импульсный |
случайный процесс, |
k-я реализация которого |
|
t — (п + г) Т — 13 — |
(5.50) |
(ft) |
тn + r |
|
П — — 00 Г==—00 |
|
т. е. случайная последовательность импульсов неограниченной дли тельности, или, другими словами, сигнал, в любом тактовом интер вале которого имеется кроме основного импульса совокупность эхо-импульсов от г, предшествующих и г, следующих за п-м им пульсов передаваемого сигнала %(t). Последующие импульсы про цесса £,(() участвуют в создании реакции канала только за счет запаздывания /я, вносимого каналом связи.
Вероятностные характеристики сигнала па выходе частотноог раниченного канала, таким образом, будут определяться функция ми распределения вероятностей совокупности случайных парамет ров всех импульсов процесса \(t), участвующих в создании реак ции канала в момент принятия решения о переданном элементе сигнала.
Полагая разнородные параметры импульсов независимыми, для математического ожидания процесса t,(t) на выходе канала запи шем:
mx{ l {k\ D ) = m K (f)=- |
J j j А г пн{ S#r}x |
|
|
п=—оо r=—00 |
|
|
(ft) |
X mi « |
t - t 3 - ( n + r ) T - v $ , |
T(*) |
(5.51) |
|
|
l n + r
Для корреляционной функции процесса tfi)
и м - £ |
Ё Ё |
Ё |
5!” i х |
П = —О0 |
1= — со Г= — |
0 0 <7 = — со |
|
t — t3 — (п + г) Т — v<fe> 1
X tn.\\и
Т ( А )
,(*) t — t3 — U + q)T — v)
(5.52)
(ft)
Энергетический спектр процесса £(Д). с учетом спектральной плотности одного ц-го импульса £-й реализации |((),
|
|
|
* |
І СО X t ( f t ) |
dx, |
|
|
|
|
|
|
|
(5.53) |
g(<ot<*>) = |
[и W e |
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определяется формулой |
N |
N |
N |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
i Ш(n—j) T |
|
|
F, (со) = |
Пт |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N-+«о ( 2 N + \ ) T |
|
|
r=—N q=—N |
|
|
|
|
|
|
|
|
п=-ЛГ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S i =Е—N |
|
S |
|
|
|
|
|
X e-,e,' - ,)rffll{ |
e |
g}&} m { x<£ |
|
Я(со t#,) g(со т}&) X |
|
|
|
i со ( |
vCft) |
— v(А)*i |
Л1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X e |
V n+r |
;/+<?/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.54) |
ß соотношении i(5.54) двойная сумма вида |
|
|
|
n——N/——ЛГ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i со ( |
vift) — v<*))) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.55) |
|
X e |
' |
ra |
/ 'j g— i co(n — i) ‘ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определяет спектральное распределение |
мощности |
случайной |
по* |
следовательности основных импульсов, а выражение |
|
|
|
N |
N N |
|
N |
A0t |
і со (n—j) T |
— i со (r—q) T X |
|
|
|
2 |
S |
I |
Р ' |
|
|
|
n=—N /= —JV r=—N q——N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тф, цфй |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— i со ( vC*) |
— v(ft) |
)) |
|
X m 1 |
{ En+r E/+?) trh i Xn+r X(j+gg (со xjQr) g (со т)+?) e |
" |
' 4 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.56) |
учитывает перераспределение мощности процесса \(t) на выходе канала за счет конечности полосы пропускания и искажений фор мы импульсов.
В частном случае отсутствия помех в канале связи соотношение (5.54) для оценки энергетического спектра F (со) процесса %(t) имеет вид:
N N N N
F i |
M |
= T2|g-(a)T0)|2lini V |
V V V A r A qX |
|
|
N-*<X>n-- ~N i = —N r = —N q.=—N |
|
|
|
(5.57) |
|
|
|
(5.58) |
и |
p(l, |
1) — вероятность |
одновременного появления (я + г)-го и |
(І + Я) -го импульсов, соответствующих символу «1».
Об оптимальной форме импульсных сигналов в частотно-ограниченных кана лах связи. Статистическая теория связи [125] определяет оптимальную форму импульсных сигналов в предположении воздействия гауссовой помехи, из усло вия минимума вероятности ошибок при регистрации этих сигналов. Известно [88], что в таком случае спектральная плотность импульса должна удовлетворять условию
I Su (i (ö)|2 = |Т (і со);2, |
(5.59) |
а форма импульсов, соответствующая (5.59), должна иметь |
вид зеркального |
отображения импульсной характеристики канала связи, т. е. |
|
u(t) = h ( t 3 — t). |
(5.60) |
Однако, поскольку импульсная характеристика частотно-ограниченного ка нала связи имеет неограниченную протяженность во времени, импульсы вида (5.60) физически нереализуемы. При передаче по реальным каналам последо вательностей импульсов любой формы, но ограниченной длительности, будут возникать ошибки регистрации и декодирования, обусловленные как внешней помехой, так и неортогональностью сигналов, т. е. так называемыми межсимвольньими искажениями [109, 124].
Следовательно, в частотно-ограниченных каналах связи условия (5.59) ока зываются даже теоретически недостаточными для достижения минимальной вероятности ошибок регистрации и декодирования импульсных сигналов. Ха рактеристики обнаружения и регистрации сигналов можно улучшить, выбирая
форму импульсов, удовлетворяющую не только |
условию |
(5.60), но и миними |
зирующую межсимвольные искажения сигналов |
в частотно-ограниченном кана |
ле связи. |
104]. В |
[88, 109] межсимволь |
Подобная задача рассмотрена в [32, 88, 109, |
ные искажения бинарного сигнала минимизируются исключением последователь ностей импульсов и пауз с большим уровнем искажений, т. е. ограничением допустимых комбинаций элементов сигнала в импульсно-кодовом сигнале.
В [32, 124] определена форма импульса, энергия которого максимально сос редоточена во времени и по частоте. При этом функция, описывающая форму импульса, находится как решение краевой задачи Штурма—Лиувилля [32] или интегрального уравнения Фредгольма.
В [124], при более общей постановке задачи, с учетом не только сосредо точенности энергии, но и уровня межсимвольных искажений получено рекур рентное уравнение для спектральной плотности импульса:
П
т
S<,1)(CÜ)= |
f |
(5.61) |
|
_я |
|
при которой |
т |
межісиімволь'ные искажения. |
отсутствуют |
Следует отметить, что форма импульсов, определенная ,в перечисленных работах, квазиоптимальна, так как она не обеспечивает минимума вероятности ошибок регистрации этих сигналов.
Оптимальную форму импульсных сигналов на выходе частотно-ограничен ного канала связи следует определять с учетом статистических характеристик их искажений. При этом, учитывая тенденцию к нормализации закона распреде ления вероятностей случайного процесса на выходе линейной системы (см. па раграф 3.4), без большой погрешности можно принять распределение 'вероят ностей мгновенных значений совокупности эхо-импульсов на выходе канал* связи гауссовым. Тогда, полагая для простоты, что случайные значения ампли
туды разных импульсов на входе |
канала |
независимы, для дисперсии |
процесс* |
на выходе канала связи можно из [(5.56) получить |
|
00 |
00 |
|
|
|
Aü+ |
ArAQ |
ГФ 0 |
q ф О |
(5.62) |
г—— со q~ — оо
где слагаемое A^a^=A'lpq определяет дисперсию амплитуды импульса, а сумма
°1= YJ X АгАЧ’ г ф 0 ’ Чф 0 ' |
(5-63) |
г—— оо q= — оо |
|
дисперсию эхо-импульсов, т. е. дисперсию межсимвольных искажений. Имея вви ду, что в каяедом тактовом интервале с вероятностью единица имеется импульс с амплитудой «1» или «О», для отношения сигнал-шум в регистрирующем уст ройстве корреляционного типа получим
А \
Q = ----------------------— |
------------- , |
(5.64) |
со |
оо |
|
°п +ря |
Yi |
X ArAq |
|
|
|
|
r = — оо q—— оо |
|
|
где Q — отношение мощности полезного сигнала основного импульса к мощности |
помех |
на входе |
решающего устройства, а |
— дисперсия (спектральная плот |
ность) |
внешней помехи типа белого шума на входе канала. |
Оптимальная форма импульсного сигнала, таким образом, может быть опре |
делена |
из |
условия |
максимума отношения |
,('5.64). Набор коэффициентов |
•4г<г=0, |
±і'1, |
± 2 |
...... который максимизирует |
Q, |
соответствует форме импульсов |
согласованной с временными характеристиками данного канала связи.
Кратко рассмотренная здесь задача определения оптимальной формы им пульсных сигналов в частотно-ограниченных каналах связи требует, безуслов но, более детального дополнительного исследования и решение ее, по-видимому, выходит за рамки настоящей книги.
Г л а в а 6
Импульсные случайные процессы
всинхронных аналоговых системах
6.1.ИМПУЛЬСНЫЕ МЕТОДЫ ПЕРЕДАЧИ
н е п р е р ы в н ы х с и г н а л о в
Непрерывные сигналы и их моделирование случайными процес сами. В практике электросвязи все более широко применяются им пульсные методы передачи не только дискретных, но и непрерыв ных сообщений. Физическая природа непрерывных сообщений весь ма разнообразна. Это могут быть, например, результаты непрерыв ного контроля состояния различных объектов (технических, биоло гических и др.) или среды (атмосферы, космического пространства и т. п.). Типичными примерами непрерывных сообщений являются речь, музыка, некоторые технологические процессы.
Особенность любого источника непрерывных сообщений состо ит в том, что он характеризуется несчетным множеством состояний, случайно изменяющихся с течением времени. При этом реальные сообщения непрерывных источников представляют собой процесс изменения состояния источника. Свойства реального источника не прерывных сообщений отображаются математической моделью, которая наиболее полно соответствует реальному процессу измене ний состояний источника. Такими математическими моделями яв ляются различные виды непрерывных случайных процессов, кото рые в зависимости от требуемой полноты описания реальных сиг налов могут быть охарактеризованы функциями распределения ве роятностей мгновенных значений различных порядков, характерис тическими и моментными функциями и т. п.
Исследования вероятностных характеристик реальных непре рывных сигналов и разработка их математических моделей описа ны в і[І5, 16, 78, 83, 102, 106]. Исследования показали, что боль шинство непрерывных сигналов являются нестационарными про цессами, а распределения вероятностей их мгновенных значений от личаются от нормального. С другой стороны, при импульсных ме
тодах передачи непрерывных сигналов моделями реальных сигна лов в различных частях системы связи служат импульсные случай ные процессы, характеристики которых определенным образом свя заны с характеристиками исходных непрерывных сигналов. С этой точки зрения при исследовании импульсных систем передачи не прерывных сигналов представляют интерес два направления: вопервых, определение вероятностных характеристик импульсных случайных процессов при различных моделях реальных передавае мых сигналов и, во-вторых, выявление взаимосвязи вероятностных характеристик непрерывных и импульсных сигналов в зависимости от способа формирования последних при передаче информации импульсными методами.
В дальнейшем основное внимание уделяется второму направле нию. При этом для анализа в качестве модели передаваемого не прерывного сигнала принимается непрерывный стационарный слу чайный процесс, который достаточно полно характеризуется дву мерной функцией распределения вероятностей.
Дискретизация и квантование. Передача непрерывных сигналов импульсными методами принципиально связана с необходимостью дискретизации передаваемых сигналов во времени. Процесс дис кретизации состоит в том, что осуществляется переход от исход ного сигнала, являющегося функцией времени t (непрерывного ар гумента) к функции дискретного аргумента (фиксированных мо ментов времени іп). Эквивалентность такого преобразования, в частности, для детермированного сигнала определяется известной теоремой Котельникова [49, 25, 53]; из которой следует, что для точного представления любого детермированного сигнала длитель ностью Т, наивысшая частота спектра которого шв, достаточно иметь 2>шп7'+1 отсчетов, взятых в равноотстающие моменты вре мени.
Теорема Котельникова применима и для несущих информацию случайных сигналов, спектр которых неограничен. В этом случае теорема Котельникова в ее обобщенном понимании [25, 53, 89] определяет условия, которые должны быть соблюдены для доста точно точного вопроизведения непрерывных сообщений импульсны ми методами.
Непрерывные ківазястащиоінарные сигналы іс неограниченным спектром можно передавать при помощи чисел, следующих друг за другом через промежуток А^ секунд, с верностью, сколь-угодно близкой к предельной, если промежуток At не превосходит интерва ла корреляции хк, а длительность сигналов Т много больше интер вала корреляции Тк Под интервалом корреляции тк при этом при нято понимать интервал изменений аргумента корреляционной функции R(x), за пределами которого ее значения можно считать
практически равными нулю. Интервал корреляции
оо
