книги из ГПНТБ / Коновалов Г.В. Импульсные случайные процессы в электросвязи
.pdfГ л а в а 1
Импульсные случайные процессы
1.1. СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ И ИМПУЛЬСНЫЙ ПРОЦЕСС
Моделями 'разнообразных физических явлений в радиотехнике, электросвязи и во многих других областях служат ищтульсные случайные процессы.
Случайный процесс представляет собой произвольную случай
ную |
функцию времени t. |
Эта |
'Случайная |
функция |
§(/) |
опреде |
|||||||
ляется множеством ее реализаций |
где k |
— действительный |
|||||||||||
параметр. |
|
|
|
|
|
|
|
|
может при |
||||
В общем случае аргумент t случайной функции |(Ц |
|||||||||||||
нимать как |
непрерывные, |
так |
и дискретные значения. Если |
же |
|||||||||
|
|
|
|
|
аргумент |
|(Ц |
|
принимает |
|||||
а) |
$(к)Ш |
|
|
|
только |
дискретные значе |
|||||||
|
|
|
ния, т. е., если он опреде |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
лен на конечном или счет- |
||||||||
|
|
|
|
|
ном дискретном |
множест |
|||||||
|
|
|
|
|
ве, |
то |
такую |
случайную |
|||||
|
|
|
|
|
фукцию |
называют |
слу |
||||||
|
f |
t f i f i f ф t f |
ф t f |
t;B V*' t |
чайной |
последовательно |
|||||||
6) |
|
|
|
|
стью. При этом, если зна |
||||||||
|
|
|
|
чения |
последовательно |
||||||||
|
|
|
|
|
сти Щ ) при дискретных |
||||||||
|
|
|
|
|
значениях |
|
ее |
|
аргумента |
||||
|
|
|
|
|
являются элементами |
не |
|||||||
|
|
|
|
|
прерывного |
|
множества, |
||||||
|
|
|
|
|
то имеет место |
непрерыв |
|||||||
|
|
|
|
|
ная |
случайная |
последо |
||||||
|
|
|
|
|
вательность, |
|
а |
если |
-|!(Ц |
||||
Рис. 1.1. Реализация случайной последова |
может |
принимать |
только |
||||||||||
тельности: |
|
|
|
дискретные |
значения, то |
||||||||
а) |
непрерывной; б) дискретной |
|
такая последовательность |
10
называется дискретной. Характер реализаций непрерывной и дискретной случайных последовательностей иллюстрируется на рис. 1.1а, б.
Очевидно, что реализации этих случайных последовательностей можно рассматривать как последовательности бесконечно узких импульсов, характеризуемых двумя параметрами: временным по
ложением и амплитудой. В любой &-й реализации случайной по следовательности временное положение импульсов соответствует дискретным значениям аргумента, а амплитуда — самим значе ниям функции £(й)(/).
Рассмотренные случайные последовательности далеко не исчерпыівают обширный класс процессов, которые .представляют со бой последовательности импульсов со случайно изменяющимися параметрами и которые принято называть импульсными случай ными процессами. Однако, прежде, чем точно определить, что бу дем понимать под импульсным случайным процессом, приведем еще ряд примеров.
Рассмотрим совокупность реализаций, состоящих из импульсов конечной длительности, каждый из которых характеризуется не только положением во времени и амплитудой, но также и некоторой функ цией, заданной на отрезке времени, равном длитель ности импульса, и описы вающей его форму. Воз можные реализации про цессов такого типа пока заны на рис. 1.2.
Существует, вообще говоря, бесконечное мно жество процессов, реали зации которых можно представить как последо вательности импульсов конечной длительности, сколь бы сложными фун кциями не описывалась их форма. Разумными ограничениями, которые, по-видимому, следует на ложить на функции, опи сывающие форму импуль сов, являются условия Дирихле {112]. Примени
тельно к импульсным процессам, используемым в качестве моде лей реальных процессов систем электросвязи 'введение этих огра ничений совершенно не умаляет общности, так как форма импуль
11
сов реальных процессов практическій всегда удовлетворяет усло виям Дирихле. Б то же время введение этих ограничений сущест венно упрощает разработку общей спектральной теории импульс
ных процессов.
Конечность длительности импульсов реализаций вовсе не яв
ляется необходимым условием того, чтобы случайный процесс можно было считать импульсным. Совокупности реализаций слу чайных последовательностей импульсов бесконечной длительности
также обычно относят к импульсным случайным процессам, хотя при бесконечной длительности импульсов реализации таких про цессов чаще всего представляют собой непрерывные функции вре мени, как это видно, в частности, из рис. 1.3. Уместны ограниче-
Рис. 1.3. Реализация случайной последовательности импульсов неограниченной длительности:
а) различной формы; б) одинаковой формы
ния функций, описывающих форму импульсов бесконечной дли тельности, заключающиеся в том, что условия Дирихле выпол няются на любом конечном интервале, и эти функции абсолютно интегрируемы в бесконечных пределах. Известно [112], что прч этих условиях функции, описывающие форму импульсов можно представить их интегралами Фурье. Эти ограничения в случае реальных импульсных процессов легко выполнимы и в то же время существенно упрощают спектральный анализ процессов.
Любой из рассмотренных выше случайных процессов импульс ного характера можно записать в виде
5(0= 2 |
(1Л ) |
п^=—оо
12
Пде £,n(it—tn) — случайная функция, характеризующая п-й импульс процесса.
Для случайной последовательности бесконечно узких импульсов
|
|
= |
( 1. 2) |
где |
In |
и tn — соответственно случайные величины, характеризую- |
|
шие |
случайные амплитуду |
и временное положение импульсов, а |
|
б ( t —t n ) — дельта-функция. |
Такая случайная последовательность |
||
записывается в виде |
|
||
6 ( 0 = |
2 i n b { t - t n). |
(1.3) |
П = — 00
При детерминированности одного из параметров соотношение (1.3) описывает последовательность бесконечно узких импульсов со случайной амплитудой (при детерминированности значений tn) либо со случайным временным положением (при детерминирован
ности %п). Если же детерминированы оба указанных значения, то имеем детерминированную последовательность бесконечно узких импульсов.
В случае последовательности импульсов конечной длительности (причем сама длительность может быть случайной величиной) для любой к -й реализации справедливо:
s“'M= 2 |
t — tп(ft) |
(1.4) |
X(ft) |
||
П~ — со |
п |
|
't- ф |
■функция, |
описывающая форму «-го импульса |
где ип |
Лк )
вk-и реализации; хп — длительность «-го импульса.
Интервал, на котором определяется функция ип t tn зави
сит от того, как выбираются моменты времени tn. Если tn харак
теризует момент возникновения (Начало) «-то импульса, то
ц _'tп\
определена в интервале (0,1), а при отождествлении
tn с серединой длительности импульса функция ип |
задана |
в интервале (—1/2, 1/2).
Для случайной последовательности импульсов, длительность которых бесконечна, а форма различна, k-ю реализацию можно представить в виде
б < > = 2 й п ( і - П = V іі ‘>«<*'(<- О . |
(1.5) |
где t,(nk)(t—1 ^ ) — k-я реализация «-го импульса последователь ности.
П
Моменты времени tn, характеризующие временные положения импульсов, чаще всего отождествляют с моментами их возникно вения. Однако это не всегда возможно, так как в некоторых слу чаях имеет смысл рассматривать процессы, представляющие со бой последовательности импульсов, начала которых соответствуют —со. В этих случаях за tn можно принимать моменты времени, соответствующие каким-либо характерным точкам импульсов (ам плитуде, среднему значению функции, описывающей импульс, и т. и.).
Естественным практически важным обобщением рассмотренных процессов являются случайные последовательности групп импуль сов. В таких процессах случайными могут быть как параметры импульсов групп и их форма, так и количество импульсов в каж дой труппе.
Случайная последовательность групп импульсов определяется
соотношением |
|
|
6 (0 = і I Ъ пЛ *-*п,). |
|
0-6) |
п= —со г= 1 |
|
|
где t,n, r(t— tn, г) — случайная |
функция, описывающая г-й импульс |
|
п-й группы, а in, г — в общем |
случае случайная величина, |
харак |
теризующая временное положение этого импульса; %п — в |
общем |
случае случайная величина—количество импульсов в любой п-й группе.
Соответственно k-я реализация этого процесса |
|
|
||||
|
%(Ь) |
|
%(Ь) |
|
|
|
e \ t ) = |
2 2 |
= £ |
£ 6 |
$ о * - * # ) ’ |
о -7) |
|
|
П=—ООГ= 1 |
п = — 0 0 |
Л_ | |
|
|
|
где |
(t— |
— реализация t,n, r ( t ~ t n) |
в k-й |
реализации |
слу |
|
чайной |
последовательности групп импульсов; |
t{nk)r — значения |
амплитуды и временного положения r-го импульса п-й группы k-ü реализации; х{пк) — количество импульсов в п-й труппе k-й реали
зации;
к;;p-о
Пример реализации случайной последовательности групп им пульсов приведен на рис. 1.4.
Рис. і1.4. Реализация случайной 'последовательности трупп импульсов
14
Дальнейшим обобщением являются случайные последователь
ности комплексов групп импульсов. При этом в наиболее общем случае можно считать случайными все параметры импульсов групп,
а также количество импульсов в группе и число групп в комплек сах. Общее соотношение для случайного процесса, представляю щего собой случайную последовательность комплексов пру,пн им пульсов, имеет вид
( 1.8)
г=і 1
где t,n,i,r('t—tn,i,r) — случайная функция, описывающая r-й им пульс 1-й группы я-го комплекса; tn,i,r—случайная величина, ха рактеризующая временное положение r-то импульса, 1-й группы я-го комплекса; % и Т — случайные величины количества импуль сов в группе и числа групп в комплексе соответственно.
Для k -й реализации случайной последовательности комплексов групп импульсов можно записать
|
|
|
(1.9) |
|
п= |
— 00 1= 1 т— 1 |
|
где |
0~~*пк},г ) — реализация l n,i,r(t—tn,i,r) в k-й реализации |
||
случайной |
последовательности комплексов групп |
импульсов; |
|
г и |
^п \ г — амплитуда и временное положение |
г-,го импуль |
|
са 1-й группы я-го комплекса в k-й реализации; Т пк)( |
и %\k) — соот |
ветственно количество групп в я-м комплексе и количество им пульсов в 1-й группе k-й реализации;
Приведенные примеры позволяют дать следующее определение импульсного случайного процесса: Импульсным случайным процес сом называется процесс, представляющий собой последователь ность импульсов или групп импульсов (также комплексов групп, а возможно и более сложных формирований импульсов), парамет ры которых являются случайными величинами, а функции, описы вающие в общем случае различную форму импульсов последова тельности, удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости.
В данном определении из принятых ранее ограничений на функции, описывающие форму импульсов, оставлено только усло вие их абсолютной интегрируемости, поскольку в общем случае только это условие является необходимым, чтобы процесс можно 'было считать импульсным.
15
Однако в ряде случаев целесообразно, чтобы функции, описы вающие форму импульсов, удовлетворяли еще некоторым усло виям, не являющимся, вообще говоря, необходимыми. В частно сти, далее везде будем считать, что функции, описывающие форму импульсов в импульсных случайных процессах, наряду с условием
абсолютной интегрируемости, удовлетворяют еще и условиям Ди рихле на любом конечном интервале времени.
■Как и всякий случайный процесс, импульсный случайный про цесс можно характеризовать многомерными, в общем случае за висимыми от времени функциями распределения, характеристи ческими и моментными функциями.
Часто изменения импульсов можно свести к случайным изме нениям их параметров, тогда случайный процесс можно также до вольно полно описать вероятностными характеристиками парамет ров импульсов. Это обстоятельство весьма важно, так как описа ние импульсных случайных процессов при помощи общих харак теристик оказывается часто менее удобным, чем описание этих процессов посредством (вероятностных характеристик их пара метров.
Для п-імеріных плотности вероятности, интегральной функции распределения и характеристической функции какого-либо пара метра введем обозначения: wnn (хь х2, ..., xn), Fnn (хь х2, . •., хп),
Ѳ„п(CÜ1, 0)2, • •., со«) ■Эти функции |
связаны |
между собой |
известны |
|||||||||||||||
ми [53] соотношениями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а 'п п (* Ь * 2 , • • • ,* „ ) = |
d n f n n ( Xl ' |
|
*2. ■ • |
•> |
Хп) |
|
|
|
( 1. 10) |
|||||||||
|
дхгдха |
■ ■ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
F„n(Xi, х2, |
■ ■ ., |
х„) = |
ХІ |
|
xt |
|
|
х~ |
|
|
х2, ■ • |
xn)dx1dxi |
• • - dxn |
|||||
f |
|
Г . . . |
|
Г |
щ ) п |
П ( |
* 1 , |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
— Jсо —Joo — Joo |
|
|
|
|
|
|
( 1. 11) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
oo |
oo |
|
oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ѳпп(Ш1’ |
“ 2, |
• |
• •, |
<0„) = |
j |
j . . . j |
Wm (Xi, X2, • • |
X„)X |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
n xn ) dXldxa • • |
-dxn |
|
|
|
|
(1.12) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
09 |
|
00 |
O |
|
|
|
|
|
|
|
wnn (Xl>X2. • |
• |
-,Xn)= |
|
|
J |
|
J...J |
Ѳ„п (й)і, (02, |
• • •, CO„)X |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
— oo — oo — oo |
|
|
|
|
|
|
|||||
X е - і(ШЛ+“’*’+ " + аП** > daidub |
■ • .dw„ |
|
|
( 1.13) |
||||||||||||||
В ряде случаев могут представить интерес условные функции |
||||||||||||||||||
Xs' |
' |
' |
’ » Xs/Xs± |
р ' |
’ |
•> |
x n)t |
F s n (Xi, |
X 2 |
• • |
•, |
|
||||||
Xs/X$ j- р |
• |
• |
•, |
X n), |
6 s n |
( ( 0 i , |
(0 2, |
• |
|
• •, |
(Os /X s ^ j, |
• |
• |
X „ ) , |
|
связанные соотношениями, аналогичными ,(1.10) — (1.13). Значительный интерес представляют также числовые характе
16
ристики распределения вѳроятіностей случайного параметра: смешаінный начальный момент к-го порядка
ГПаи а,.......ап { П и |
Я 2, |
■ ■ •, П п) = |
М |
[ П ^ П % ‘ ■ ■ ■ГІ“п } |
= |
|
||||||||||
|
оо |
со |
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxn, |
= |
J |
_ [ • • • / |
Х11Х%2 ■ ■ ■xnnWnn(Xl’ х^> ■ ■ ■, xn)dxlt dx2, ■ |
|||||||||||||
|
— со |
— оо |
— Оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.14) |
|
условный смешанный начальный момент к-го порядка |
|
|||||||||||||||
|
|
(Я д, |
Я 2, |
■ |
•, П В/ П &,^ |
X . |
Я я |
|
x n) |
|
||||||
|
|
= |
M{ЩЩ* |
■ • |
flp /n .s+ 1 |
* s + l> |
' |
I П n |
x n } |
|
||||||
|
|
|
со |
oo |
oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
---/ f-J |
Хі'Х2г ■ ■ Xss Wsn(Xl’ X*’ |
■ ■ '> XJ XS+V |
|
|||||||||||
|
|
|
0 0 |
—CO —oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
• |
. -,xn)dx1dx2 |
■ ■ ,dxs |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.15) |
||||
и соответствующие им центральные моменты |
|
|
|
|
||||||||||||
М а „ а ,.......ап { П 1, П 2, |
■ ■ •, Я „ ) |
= |
М { [ Я х — |
Ші (Я і) ]а* [ П 2— Ш і(Я 2)]а« |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
оо |
со |
оо |
|
|
|
|
|
|
||
... [Пя- т1{Пп) ] п} |
= |
J |
J ... |
f |
[Х1- т |
1(Яа) ]а‘ [X ,- ті{П2)]а‘ • . • |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
— оо |
— |
оо |
— |
оо |
|
|
|
|
|
|
• |
• ■[*„ — т і ( Я „ ) ] а« ш пП (х і, |
х 2, |
• |
• - , x n) d x i d x 2 |
■ |
■ ■dx„; |
(1 .1 6 ) |
|||||||||
|
,... ,as(Яі, Я2 |
' ‘ *>Я5/Я5_ |
|
|
|
|
|
= xn) |
|
|||||||
= |
и { [Пі— ті(Я і)]а‘ [Я2 — ту (П2)]а* . . .[n s — mi {ns) f s /Пі+і = |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
со |
со |
|
оо |
|
|
|
|
|
|
= |
X |
|
. , Г І „ = Х п } = |
j |
j*- • ■J |
[Xi— |
т х(Я і) ]аі [x 2 — ті{П2)]а,Х |
|||||||||
|
s+ 1’ |
|
|
|
|
-oo |
— со |
— oo |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
. . . X[xs — mi (Пs)]“s wsn{xx, x2, |
■ • |
-,xs/xs+1,. |
■ -,xn)dxidx2- |
■ ■dxs. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( U7 ) |
|
В |
ф-лах |
(1.14)—<(1.17) |
Я ь |
Я2, ..., |
Я8, ..., |
|
Пп — случайные ве |
личины, характеризующие изменения какого-либо параметра им
пульсов |
последовательности; |
т\(П\), |
т.\(Я2), |
.... т\{П$), ..., |
|||
пі\(Пп) — средние |
значения |
(начальные |
моменты |
первого |
поряд |
||
ка) этих величин, |
а значения |
а\, а2, |
..., |
as удовлетворяют |
соотно- |
||
S |
|
|
|
|
|
|
|
шению V |
и,-= к, |
причем l ^ s ^ n , |
м — символ |
'математического |
г=і
ожидания.
Случайные последовательности групп импульсов также можно описать функциями и числовыми характеристиками распределе ний вероятностей случайных параметров импульсов.
Пусть случайная последовательность групп импульсов со слу
чайными амплитудой, длительностью, временнымГ'по.ВДЖЬ)Щ!М, 'йч#ая
иаучно-тѳхнач&а.чая библиотека èCCt*
ЭКЗЕМПЛЯР ЧИТАЛЬНОГО ЗАЛА
со случайным, в общем случае, числом импульсов в группах за дана в виде
1 ( 0 = |
£ |
£ |
і , , “. , |
(1.18) |
п = — 0 0 Л= 1 |
|
|
||
где сп, г; Тп, г; г„, г—случайные параметры |
г-го импульса п-и груп |
|||
пы; ип г ( - — |
— функция, описывающая |
форму г-х импульсов |
||
групп; |
\ |
ТП Г |
/ |
|
%т>— дискретная случайная величина, характеризующая |
число импульсов в п-й группе.
Такая последовательность может быть описана совокупностью вероятностных характеристик параметров шяпульсоз групп, и ве роятностными характеристиками случайной величины ХпОбозна чим функции распределения и другие статистические характеристи ки какого-либо параметра г-х импульсов групп, аналогично приве денным выше, заменив в них только индексы пП на пП, г.
Наиболее употребительны одномерные и двумерные характе ристики параметров. Приведем основные соотношения для некото рых из них. Одномерная и двумерая интегральные функции рас
пределения определяются соотношениями: |
|
|
Рт^ ) |
= Р{П г< х\, |
(1.19) |
F2п,Д*ь |
*і) = Р { п і,г < хи Я2 r < *2 } . |
(1.20) |
'В результате дифференцирования Л п,г(*) |
и F 2n ,r (хи х2), при |
условии существования производных от этих функций, можно по лупить соответственно одномерную и двумерную плотности ве роятности:
|
dFin,1 П г(•*) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
wІПг (*)=■ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
( 1.21) |
||
W2П,ЛХ*’ |
Хъ) — |
,г(х1< хі) |
|
|
|
|
( 1.22) |
||||
дх^дхъ |
|
|
|
|
|||||||
Плотности вероятности можно определить также, исходя из |
|||||||||||
следующих равенств: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
“’in.rW |
= |
Р {х < п г < |
X + dx} ; |
|
|
|
(1.23) |
||||
ш2п.»-(*ь *2 ) = Я |
{ * і < Я , X i -f r f j f i , |
х 2 < П |
2'Г < x 2+dx2} . |
(1.24) |
|||||||
При |
известной |
п-мерной |
плотности |
вероятности функции |
|||||||
ш2п.г('ѵь *2) |
и ш,п г (х) можно найти |
при помощи соотношений: |
|||||||||
|
|
|
со |
00 |
со |
|
|
|
|
|
|
XSÜ, п, г(хи Хг) |
J |
J - . J |
Wnx\,r (-’•ь хи ' |
' ’> xn)dx3d,Xi |
■ ■ ■dxn\ |
(1.25) |
|||||
|
|
|
— CO |
— CG |
— |
СО |
|
|
|
|
|
|
|
со |
СО |
со |
|
|
|
|
|
|
|
W,ПіГ(*і)= |
j |
J . . . J |
О'пп.Д**- |
X»’ ■ ■ •> xn)dx^x з • • |
■dxn. |
(1.26) |
18
Одномерная и двумерная характеристические функции опреде ляются так:
Ѳш,г(®)= J wm r {x)eia,xdx\ |
(1.27) |
|
—со |
со |
|
со |
|
|
Ѳ2п,Дт і’ ®а) = J |
J W2 u,r(Xl>хг) eU“‘*1+“!*i) dXxdXi. |
(1.28) |
—со |
—оо |
|
Интегральная |
функция распределения, плотность |
вероятности |
и, характеристическая функция связаны ів соответствии е ф-лами
(1.11) — (1.13) |
соотношениями: |
|
|||
р т .Л х)= |
jX |
|
|
|
(1.29) |
|
—оо |
|
|
|
|
|
|
|
Xi |
Xt |
|
Я2П,(*Ь |
xi) = |
|
j |
j wm r{xx, x2)dx1dx2\ |
(1.30) |
|
|
|
—oo —oo |
|
|
|
|
oo |
|
(1.31) |
|
w m.r (x) = ^ |
j |
ѳш.г (®)e~‘ |
|||
|
—00 |
|
|
||
|
|
|
OO 00 |
|
|
Ш 2 П ,Г (*i> *2)= |
~ |
j* |
J Ѳ2п,г(®ь ®2)e_1(t0,J:i+<02A:,) d(Oidco2. |
(1.32) |
|
|
|
|
—oo |
—oo |
|
Среднее значение и дисперсия (^первый начальный и второй центральный моменты распределения вероятностей) случайного параметра согласно ф-лам (1.14) и (1.16) определяются соотно шениями:
00
Ші(Пг) = м{Пг} = j xwm r {x)dx\ (1.33) —оо
М2(Яг) = м{[Яг - т 1(Яг)]2} = ? [x — mi{nr) f w m r{x)dx. |
(1.34) |
Смешанные начальный и центральный моменты второго поряд ка какого-либо параметра г-х импульсов я-й и /-й групп также легко определить согласно ф-лам (1.14) и (1.16):
ти Л ПпУ> Пи ) = ы { П ПгГ я . г} =
оо |
со |
|
=J |
j Хі х 2 м 2П' Г (х ъ Хъ, я , j ) d x x d x 2\ |
( 1 . 3 5 ) |
— оо |
— оо |
|
19