книги из ГПНТБ / Коновалов Г.В. Импульсные случайные процессы в электросвязи

Рассмотренный пример применения оператора скользящего сглаживания по­ казывает, что длительность интервала сглаживания (параметры системы реали­ зующей оператор) существенно влияет на эффективность сглаживания.

С другой стороны, эффективность сглаживания, а значит и параметры си­ стемы зависят от вероятностных характеристик (в частности, от вида времен­

сглаживания воздействует на нестационарный случайный процесс, математичес­ кое ожидание которого изменяется во времени по закону, отличному от линей­ ного, максимальное значение интервала сглаживания ограничивается отрезком времени, на котором возможна линейная аппроксимация закона изменения ма­

время корреляции сглаживаемого процесса.

Оператор скользящего сглаживания, как уже выше отмечалось, сравнитель­ но просто реализуется линейными системами с сосредоточенными параметрами. Для достижения более высокой эффективности сглаживания применяют услож­ ненные операторы (см. [79]).

Сглаживание флуктуаций временного положения импульсов. Задача сгла­

живания случайных флуктуаций временного положения импульсов довольно часто встречается в приложениях теории импульсных случайных процессов. К ней, например, сводятся задачи измерения дальности в радиолокационной тех­ нике или задача синхронизации импульсных последовательностей в системах электросвязи.

В общем случае задача сглаживания флуктуаций временного положения импульсов состоит в том, чтобы, воздействуя па импульсный случайный процесс оператором сглаживания, получить в результате последовательность импульсов, период -следования которых соответствовал бы средне,му значению интервала времени между моментами возникновения последовательных импульсов исход­ ного процесса.

Отметим, что подобный подход к задаче сглаживания флуктуаций времен­ ного положения импульсов основывается на взаимосвязи случайной длительности интервалов между последовательными импульсами + n — t n—t n - i и остальными параметрами имп-ульсав —моментами возникновения, длительностью, амплиту­ дой. Это означает, что практически сглаженную последовательность импульсов можно сформировать, определяя среднюю длительность интервалов между по-

140

следовательным« импульсами по выборке из произвольной реализации сгла­ живаемого импульсного случайного процесса £(^). Усредняющие устройства мо­ гут ібыть дискретными (как правило, нелинейными), или аналоговыми (напри­ мер, линейная узкополосная система).

В этом параграфе рассмотрены качественные показатели аналогового ус­ редняющего устройства. Оценка временного положения импульсов в этом слу­ чае формируется так: исследуемый импульсный случайный процесс подается на вход узкополосного фильтра с частотой свободных колебаний сор. Выходной сигнал узкополосной линейной системы в таком случае представляет собой гео­ метрическую сумму откликов фильтра на воздействие отдельных импульсов, т. е, синусоидальное колебание со случайными амплитудой и фазой. Причем стати­ стические характеристики амплитуды и фазы выходного сигнала определяются статистикой случайных параметров импульсов.

Если за истинное значение временного положения импульсов принять мо­ менты прохождения выходного сигнала фильтра через нуль, то в случае совпа­ дения средней частоты следования импульсов соо = 2п/Т с частотой свободных колебаний фильтра сор, получим несмещенную оценку временного положения импульсов относительно момента включения фильтра (т. е. момента возникнове­ ния нулевого импульса), причем эффективность такой оценки определяется ши­ риной полосы пропускания фильтра: чем уже полоса пропускания, гем больше длительность выборки из импульсного случайного процесса, участвующей в фор­ мировании оценки, а следовательно, меньше ее дисперсия [79].

Если частота свободных колебаний фильтра -не равна соо, оценка временного положения импульсов оказывается смещенной на величину расстройки Да>р=

-= (Ор—(ОО-

Применение рассматриваемого способа формирования оценки целесообразно, если интервал следования импульсов не меняется во времени (или меняется незначительно), а флуктуации временного положения импульсов ограничены ин­ тервалом (—7/2, 7/2), т. е. для сглаживания импульсных случайных процессов с детерминированным тактовым интервалом.

Узкополосные избирательные системы часто реализуют операторы сглажи­ вания. Причем в силу значительной инерционности узкополосных систем может быть получена высокая эффективность сглаживания.

Учитывая, ято практически амплитуда и фаза процесса на выходе узкопо­ лосной системы — медленно меняющиеся функции времени, и, используя прин­ цип суперпозиции, приемлемый для линейных систем, представим квадратурные составляющие процесса %(t) в виде суммы детерминированной (регуляркой) и случайной компоиент. Тогда огибающая и фаза процесса на выходе фильтра оп­ ределяются формулами:

нусной и синусной составляющих реакций фильтра соответственно, а математи­ ческие ожидания квадратурных составляющих m lc(t) и m u (t) определяются ф-лам.и (3.49) и (3.50) или (3.49а) и (3.50а).

В дальнейшем будем рассматривать вероятностные характеристики, в част­ ности математическое ожидание и дисперсию случайной фазы процесса £(f). При этом нелинейную зависимость случайной фазы от квадратурных составляющих заменим приближенной линейной. Погрешность, возникающая за счет линеари­ зации, как показано в [38], не -превышает 3—5% и поэтому может не учитывать­ ся при количественной оценке эффективности сглаживания случайных флуктуа­ ций временного положения импульсов узкополосной избирательной системой.

141

Тогда согласно методике статистической линеаризации (76] математическое ожидание случайной фазы

m 2ls (t) De (t) + т\с (t) D s (t) — 2m lc (t) m ls (t) M 2CS V)

рых в общем случае рассматривалась в параграфе 3.3. Путем несложных преоб­ разований соотношения для определения указанных величин можно представить в виде

142

выходного сигнала узкополосного линейного фильтра (а соответственно и дис­ персия флуктуаций временного положения импульсов, формируемых из этоге сигнала) зависит от времени [см. і(3.131)], статистических характеристик и формы импульсов, воздействующих на фильтр процесса, а также от параметров самого фильтра.

Учитывая допущения, которые были приняты при выводе формул для m lc(t), rrtis(t), D c{ t ) D 3(t) и M cs(t) , можно заключить, что в первом приближении дисто­ персия определяется статистикой случайных амплитуд и временного положения импульсов воздействия. Что касается характеристик узкополосного фильтра, на величину дисперсии существенно влияет лишь полоса пропускания Лмп =я/е

(т. е. величина коэффициента затухания а) и частота свободных колебаний фильтра Юр (точнее говоря, величина расстройки Аюр= мр—Мо). Более подроб­ ные характеристики фильтра практически не влияют на величину дисперсии D f .

(3.91)—'(3.103) показывает, что в переходном режиме на величину дисперсий влияет и нестационарность воздействующего импульсного .случайного процесса l( t ) и изменение во времени характеристик фильтра (в основном полосы про­ пускания Дюп ), a в установившемся .режиме только нестационарность |(<). Это

означает, что соотношения (3.132) и, конечно, (3.129), позволяют определять и продолжительность .переходного процесса и значение дисперсии D y в установив­

шемся режиме, т. е. при t-*-оо (ІѴ =±оо).

143

Напомним, что так как фильтр узкополосный, его реакция .представляет со­ бой последовательность радиоимпульсов бесконечной длительности. Так что нестационарность процесса £(0> обусловленная только зависимостью от временя случайных величин ѵ п, г, за очет сложения большого числа импульсов в каждый момент времени оказывается в значительной степени сглаженной [25].

Можно показать, что характер изменения дисперсии в переходном режиме определяется функциями fi(N) и fx(N), причем

n= 0 /=0

Так как установившийся режим соответствует бесконечно отдаленному моменту включения фильтра, то в суммах формул для f i ( N ) и fz(N ) в этом случае следует распространить пределы суммирования до ± оо. При этом указанные суммы можно заменить интегралами

t t

■1(N)~ И е~“ {х+у)е_ІСОр(х~у)dxdy'

о о

Замечая, что интеграл для f i ( N ) содержит быстроосциллирующий множитель е—12<арх) можно с пренебрежимо малой погрешностью считать, что в устано­

вившемся режиме k ( N ) = 0 и / рег = ^сл = ^рег= ^сл —0. а дисперсия фазы

«0

J/i0(v) cos copt) coseovdv =Re <T (i co)>,

—00

144

со

J hü (o)cos (OpüXsin шvdv = Jm [ T (i со)],

— OO

УРег = ^ j ^дб(“ ) Г2 (“ ) d“ = - у Os (“ о) Г» ( со;) .

о

Таким образом, в установившемся режиме дисперсия флуктуаций фазы D,f

и соответственно дисперсия флуктуаций временного положения импульсов, сфор­ мированных из выходного сигнала фильтра, приближенно определяется отно­ шением непрерывной части энергетического спектра FHg (со) сглаживаемого про­

цесса £(£), попадающей в полосу пропускания фильтра, ,к мощности периодиче­ ской составляющей процесса F Rg (сор) , соответствующей периоду следования им-

пульсов:

Юр+До)!

Следует отметить, что ф-лы і(3.132), (3.134), и особенно (3.129), дают более точное значение дисперсии D y как в установившемся, так и в переходном ре­

жиме при минимуме допущений относительно вероятностных свойств сглажи­ ваемого процесса £(/) и характеристик сглаживающего фильтра. Очевидно, что можно из указанных формул получить и иные, нежели (3.135) приближения (см., например, [27, 70]), Однако приближение (3.435) дает, по нашему мнению, наиболее простые формулы связи статистических характеристик параметров им­ пульсов и полосы пропускания фильтра с величиней дисперсии D y . Так, из

ф-лы (ЗЛ35) следует, что при уменьшении ширины полосы пропускания Ашп пропорционально уменьшается и D y . С другой стороны, при уменьшении Дсо^ увеличивается инерционность фильтра а=я/Амп , а значит и длительность пе­

реходного процесса в нем. Поэтому при выборе параметров сглаживающего фильтра необходимо учитывать противоречивость требований малости диспер­ сии D y и длительности переходного процесса, определяя последнюю, например,

из условия [93]:

которое, после логарифмирования обеих частей -неравенства можно привести к виду

145

Г л а в а 4

Нелинейные преобразования импульсных случайных процессов

4.1. ОСОБЕННОСТИ АНАЛИЗА. НЕЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ИМПУЛЬСНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Сущность нелинейного преобразования состоит в том, что слу­ чайный процесс l(t), являющийся результатом такого преобразо­

вания, связан с преобразуемым процессом ) в общем случае нелинейным дифференциальным уравнением вида

где F{x(t)] — некоторый нелинейный функционал своих аргументов, характеризующий оператор преобразования Кнл . Конкретный вид функции F определяется свойствами и параметрами системы, реа­

из последовательно включенных нелинейной Іц и линейной L л ча­ стей (рис. 4.1), причем каждый из операторов ін и і л оказывает­ ся более простым, чем исходный оператор Сил . Нелинейная сис­ тема, допускающая представление в виде (4.2), называется при­ водимой [84] или разделимой [86] (рис. 4.16). В противном случае говорят о неприводимой или неразделимой нелинейной системе (рис. 4.1а).

Соотношение (4.1) показывает, что в общем случае значения случайного процесса "Q(t) в каждый момент времени t зависят не только от значений процесса £(7) в тот же момент времени, но и от значений его в другие моменты времени. В таком случае нели­

146

нейная система называется инерционной. Системы, процесс t,(t) на выходе которых полностью определяется значениями процесса %(t) на входе в совпадающие моменты времени, называются бе­ зынерционными.

Нелинейное безынерционное преобразование определяет функ­

Для анализа нелинейных систем существенным является вид функ­

Большинство систем электросвязи допускает такое разделение, так что, по-видимому, типичным для этих систем следует считать соче­ тание линейното инерционного, безынерционного нелинейного и еще одного линейного инерционного преобразований. Структурная

Рис. 4.2. Характеристики существенно нелинейных элементов:

сечкой; е) ограничитель с отсечкой

147

схема подобного оператора преобразования, называемого типовым

радиотехническим звеном [53], приведена на рис. 4.4.

Общего метода исследования нелинейных преобразовании в на­ стоящее время нет.

Множество различных частных методов основывается на учете особенностей оператора преобразования (безынерционный, одно­ значный, кусочнораз­ рывной и т. д.) илиопе-

преобразований импульсных случайных процессов связаны с воз­ можностью двух эквивалентных в статистическом смысле способов описания их вероятностных свойств.

В соответствии с этим правомерны два подхода к анализу ста­ тистических характеристик нелинейных преобразований импульс­ ных случайных процессов. Если импульсный случайный процесс задан многомерными функциями распределения вероятностей сво­ их мгновенных значений, применимы методы, используемые при исследовании нелинейных преобразований произвольных случайных процессов. Следует учитывать только, что импульсные случайные процессы, как правило, нестационарны. Очевидно, что все трудно­ сти, связанные с неприменимостью принципа суперпозиции в иели-

148

нейных системах, сохраняются в таком случае и при анализе им­ пульсных случайных процессов.

Во многих практических приложениях предпочтительнее веро­ ятностное описание импульсного случайного процесса вдоль оси времени с помощью вероятностных характеристик параметров им­ пульсов. При таком способе задания импульсного случайного про­ цесса анализ нелинейных преобразований его приобретает некото­ рые специфические особенности, а в некоторых случаях может значительно упроститься. Это связано, прежде всего, с тем, что импульсный случайный процесс по определению является сово­ купностью (точнее последовательностью отдельных импульсов или групп импульсов или комплексов групп импульсов), причем фор­ ма их описывается абсолютно интегрируемой функцией. Следо­ вательно, почти любая реализация импульсного случайного про­ цесса может быть представлена сходящимся функциональным ря­ дом, причем разным реализациям процесса будут соответствовать различные наборы коэффициентов такого разложения.

Для указанного представления импульсного случайного про­ цесса, в зависимости от условий решаемой задачи, могут исполь­ зоваться степенные или экспоненциальные ряды, причем послед­ ние предпочтительнее, благодаря инвариантности экспоненциаль­ ных функций к сдвигу во времени.

Представления в виде функциональных рядов импульсных слу­ чайных процессов с импульсами конечной длительности и с неог­ раниченными по длительности импульсами имеют ряд отличитель­ ных особенностей.

При ограниченной длительности импульсов k-я реализация слу­ чайной последовательности импульсов в соответствии с (1.4) может быть записана в виде

Здесь функции un(t) существуют в несовпадающие интервалы вре­ мени и каждая из них может быть представлена рядом

со

(4.4)

где А пк и s K — действительные или комплексные числа. В частном случае, когда sK=\кыо, где ы0 = 2п/Т, Г-интервал задания функций un(t), ф-ла (4.4) определяет ряд Фурье

где коэффициенты спк могут быть найдены по формулам Эйлера:

149