книги из ГПНТБ / Коновалов Г.В. Импульсные случайные процессы в электросвязи

Если случайные изменения начальной фазы заполнения радио­ импульсов последовательности взаимно независимы и характери­ зуются одной и той же плотностью (вероятностей w , (х), то

~Г~

р——со

В частном случае, когда огибающая радиоимпульсов прямо­ угольна, а начальная фаза заполнения принимает два значения: —<ро и фо с равными вероятностями,

Из (2.216) следует, что непрерывная часть энергетического спек­ тра с масштабным коэффициентом, пропорциональным sin2 фо, пов­ торяет непрерывную часть энергетического спектра одиночного

100

прямоугольного импульса, а дискретные составляющие пропор­ циональны cos2cpo и дискретным составляющим спектра периоди­ ческой (с периодом Т) последовательности прямоугольных импуль­ сов. При хо—Т в энергетическом спектре остается только одна дис­ кретная составляющая частоты ©0. а непрерывная часть его опре­ деляется формулой

стотного заполнения радиоимпульсов.

Полагая постоянными амплитуды, формы огибающей, длитель­ ности импульсов и допустив, что импульсы не смещаются относи­ тельно детерминированных тактовых точек из (2.197), получим вы­ ражение для энергетического спектра последовательности групп

где W2a,r,(i(x, у, А )— двумерная плотность вероятностей частоты заполнения r-го и q-то импульсов групп.

При выводе (2.218) начальные фазы заполнения радиоимпуль­ сов предполагались случайными, так как для многих реальных ча­ стотноманипулированных сигналов уместно считать начальную фа­ зу заполнения радиоимпульсов, равномерно распределенной на ин-

101

тервале (—я, я). При этом вычисление энергетического спектра упрощается, так как в этом случае

Из (2.221) следует, что при равномерном распределении на­ чальных фаз высокочастотного заполнения энергетический спектр последовательности групп частотноманипулированных импульсов не зависит от корреляционных связей между частотами заполне­ ния импульсов как внутри групп, так и между группами. Если частота заполнения принимает два значения он и со2 с одинаковы­ ми вероятностями, то

Энергетические спектры последовательностей групп радиоимпульсов смешан­ ного типа и апериодических последовательностей. Из (2.197) можно получить соотношения для энергетических спектров последовательностей групп радиоимпульісоів, у которых не детерминированы интервалы следования импульсов в группах или интервал следования групп или оба этих тактовых интервала. Рас­ смотрим примеры таких последовательностей, ограничившись случаями, когда форма всех импульсов одинакова, длительность постоянна и равна То, частота заполнения всех импульсов постоянна и равна сооБудем считать, что разнород­ ные и однородные параметры импульсов групп статистически независимы.

С учетом принятых допущений из (2.195) получим для энергетических спект­

ров:

а) последовательности групп радиоимпульсов с детерминированным интевалам следования групп и случайными интервалами следования импульсов в группах:

102

Таким образом, как и для процессов с детерминированными тактовыми интервалами, характер спектрального распределения мощности последователь­ ностей лрупп радиоимпульсов смешанноло типа и апериодических последователь­ ностей существенно зависит от распределения вероятностей начальной фазы

ЮЗ

Г л а в а 3

Преобразования импульсных случайных

процессов в линейных системах

3.1. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

В приложениях теории импульсных случайных процессов часто возникают задачи исследования вероятностных характеристик про­ цессов на выходе преобразующей физической системы. Реальные радиотехнические устройства преобразования содержат обычно как линейные, так и нелинейные элементы, различные по своим свойствам и требующие различных методов исследования.

В данной главе исследуются преобразования импульсных слу­ чайных процессов в линейных инерционных системах с постоянны­ ми параметрами. К таким системам применим принцип суперпо­

(3.1) означают, что реакция линейной системы на воздействие по­ следовательности импульсов, групп импульсов или даже комплек­ сов групп импульсов может быть найдена как суперпозиция реак­ ций системы на каждый из импульсов.

Свойства линейных инерционных систем характеризуются во времени весовой функцией h(t\, t%) или в области комплексного пе­ ременного /7-передаточной функцией Т(р) [53, 86].

Весовую функцию h ( tit і%) называют также импульсной харак­ теристикой системы, так как h(ti, t2) определяет характер реакции линейной системы на воздействие в виде единичного импульса (б-импульса).

Известно [53], что для линейных систем с постоянными пара­ метрами весовая функция зависит только от разности t%—tl мо­

105

106

ки h(x) или перодаточной функции Т(р)) получить столь же пол­ ное описание процесса £(7).

Отметим, что универсальных методов решения полной задачи для произвольной преобразующей системы не существует ввиду многообразия сигналов и различного характера преобразований, которым они подвергаются в реальных системах. Даже в предпо­ ложении линейности преобразующей системы в большинстве слу­ чаев ограничиваются решением частных, упрощенных задач. При этом упрощение состоит обычно в применении каких-либо частот­ ных методов и искусственных приемов, приспособленных к харак­ теристикам конкретной преобразующей системы или виду преоб­ разуемого процесса.

Задача исследования преобразований импульсных случайных процессов в линейных системах облегчается тем, что такие процес­ сы являются последовательностями импульсов, групп импульсов, комплексов групп импульсов или каких-то еще более сложных формирований импульсов. Это означает, что задача определения характеристик преобразования любого импульсного случайного процесса в линейной системе может быть сведена к задаче опре­ деления характеристик функционального преобразования конечной совокупности случайных величин — параметров импульсов, а по­ следняя решается по общей методике функциональных преобра­ зований вероятностных характеристик [53]. Однако даже в этом случае задача определения полных вероятностных характеристик преобразования импульсного случайного процесса может оказать­ ся очень громоздкой и трудоемкой.

На практике часто задачу определения вероятностных характе­ ристик линейного преобразования импульсного случайного процес­ са ограничивают моментными или спектрально-корреляционными функциями.

3.2. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР И КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ РЕАКЦИИ ФИЛЬТРА НА ВОЗДЕЙСТВИЕ ИМПУЛЬСНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

Задача определения моментных функций низших порядков, в том числе и корреляционной функции B(tu t2), случайных процес­ сов на выходе линейной системы решается сравнительно легко [53]. С другой стороны моментные функции обладают весьма важ­ ным свойством, состоящим в том, что функции более низких по­ рядков содержат больше информации о вероятностных свойствах случайного процесса, чем функции более высоких порядков. Эти обстоятельства позволяют при исследованиях ограничиваться в большинстве случаев изучением простейших моментных функций: среднего значения, среднего значения квадрата (дисперсии), вто­ рого смешанного момента B(t,, t2).

108

Моментная функция к-го порядка случайного процесса по оп­ ределению {53] имеет вид:

тк_! — выбранные произвольно временные сдвиги, которые могут быть как различными, так и частично или даже все одинаковыми. Если все Ті=Т2= . . .= тЛ_і соотношение (3.11) определяет момен­ ты одномерного распределения вероятностей.

Моментные функции импульсного случайного процесса на вы­ ходе линейкой системы могут быть выражены с помощью соотно­ шений (3.11) и (3.3) через импульсную характеристику системы и моментные функции случайного процесса на ее входе

X l { t + Xi— V2) ■ ■ -l(t + xK_ l — vK)dv1 ■ ■ -dvA.

или, меняя порядок интегрирования и усреднения, можно получить для моментных функций процесса на выходе линейной системы со­ отношение

mK.(t, тх> хъ ---,хк_ х) = J j ••• J h(vdh(v^---h{vK)

о0

mKAt — иъ t+x x— v2, • • -, t -j- XK_, dv% • • -dvK). (3.12)

Это соотношение позволяет определить моментные функции ли­ нейного преобразования случайного процесса в самом общем слу­ чае, когда параметры преобразующей системы изменяются во вре­ мени и процесс на ее входе нестационарен. При этом любая мо­ ментная функция к-го порядка линейного преобразования импульс­ ного случайного процесса может быть вычислена, если заданы моментная функция того же порядка процесса на входе системы и импульсная характеристика системы.

Если необходимо знать только установившиеся значения мо­ ментных функций линейного преобразования случайного процес­ са (т. е. реакцию системы по прошествии бесконечно большого времени с момента подачи входного воздействия), нижние преде­ лы в (3.12) следует принять равными — оо. Абсолютные значения верхних пределов могут быть распространены до +оо, однако при интегрировании следует помнить о взаимном расположении пере­ менных интегрирования т і> т г > .. л к-\.

Рассматривая общий случай воздействия на линейную систему с постоянными параметрами импульсного случайного процесса ти-

109