книги из ГПНТБ / Коновалов Г.В. Импульсные случайные процессы в электросвязи
.pdfИз сравнения графиков, представленных на рис. 2.17—2.19, вид но, что корреляционные связи, обусловленные изменением пара метров импульсов даже в соответствии с последовательностями без последействия (с простыми цепями Маркова), настолько сущест венны, что заметно изменяют характер непрерывных частей энер гетических спектров по сравнению с тем случаем, когда парамет ры импульсов изменяются в соответствии с дискретными некорре лированными последовательностями.
С другой стороны графики, приведенные на рис. 2.18—2.19, еще раз иллюстрируют тот факт, что корреляционные связи парамет ров импульсов не изменяют дискретных составляющих спектра.
Корреляционная функция марковской последовательности им пульсов. Последовательность импульсов, амплитуды которых из меняются в соответствии с некоторой цепью Маркова, часто назы вают марковской импульсной последовательностью. Выражение корреляционной функции В*{т) такой последовательности можно получить, выполнив обратное преобразование Фурье от (2.168). В результате легко показать, что при одинаковой форме импуль сов, постоянной и равной то их длительности и детерминированно сти тактового интервала следования импульсов
В* (т) = В*А(х) + Б-П(т), |
(2.175) |
где |
|
|
|
|
|
(2.176) |
|
|
|
|
dx + |
|
|
|
|
(2.177) |
|
SAf |
SM |
|
|
Мд |
V |
V xsyKVspiK(А) — а\ |
(2.178) |
|
|
S=1 |
К=1 |
|
|
|
М |
|
|
(2.179) |
а = |
Yi х*ѵ *- |
|
||
|
S = 1 |
|
|
|
|
Для прямоугольных импульсов, когда функция |
|
||
/ |
М |
I 1 , |
о < X < Т о , |
|
\ |
то / |
1 0, |
х<0, * > т0 |
|
90
легко показать, что |
|
|
|
||
То |
|
|
' |
t o 1 |
AT — X -j , I A T—x I < To |
0Иі) |
и (-— т А Т |
10, I |
А Г — T I > t 0. |
||
и I — |
) dx |
|
to |
||
. to I |
\ |
to |
|
|
(2.180) |
при любых целых А, включая нуль.
Соответственно для прямоугольных импульсов вместо соотно шений (2.173) и (2.174) можно записать:
|
|
|
to |
|
|
|
|
|
1A T — %1 |
1A 7 — 1 1< T 0 , |
|
|
в \ W |
|
|
r |
£ |
|
|
|
to |
1 |
(2.181)/ |
||
= |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Д = |
— со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
1 А Г - т І |
> |
t 0) |
|
|
|
|||
|
|
|
t 0 |
|
|
|
|
\ p T - x \ |
\ |
1 p T — X 1 < T 0, |
|
|
|
|
|
T |
t |
ai |
i - |
|
to |
/ ’ |
(2.182) |
||
n W |
= |
|
|
|
||||||||
|
|
p——oo |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
i o , |
1 p T — t 1 > t 0. |
|
|
|
||||||
Рассматривая в качестве примера простую однородную цепь |
||||||||||||
Маркова, |
характеризуемую |
матрицей |
вероятностей |
переходов |
||||||||
(2.169) |
и |
соотношениями |
(2.170), заметим, что в этом случае со |
|||||||||
гласно |
(2.170), |
(2.178) |
и (2.179) а = 0, а |
|
|
|||||||
|
(Ѵі ~ {~ Ѵ з |
= |
А = 0 |
|
|
(2.183) |
||||||
|
І2Ѵі [pn (А) — Різ (A) ], |
|
А ф О . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
Рассчитанные по ф-лам |
(2.181) — (2.183) графики |
зависимости |
||||||||||
В*(х)=В*А (т) |
рассматриваемой |
последовательности |
прямоуголь |
ных импульсов приведены на рис. 2.20.
Пусть теперь цепь Маркова характеризуется только двумя со
стояниями |
|
|
х0 = Уо= |
х1 = у1= |
(2.184) |
и матрицей вероятностей переходов из состояния в состояние за один шаг (тактовый интервал)
I! |
P s A 1) II |
РооО )Роі(І) |
(2.185) |
|
= |
||||
|
|
|
Ріо (1) P u (1 |
|
Значения |
Ѵ0 и Vi в рассматриваемом случае можно найти не толь |
|||
ко |
возводя матрицу (2.185) |
в достаточно большую степень, но и |
||
из системы уравнений: |
|
|||
Р0 + |
= 1 |
|
||
|
|
ГіРи(1)+'ѴоРоі(1), |
(2Л86)> |
|
. Ѵ |
0 = |
V oPo o (l ) + ^ х Р ю ( І ) . |
|
91
в результате решения которой
у _ |
1 Р о О (1)_____ |
у __ |
1 — Р п (1) |
(2.187) |
2 |
Р і і О ) — Poo (1) |
|
2 — poo(l)— P n O ) |
|
|
|
|||
Согласно (2.179), (2.178) и (2.184) |
|
|||
a = Vlt |
MA = VlPn (A) — a2 = |
V7* [pu (A) — l/x], |
(2.188) |
так что соотношение для апериодической и периодической частей корреляционной функции марковской последовательности импуль-
Рис. 2.20. Корреляционная функция случайной последовательности прямоуголь ных импульсов, амплитуды которых принимают значения X i = — іі, Хг=0, х3=1 в
соответствии с простой цепью Маркова, при различных значениях То/Г
сов, амплитуда которых принимает только два значения «0» и «1», можно записать в виде
|
|
00 |
|
|
|
I А Г — т 1 |
|
|
|
^ |
2 |
^ [ P u ( A ) - ^ ] ( l |
А Т— т I < т0, |
||||
а д |
То |
|||||||
|
А— —со |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
(2.189) |
|||
|
О, |
I АТ — т I |
> |
т0, |
|
|||
|
|
|
||||||
где рн(0) — 1, а /?ц(Д) |
определяется в результате возведения мат |
|||||||
рицы (2.185) в степень А, |
|
|
|
|||||
|
— |
У |
ѵ\(\ |
|
р Т — т |
Р Т- |
<То, |
|
W = |
T |
U |
11 |
|
То |
|
(2.190) |
|
|
р = —00 |
|
|
|
|
|||
|
О, |
р Т — т I |
> |
т0. |
|
|
92
Зависимость В*А (т) от р ц ( А ) = р 0о(А) при 1/і=1/2 и т0/7’=1/4 представлена на рис. 2.21.
Рис. 2.21. Апериодическая часть корреляционной функции марковской последо вательности импульсов
2.5. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИМПУЛЬСНЫХ РАДИОСИГНАЛОВ
Общие соотношения для энергетических спектров случайных последовательностей групп радиоимпульсов. Приведенные выше общие соотношения для энергетических характеристик различных импульсных случайных процессов справедливы для последова тельностей видеоимпульсов, радиоимпульсов и импульсов более сложной формы, высокочастотное заполнение которых не является гармоническим.
Оценка энергетических характеристик последовательностей ра диоимпульсов сопряжена с некоторыми особенностями, рассмотре ние которых представляет значительный интерес с учетом группо вой структуры.
Рассмотрим k-jio реализацию импульсного случайного процес са, представляющего случайную последовательность групп радио импульсов:
(2.191)
93
Заметим, что спектральная плотность r-го радиоимпульса п-й группы k-H реализации имеет вид
со
— со
(2.192)
(2.193)
Предположим, что рассматриваемая последовательность групп импульсов однородна, т. е. что вероятностные характеристики всех параметров импульсов групп не зависят от номеров групп и мо гут зависеть только от разности этих номеров. Допустим также, что случайные величины, характеризующие число импульсов в раз ных группах, взаимно независимы. Выполнив преобразование Фурье функции, описывающей k-ю усеченную реализацию процес са, представляющую собой 2N +1 групп импульсов, усреднив помножеству реализаций квадрат модуля спектральной плотности и устремив N к бесконечности, получим энергетический спектр в виде:
где
94
/(3'*) (®) = Sn.r (ю + < ? ) g„-A,q (® — ®^Д,q) exp { — І [((0 + <o$) X
И = ^п.л (® + < } ) S„_A., (® + <Ä ,<)exp{ - i[(©+ ©<£)) X
Х ^ - ( « + С м ) ^ д „ 1 } ,
Ф0'*’ ==exp { i (ф„*гФп-д, 9)}, 0 (2 fe) =exp{i (Ф^>+ ф<!1д,9)} ,
ф (З Х ) |
__ ф (2 ,* ) |
ф (4 ,й ) _ ф (1 ,А ) |
|
|
©W, |
© ^ д>9, ф^г> ф ^ д >? |
— частоты и начальные фазы заполнения |
||
г-го импульса п-й групп и #-го импульса /-й группы (j— n—А). |
|
|||
Горизонтальной чертой обозначены |
комплексно-сопряженные |
|||
величины. |
|
|
|
|
При конечной длительности импульсов в выражениях |
со) |
|||
следует соответственно заменить gn,r(a>+co„V) и gn-д |
) |
|||
на |
|
|
|
|
тп^п,Д(“ + < гК * г] и |
т^д,^« -д .Л (® + |
^ - Д .? К - д .9]- |
|
Приведенное соотношение справедливо не только для последо вательностей радиоимпульсов, но и для последовательностей чере дующихся радио- и видеоимпульсов. Кроме того, если й „, г = 0 и Фп, г= 0 при любых п, г, то соотношение (2.194) сводится к при веденному ранее соотношению (2.50) и характеризует энергетиче ский спектр случайной последовательности групп видеоимпульсов.
В часто встречающихся в практике случаях частота заполне ния импульсов радиосигналов значительно больше длительности импульсов. В этих случаях соотношение (2.194) для оценки энер
гетического спектра |
последовательностей групп радиоимпульсов |
||||
можно существенно |
упростить. Действительно, если |
для |
любого |
||
г-го радиоимпульса |
„ |
|
условие |
©п, |
2п |
п-и группы выполняется |
---- |
||||
то вторым слагаемым в правой части |
(2.192) |
можно |
|
хп,г ‘ |
|
пренебречь, |
|||||
в результате чего соотношение (2.194) |
при дополнительном допу |
щении о независимости амплитуды от остальных параметров им пульсов можно преобразовать к виду
« |
|
_ л |
л |
|
|
*ч®) ^ щ г 5] |
—*) |
- Г=1 |
?=1 |
+ а' аі |
X |
и = 0 |
|
|
|
||
X ті{ < |
г 8п.г((®— < г ) |
gn,q[(со — ©<$) т ^ І X |
|||
-« К -«#) W |
|
«О О |
•(С ~ Ä |
^ |
|
Х е |
|
|
|
е |
J + |
95
2N
Заметим, что приведенные соотношения могут быть обобщены на случай последовательностей комплексов групп импульсов і[47]. С другой стороны при Р(х = х=1) = 1 и Р(%Ф1) =0 соотношения (2.194), (2.195) характеризуют энергетический спектр статистиче ски однородных последовательностей радиоимпульсов.
Энергетические спектры последовательностей групп радиоим пульсов с детерминированными тактовыми интервалами. Из при веденных выше общих соотношений нетрудно получить соотноше ния для конкретных последовательностей групп радиоимпульсов, полагая максимальный период высокочастотного заполнения ра диоимпульсов много меньшим их минимальной длительности.
Рассмотрим, например, случай последовательности групп, со стоящих из m импульсов с детерминированными интервалами сле дования групп и импульсов в группах. В рассматриваемом случае
(2.196)
При независимости разнородных параметров импульсов с уче том (2.196), из (2.195) получаем
m |
m |
|
|
r=1 <7=1 |
|
|
|
+ |
2N |
m m |
x |
S l1“ 2N + l ) S S(a'a?+R h -r - q a r ° ^ |
(2.197)
где
/л
Д,r,q
Ѳ2ф.О?(1’ _ 1 > =
В частных случаях, когда случайным является какой-либо один из параметров импульсов, соотношение (2.197) упрощается.
96
Если случайна только амплитуда радиоимпульсов, причем
ю п,г |
= |
л)(*) |
= |
(V)n |
V**) = |
Ѵ<*> |
= |
О C |
D |
rn(*) |
— |
QD„ |
|
|
|||
|
Шп -Д ,Ч — |
Ш°’ |
п , г — |
Vn—A , q — |
u > т л / — |
|
44» |
|
|
||||||||
Т О |
|
То | Я К “ — “ о) T0] |
! 2 I т |
т |
|
(ara, + |
oraQRo,r,q) е- ^ - ^ ( г - я)т+ |
||||||||||
/ |
’ (Cö) |
= |
|
2Т,Г |
|
|
V |
^ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1Г=1 9=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
m |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
+ 2Re„-"’ £ |
( ‘ - |
|
5і т і ) £ |
|
£ |
< а л + °л |
^ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
' |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Л=1 |
|
|
|
г=1 |
<7=1 |
|
|
|
|
( 2. 200) |
||
|
|
|
е —1«0—to») ( r - q )T е ~ |
i(ffl-(U o)A rr j |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2N |
|
|
|
-і (со—0)0)ДГ |
2п |
|
|
|
|
|||
|
І1Ш |
|
+ 2 R e ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2/V+ |
|
|
|
|
~т7 |
|
|
|
|
|||||
іѴ—*■00 |
|
д = і |
|
|
|
|
|
к——сс |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2. 201) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
( → ) |
То I |
£[(“ — “ о) т0] і 2 |
|
|
|
|
|
2п |
|
|
||||||
|
|
2Тг |
|
|
У |
СТ* + |
1)56 (СО — |
СО0) + |
у ~ |
X |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
^/■=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X V |
£ а га ,е - і(“- “’)(г-*)Г V |
6 |
СО— ®о — 2лй |
|
( 2. 202) |
|||||||||
|
|
|
г= 1 |
<7=1 |
|
|
|
|
к= |
— |
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2N |
|
|
где |
іК (со — |
со0) |
|
|
o , o 4R o , r , q |
e' і(ш—и 0)(г—q)T |
2Re lim |
V |
j 1- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
r= 1 |
<7 = 1 |
|
|
|
|
|
|
*AC-»oo |
Д=1 |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
||||
|
|
|
|
|
|
ri |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
__д_ |
Ш |
|
in |
|
|
|
—Цш-ш«) (г-<7) T |
—i(ö>—CüolATj. |
|
||||
|
|
|
|
)S |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2N + |
|
S °r0qR*j’q e |
|
|
|
(2.203) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
/■=1 |
|
9=1 |
|
|
|
|
|
|
|
Если форма и амплитуды радиоимпульсов детерминированы, а случайными являются только изменения временного положения относительно детерминированных тактовых точек, то
S n , г (ю — |
< ? ) |
= S n - L , q |
(® — ® п -Д . Ч) = g (СО — СОо), |
аг =е а, = |
а, |
RKr q = |
о, Ѳ2ф г^(1, — I, |
и из (2.197) с учетом (2.201) получим следующее соотношение для энергетического спектра:
2 |
m |
F (со) = g f - |
т21g [(со —CDo)T0]j2 . У* [1 — 1Ѳ1ѵ>г (со — С0 о) I2] +фѵ (со — со0)+ |
г |
Ifel |
4 - 9 2 |
97 |
+^2n \Х\ |
m |
XW,>—®o)9 |
|
0lv, 9(ö—й„) |
|
|
|
|||||
_ |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
г |
r=1 |
17=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
X e—І((0 —(De)(rг—<7)Г \л 1, / |
|
|
2л*\і |
|
|
(2.204) |
||||||
где |
|
nt |
|
|
/и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ij)v (со — co0) = |
V |
|
|
V |
[ Ѳ2Ѵr ? (со—«о, coo—со 0) — Ѳ ѵ r (со — coo) X |
|
||||||
|
|
r = 1 |
|
<7= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гфд |
е'- i (CO G)o ) (Л — 17) Г -f 2Re Пш |
2N |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
X |
|
|
|
|
|
S ' 11 — |
2<Ѵ+ |
X |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л'-*со д" |
|
||
X V ^ |
[ Ѳ2ѵ ^ (со — соо |
CÜ0 — со |
А) — Ѳіѵ г (со —[со0) X |
|
||||||||
r = 1 |
?= 1 |
|
|
coo)Г \J е |
( г - і ? ) Г е |
і(<о — ю „ ) Д Г г- |
|
|
|
|||
Vх й°іѵ,і7 (а>—) |
|
|
|
(2.205) |
||||||||
Наконец, положив в (2.197) |
ars=ag = a, |
|
|
|
||||||||
ar = > < 7 = 0; |
ѵП(Г^ ѵ п_Ді?= 0 , |
ф„>л— ср„_Д9 = |
0, |
|
|
получим спектр последовательности групп радиоимпульсов со слу
чайно |
изменяющейся длительностью импульсов |
групп |
|
|||||||
|
|
2 |
( m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ ^ O . r . X ® |
— |
® о )— К „ , г ,г(<й — СОо)] + Ф |
Т (С0 — |
СОо) |
||
|
|
|
[г=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
т |
|
|
|
|
|
2nk , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г=1 |
<7=1 |
|
|
|
к=—<в |
V) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.206) |
|
|
|
т ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
Ч»х(® — СОо) = |
X |
X |
^ |
(оо — ®о) ' - ’ ■Коо.г.і? (со — С00)1Х |
|
|||||
|
|
|
r = 1 <7= 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гфЧ |
|
2N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
< -« Г + 2Re н™ S (>!-— |
)S |
S 1К^ ’іа “ й")- |
|||||
|
|
|
|
|
|
Д■= 1' |
г=1 17=1 |
|
|
|
|
|
—/Со»,r.q(со—со»)] е і(ш <0о)('' ч)Те і(ш |
“»>ДГР, |
(2.207) |
||||||
Кд.Гі,<0>— öo) = |
mi{ tW |
т£>д>? g [(со— <oe)> $ ] g [(соca.)т ^ д~ ] } = |
||||||||
09 |
СО |
xyg [(со — co„)A:];g [(со — СОо) г/] w2x (xjy, |
b)'dxdy, |
|
|
|||||
= j |
j |
|
(2.208) |
|||||||
о |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
98
Ko.r.q (<ö— tt»o)= І[ |
0f xyg [((0 — co0) X] g[((o—(o0)y] w~(x, |
У> |
0)dxdy, |
(2.209) |
|
oo |
oo |
|
|
|
|
|
f Ч |
К© — ö»o)X\ WlXif (X)dX j yg [((0 — ö)0) £/] W]xq (</) dg. |
|||
K<o ,r,q(CO — ©o)= 0 |
0 |
|
’ |
(2.210) |
|
Первые слагаемые в правой части соотношений |
(2.202), |
(2.204) |
|||
и (2.206) характеризуют непрерывные части, а |
последний |
член— |
дискретные составляющие спектра.
Из сопоставления соотношений (2.202) и (2.97), (2.204) и (2.104) — (2.106), (2.206) и (2.107) — (2.109) соответственно нетруд но заключить, что форма как непрерывной, так и дискретной ча стей энергетического спектра последовательности групп радиоим пульсов со случайно изменяющимися амплитудой, временным по ложением и длительностью повторяет в несколько измененном мас штабе и с учетом сдвига на соо форму энергетического спектра ана логичных последовательностей групп видеоимпульсов. Рассмотрим случайные изменения параметров высокочастотного заполнения импульсов. Если случайной является начальная фаза заполнения радиоимпульсов, а остальные параметры импульсов детерминиро ваны, то
Ѵг — ^n—A.q "^0’ |
®т—Xlq— CL, Ur Oq— 0, |
ю„,г = о)п_д,9 = ( D„, |
vn>r = v„_Ai?ss0, |
в связи с чем /д q(ю) = tg | g [(со — co0) r0] |2 e“ 1(“~“o) (r~q) тX
—i (и—co0)AT
X e
Согласно (2.197) — (2.199) энергетический спектр последова тельности групп радиоимпульсов со случайной начальной фазой высокочастотного заполнения имеет вид
m = |
ч I g и©—©о)Toi I21 |
|
ѳ2ф. Л, , (1, |
— і,о) X |
||||
|
|
1г—\ q=1 |
|
|
|
|
||
|
-і (со (Do) (с* q) Т |
|
|
N |
|
|
|
|
X е" |
2Re lim |
V. (1 |
|
|
|
X |
||
|
2 N |
|
|
|||||
|
2 |
|
+ 1 |
|
||||
|
|
N->oo Е (' |
|
|
||||
|
|
|
Д =1 |
|
|
|
|
|
m m |
|
|
|
, _ |
— |
i (CO— (Oo) Ar_, |
||
|
|
\, А)е~1{ф~а>°иг~ч)Т e |
r‘}. (2.211) |
/•=1 q=1
4' |
99 |