книги из ГПНТБ / Дроздов Е.А. Многопрограммные цифровые вычислительные машины

ское устройство, искусственно меняется на обратный. Это измене­ ние может выполняться путем суммирования по mod 2 кода знака

Собственно алгебраическое сложение обычно осуществляется в основном узле арифметического устройства — сумматоре. Сложе­ ние с учетом знаков чисел можно выполнять различно. Можно ре­ ализовать этот процесс либо так, что любое отрицательное число будет поступать в сумматор в дополнительном или обратном коде, либо в одном из этих кодов будет представляться только один из двух операндов, участвующих в операции алгебраического сложе­ ния или вычитания.

1. Если в запоминающем устройстве числа хранятся в прямом коде, то, применяя первый способ, приходится коды отрицательных чисел, поступающие в арифметическое устройство, преобразовы­ вать в дополнительный или обратный код в зависимости от того, какой из них принят в машине. Необходимость такого преобразова­ ния определяется по значению знакового разряда операнда. Если в этом разряде нуль (положительное число), то преобра­ зования не требуется, и число передается в сумматор в прямом коде.

При таком способе выполнения сложений и вычитаний для об­ наружения случаев переполнения разрядной сетки используют мо­ дифицированные коды. Модифицированный код образуется при

По окончании выполнения каждой операции сложения и вычи­ тания чисел, представленных в модифицированных кодах, произво­ дится анализ результата и вырабатывается его признак ПР. В этот анализ может входить определение равен, меньше или боль­ ше нуля результат и не возникло ли переполнение. Если признак ПР представляется двумя двоичными разрядами, то равенству ре­ зультата нулю может соответствовать, например, ПР = 00, резуль­ тату, меньшему нуля, ПР = 01, большему нуля ПР = 10 и перепол­ нению ПР =11.

При возникновении переполнения разрядной сетки (ПР = 11) происходит прерывание исполняемой программы. Остальные при­ знаки служат цели обеспечения возможности построения развет­ вляющихся вычислительных процессов.

Пример 2.8. 1. Выполнить операцию алгебраического сложения над числами, хранящимися в запоминающем устройстве в прямом коде.

* Символ ф означает сложение по модулю два, при котором единица пе­ реноса теряется.

50

При отсылке результата операции из сумматора в запоминаю­ щее устройство он преобразуется из модифицированных (прямого, дополнительного или обратного) кодов в обычный прямой код. Этим преобразованием управляет специальный сигнал, вырабаты­ ваемый схемой анализа старшего знакового разряда сумматора. Если в старшем знаковом разряде 0, то цифровая часть числа при передаче в запоминающее' устройство не меняется, если 1, то про­ исходит преобразование. Поэтому если не принять специальных мер, то в запоминающее устройство результат примера 2.8, а запи­ шется как 0’.0001, а примера 2.8, г — как Г.0001, хотя в обоих слу­ чаях получились результаты, по абсолютной величине большие единицы, т. е. образовалось переполнение.

Можно несколько упростить процесс данного способа выполне­ ния операций сложения и вычитания, если в запоминающем устройстве отрицательные числа хранить в виде дополнений. В этом случае только по команде ВЫЧЕСТЬ требуется вместе с измене­ нием знака вычитаемого нахождение для него нового дополнения. При алгебраическом сложении операнды складываются в том виде, в каком они хранились в запоминающем устройстве. Предвари­ тельный анализ знаков операндов проводить не требуется.

Пример 2.9.1. Сложить числа, заданные кодами:

Содержимое знакового разряда результата определяет знак и код последнего. Если не используются модифицированные коды, то для определения переполнения разрядной сетки можно воспользо­ ваться анализом сигналов переносов из старшего цифрового и зна­ кового разрядов. При дополнительном коде переполнением счи­ тается появление чисел, больших 0 111 ... 1 и меньших Г.000...0. Переполнение сопровождается несовпадением переносов из старше­ го цифрового и из знакового разрядов.

ПР = 11. Переполнение! (Есть перенос только в знаковый разряд).

52

П-1

ПР = 11. Переполнение! (Есть перенос только из знако­

вого разряда).

2. При втором способе реализации процессов алгебраического сложения слагаемые с одинаковыми знаками складываются в пря­ мом коде. В этом случае знак результата вырабатывается путем логического анализа знаков слагаемых. Когда же знаки разные, то формируется дополнительный или обратный код только для одного из операндов. При этом существуют различные методы получения разности [25]. Например, в случае разных знаков передаваемых в сумматор операндов может обращаться только код второго опе­ ранда, а первый всегда участвует в суммировании только в прямом ■коде. Результат может быть получен в прямом коде и в дополни­ тельном (обратном). Необходимость преобразования результата в прямой код так же, как и его знак, определяются специальной схе­ мой. Эта схема анализирует знаки операндов с учетом возможного переноса из старшего цифрового разряда сумматора, складываю­ щего только значащие разряды исходных чисел. Значения соответ­ ствующих признаков, вырабатываемых схемой, оперирующей со знаковыми разрядами, при различных комбинациях знаков операн­ дов и переносов даны в табл. 2.6.

53

Как следует из табл. 2.6, при сложении чисел с одинаковыми знаками в прямом коде переполнение легко обнаруживается по значению переноса из старшего цифрового разряда.

Умножение. Если в запоминающем устройстве числа хранятся в прямом коде, то при выполнении операции умножения цифровая часть произведения обычно получается как результат перемноже­ ния абсолютных величин сомножителей, представленных в этом же коде. Знак произведения определяется путем суммирования по мо­ дулю два в специальном одноразрядном сумматоре значений зна­ ковых разрядов сомножителей. Так как при суммировании по мо­

алгебры о знаке произведения: ( + ) X (+ ) = ( + ), (+ ) X ( — ) = = ( - ) Х ( + ) = ( — ), ( — ) X ( — ) = ( + ).

В конце операции умножения знак результата заносится в зна­ ковый разряд сумматора или регистра, где находится цифровая часть полученного произведения. Прямой код отрицательного про­ изведения, если оно используется в следующей операции, выпол­ няемой в арифметическом устройстве, автоматически преобразует­ ся в дополнительный или обратный код в зависимости от того, ка­ кой код принят в машине.

Процесс перемножения цифровых частей сомножителей заклю­ чается в поразрядном умножении цифровой части множимого на каждую цифру множителя. При этом умножение может произво­ диться со сдвигами множимого или сумм частных произведений как влево, так и вправо. Сдвиги влево происходят в случае, если умножение осуществляется начиная с младшего разряда множите­ ля, вправо — со старшего разряда множителя.

Таким образом, в двоичной системе счисления, поскольку в каж­ дом разряде множителя может быть либо 1, либо 0, процесс умно­ жения сводится к последовательности операций суммирования и сдвига. Действительно, если очередной разряд множителя равен 1,

54

то соответствующее частное произведение прибавляется к содер­ жимому сумматора, где идет накопление частных произведений. Если очередной разряд множителя равен нулю, то и очередное ча­ стное произведение равно нулю — суммирование не производится. При переходе к анализу следующего разряда множителя проис­ ходит соответствующий сдвиг на один разряд множимого или суммы частных произведений. Такая последовательность действий повторяется до тех пор, пока не будут проанализированы все раз­ ряды множителя.

Как и при сложении и вычитании, по значению знакового раз­ ряда произведения может вырабатываться признак результата, характеризующий его знак. Так как в результате перемножения чисел, по абсолютной величине меньших единиц, получается про­ изведение, по абсолютной величине также меньшее единицы, то при умножении не имеет смысла анализировать результат на пе­ реполнение.

Произведение двух «-разрядных чисел содержит 2п разрядов. Если для вычислений 2/г-разрядное произведение не требуется, то младшие п разрядов отбрасываются, а оставшийся результат ок­ ругляется. Округление выполняется путем учета единицы переноса в младший из остающихся разрядов при искусственном прибавле­ нии в конце умножения единицы к старшему из отбрасываемых разрядов. Например, если в результате перемножения рассмо­

Очевидно, что для получения округленного произведения с точ­ ностью до единицы младшего из сохраняемых разрядов в сумма­ торе частных произведений необходимо иметь помимо п основных еще р дополнительных разрядов (1 < /?< « ). Требуемое число р дополнительных разрядов зависит от схемы умножения, применяе­ мой в машине. Наименьшее количество дополнительных разрядов, равное одному, требуется при схеме умножения, начинающегося с младших разрядов множителя и со сдвигами промежуточных сумм частных произведений (не самих частных произведений!) вправо относительно неподвижного множимого. В этом случае те­ ряемый при каждом сдвиге младший разряд очередной суммы частных произведений не влияет на точность результата. Для округления результата необходимо сохранить только младший

55

При других схемах умножения, когда производятся сдвиги вправо или влево множимого или сдвигаются влево промежуточ­ ные суммы частных произведений,, требуется количество дополни­ тельных разрядов р> \ [16]. Следует также заметить, что для уско­ рения процессов умножения широко используются схемы, в кото­ рых производится умножение одновременно на несколько разря­ дов множителя (на 2, 4, 6).

Деление. Процесс деления в машинах состоит из последова- ■тельности операций вычитания и сдвигов и во многом аналогичен делению вручную. В то же время процесс машинного деления имеет специфические особенности.

Одной из них является представление делителя в дополнитель­ ном или обратном коде при вычитании его из делимого или остат­ ков. Другая особенность заключается в том, что перед каждым очередным вычитанием обычно сдвигается на разряд влево оста­

56

ток, полученный на предыдущем шаге деления, а не делитель вправо, как это делается при делении вручную.

Существуют два метода деления: с в о с с т а н о в л е н и е м и без в о с с т а н о в л е н и я о с т а т к а .

Если при первом методе деления очередной остаток отрица­ тельный, то для получения следующего разряда частного восста­ навливается предыдущий положительный остаток путем прибав­ ления делителя к отрицательному остатку. Восстановленный остаток сдвигается на один разряд влево и теперь уже из него вычитается делитель.

При втором метоДе деления отрицательный остаток не восстав навливается. Для определения очередного разряда частного от­ рицательный остаток сдвигается на один разряд влево и к нему прибавляется делитель. Так как сдвиг двоичного остатка iRh. на один разряд влево соответствует в этом случае умножению его на 10 (два), то прибавление к сдвинутому отрицательному остатку делителя D равносильно вычитанию делителя D из предваритель­ но восстановленного и сдвинутого остатка, т. е.

Следовательно, при таком способе продолжения деления проис­ ходит автоматическое восстановление остатка.

Наиболее просто частное получается тогда, когда производит­ ся деление абсолютных значений чисел (цифровые части делимого и делителя представлены в прямом коде). При этом знак частного определяется путем суммирования по модулю два цифр, изобра­ жающих знаки делимого и делителя. Как и при умножении, знак частного приформировывает-ся к цифровой части в конце деления. Разряды частного определяются по следующему пра­ вилу: если полученная очередная разность положительна, то в соответствующий разряд частного заносится 1, если отрица­ тельна, то 0.

Если числа представляются правильными дробями, то при пер­ вом вычитании делителя из делимого определяется значение це­ лой части частного (значение разряда слева от запятой). Очевид­ но, что для исключения переполнения делитель должен быть боль­ ше делимого. В противном случае возникает переполнение, так как в результате вычитания делителя из делимого получится по­ ложительный остаток, и, следовательно, разряд целой части част* ного будет равен единице.

При делении правильных дробей частное анализируется на пе­ реполнение и вырабатывается соответствующий признак резуль­ тата ПР. Признак ПР=11 вырабатывается, когда первый остаток положительный, т. е. делитель меньше делимого. Могут также вы­ рабатываться специальные признаки результата по знаку частного, указывающие его величину по отношению к нулю.

57

Пример 2.13. Рассмотрим процесс деления с восстановлением остатка.

Пример 2.14. Рассмотрим процессы деления без восст ановлеиия остатка.

В машинах обычно реализуется деление без восстановления остатка, не требующее лишних действий, связанных с восстанов­ лениями остатков и, следовательно, удлиняющих процесс деления.

Как показано в примере 2.14, особенность применения обрат­ ного модифицированного кода состоит в том, что единица, вытал­ киваемая при сдвиге из старшего знакового разряда, не теряется, как в случае дополнительного кода, а передается по цепи циклит ческого переноса в младший цифровой разряд.

59