книги из ГПНТБ / Дроздов Е.А. Многопрограммные цифровые вычислительные машины

Количество (N) различных цифр, используемых для изображе­ ния чисел в позиционной системе счисления, называется основа­

нием системы счисления.

Основание (N ) позиционной системы счисления указывает, во сколько раз единица (&+1)-го разряда больше единицы младшего £-го разряда, а цифра ад соответствует количеству единиц k-ro раз­ ряда, содержащихся в числе. Учитывая это, число (2.1) можно представить в виде суммы

Основание N позиционной системы счисления определяет и ее название. Например, общепринятая десятичная система счисления имеет основание N=10. Любое число в этой системе записывается с помощью десяти различных цифр: ад= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Исторически так сложилось, что именно десятичная система оказалась общепринятой, широко применяемой при ручном счете и в электромеханических вычислительных устройствах. Для электрон­ ных цифровых вычислительных машин оказались удобными другие системы счисления (например, двоичная, восьмеричная и шестна­ дцатеричная с основаниями соответственно два, восемь и шестна­ дцать) .

Для записи чисел в двоичной системе счисления используются

цифрам добавлены шесть прописных букв латинского алфавита,

Втабл. 2.1 приведены примеры записи произвольного ряда де­ сятичных чисел в перечисленных системах счисления. Эти записи показывают, что основание любой системы счисления изображается цифрами той же системы в виде «10», хотя для десятичной системы это будет десять, для двоичной — два и т. д.

Вэлектронных цифровых вычислительных машинах наиболее просто реализуются процессы выполнения арифметических и ло­ гических действий над числами, представляемыми в двоичной системе счисления. Это объясняется следующими ее достоин­

ствами.

Во-первых, для представления двоичных чисел в машинах мож­ но использовать достаточно простые и надежные электронные эле­ менты, имеющие лишь два устойчивых состояния. Одно из таких состояний принимается соответствующим коду 1, другое — 0.

Во-вторых, в двоичной системе счисления очень просто выпол­ няются арифметические и логические операции над числами. Дей­

30

Многоразрядные двоичные числа складываются, вычитаются, умножаются и делятся по тем же правилам, что и в десятичной си­ стеме, как показано в табл. 2.4.

Некоторое неудобство двоичной системы счисления заключается в необходимости перевода в двоичную форму исходных числовых данных, представленных в десятичной системе. Однако данное

31

обстоятельство несущественно, поскольку этот перевод при вводе исходных данных в машину выполняется автоматически самой ма­ шиной по специальной подпрограмме или просто команде. Ана­ логичным образом и при выдаче результатов машина автоматиче­ ски переводит двоичные числа в десятичную систему счисления.'

Перевод числа (в общем случае любого смешанного) из десятичной системы счисления в двоичную и обратно обычно выполняется по универсальному алго­ ритму, заключающемуся: 1 ) в последовательном делении целой части и образую­ щихся целых частных на основание новой системы счисления и 2 ) в последова­ тельном умножении дробной части и дробных частей получающихся произведе­ ний на то же основание, записанное, как и в первом случае, в исходной системе счисления.

При переводе целой части получающиеся в результате процесса последова­ тельного деления остатки представляют цифры целой части числа в новой си­ стеме счисления, записанные цифрами исходной системы счисления. Последний остаток является старшей цифрой переведенного числа.

При переводе дробной части числа целые части, получающиеся при каждом умножении, не участвуют в последующих умножениях. Эти целые части пред­ ставляют цифры дробной части исходного числа в новой системе счисления, изо­ браженные цифрами старой системы. Значение первой целой части является пер­ вой цифрой после запятой переведенного числа.

Пример 2 .1. Требуется перевести десятичное число <4(1(y = 30.6 в двоичную

32

рассматриваемом примере, то производят округление, руководствуясь заданной

счисления.

Основание десятичной системы счисления в двоичной записи имеет вид 1010. Поэтому при переводе целую часть Д^2) будем последовательно делить, а дроб­

ную часть Ау) — последовательно умножать на число 1 0 1 0 .

последовательные преобразования, пользуясь таблицами сложения и умножения исходной системы счисления. Нетрудно самостоятельно убедиться, что эти таб­ лицы, например, для восьмеричной системы счисления будут отличными от таб­ лиц десятичной системы. .

33

Следует заметить, что кроме изложенных универсальных алгоритмов пере­ вод можно осуществлять непосредственно по формуле (2.2). На основе этой фор­ мулы, например, составляют программы машинного перевода чисел из десятич­ ной системы счисления в двоичную. Формула (2.2) также оказывается удобной при ручном переводе из восьмеричной или шестнадцатеричной системы в деся­ тичную (но не наоборот!). При этом вычисления выполняют по схеме Горнера:

— сначала находится произведение цифры старшего разряда числа на осно­ вание исходной системы счисления, к которому прибавляется следующая цифра переводимого числа;

— затем полученная сумма также умножается на основание, к произведе­ нию прибавляется следующая цифра и т. д. до последнего этапа, на котором осуществляется только прибавление цифры младшего разряда без последующего умножения.

Пример 2.3. Перевести восьмеричное число A(g) = 775 и шестнадцатерич­

Для осуществления автоматического перевода десятичных чи­ сел в двоичную систему счисления необходимо вначале каким-то образом ввести в машину эти десятичные числа, т. е. представить их с помощью комбинаций состояний двухпозиционных элементов, из которых построена машина. Для этой цели используется двоич­ но-десятичная запись (кодирование) чисел.

При двоично-десятичной записи каждая цифра десятичного чи­ сла заменяется четырехразрядным двоичным числом (тетрадой). Например, десятичное число/4(,0)= 983,65 в двоично-десятичной

записи будет иметь вид

Л(2—10) = 1°01 1000 0011 0110 0101.

Согласно сделанному выше замечанию относительно формулы (2.2) при пе­ реводе двоично-десятичного числа в двоичную систему счисления каждая деся­ тичная цифра, представленная двоичной тетрадой, множится на основание деся­ тичной системы в соответствующей степени, записанное в двоичной системе счисления. Искомое двоичное число формируется как сумма полученных произ­ ведений. Например,

183 = 1-102 + 8-101+3-100-н-0001.1100J00 + JOOO-IOIO + 001М = 10Ц0Ш.

34

В современных машинах, предназначаемых, например, для об­ работки экономической информации, характеризующейся большим количеством исходных данных и результатов, предусматривается возможность выполнения операций непосредственно в десятичной системе счисления над числами, представленными в двоично-деся­ тичной форме.

Восьмеричная система счисления используется при программи­ ровании задач для записи на бланках порядковых номеров команд, кодов операций и адресов в командах. Восьмеричная запись удоб­ на тем, что перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную осуществляется очень просто. Так как основание восьме­ ричной системы 8 = 23, т. е. представляет собой целую степень числа два, то для перевода восьмеричного числа в двоичное достаточно

Простота перевода восьмеричных чисел в двоичные позволяет осуществлять перевод программы в двоичное изображение с по­ мощью несложных шифраторов внешних устройств при наборе команд на соответствующей клавиатуре.

Для перевода двоичного числа в восьмеричную систему счисления вручную необходимо его разбить на триады вправо и влево от запятой и каждую триаду заменить восьмеричной цифрой. Если правая и левая крайние триады будут неполными, то двоичное число необходимо соответственно справа и слева дополнить нулями, как показано в примере перевода двоичного числа

А (2) = 1011110. 1011:

Простота и наглядность такого перевода упрощает чтение двоичных чисел, отображаемых на панелях сигнализации машин, и позволяет делать короткие восьмеричные записи считываемых таким образом двоичных кодов в процессе отладки программ и контроля работы машины.

Шестнадцатеричная система счисления, в которой основание 16= 24, широко используется в новейших отечественных и зарубеж­ ных многопрограммных ЦВМ. Она позволяет делать еще .более компактные записи двоичных кодов, что очень важно, поскольку диапазоны разрядности чисел, команд и специальных двоичных слов, которыми оперируют эти машины, стали значительно шире. Кроме того, в разрабатываемых и выпускаемых в настоящее время ЦВМ третьего поколения в качестве основной единицы информации все шире используется восьмиразрядный двоичный код — байт (от английского слова byte — слог). Переменные разрядности чисел и команд устанавливаются кратными байту. Двоичные коды байтов при записи на бланках удобно представляются двухразрядными шестнадцатеричными числами. Поэтому при подготовке к вводу в

35

I

такие машины программ, различных специальных слов и при пе­ чати выдаваемой информации, не переводимой в десятичную систе­ му, используется шестнадцатеричная система счисления. Примене­ ние ее оказывается не сложнее, чем восьмеричной системы. Отличие состоит лишь в том, что при переводе в шестнадцатеричную систе­ му счисления двоичные числа разбиваются влево и вправо от запя­ той на тетрады, а при обратном переводе каждая шестнадцатерич­ ная цифра заменяется двоичной тетрадой. Например, двоичному числу Л(2) = 1011 ОНО 1100 001 Соответствует шестнадцатеричное

"6 ""с"" Т'

Л(16) = В 6 СЗ и наоборот: Л(16) = А7-^ Л(2) == 1010 0111.

§ 2.2. Формы представления чисел

Для выполнения арифметических действий над числами цифро­ вая машина должна «уметь» оперировать положительными и отри­ цательными числами различных порядков.

В машинах числа представляются фиксированными или пере­ менными в определенных пределах количествами разрядов. Для представления чисел различных порядков применяются две формы изображения: полулогарифмическая с плавающей запятой и есте­ ственная с фиксированным положением запятой.

Полулогарифмическая форма представления с плавающей запя­

что в логарифмической форме представляется не все число, а толь­ ко его часть N~p.

В записи (2.4) положение запятой в мантиссе т определяется величиной порядка р. С изменением порядка в большую или мень­ шую сторону запятая соответственно перемещается влево или вправо, т. е. «плавает» в изображении числа.

В разрядной сетке машины число, соответствующее изображе­ нию (2.4), записывается в виде пары чисел ± р и ±т . Машины, использующие только такое представление чисел, называются м а-

36

то число А называют н о р м а л и з о в а н н ы м , в противном

мализованное. Во втором случае |/га | <-^-(нарушение нормализа­

ции вправо), где 10 (два) — основание двоичной системы счисле­ ния. В процессе вычислений возможно появление мантиссы | /га |>1 (нарушение нормализации влево). Такой случай может возникнуть, например, при сложении нормализованных чисел одинакового по­ рядка, в результате чего слева от запятой появляется единица.

Нормализованное представление чисел позволяет сохранять в разрядной сетке большее количество значащих цифр и, следова­ тельно, повышает точность вычислений, а также упрощает дей­ ствия над порядками и мантиссами. Однако может возникнуть не­ обходимость в выполнении действий и над ненормализованными числами. Поэтому в системах команд современных машин преду­ сматривается возможность выполнения действий как с автомати­ ческой нормализацией результатов операций, так и без нормали­ зации. Процесс нормализации состоит в сдвиге мантиссы влево или вправо таким образом, чтобы она удовлетворяла неравенству (2.5). Одновременно со сдвигом соответственно уменьшается или увели­ чивается порядок. При сравнительно небольших количествах раз­ рядов, отводимых на мантиссы и порядки, полулогарифмическая форма обеспечивает весьма широкий диапазон представления чи­ сел. Поэтому вычисления с плавающей запятой очень удобны для научных и инженерных задач, при решении которых часто прихо­ дится иметь дело с величинами, изменяющимися в больших преде­ лах. Широкий диапазон представления позволяет в подавляющем большинстве случаев решать задачи не прибегая к масштабирова­ нию используемых в них математических величин.

Пусть для представления значащих разрядов мантиссы /га и по­ рядка р в машине отводится соответственно I и q двоичных разря­

Такой диапазон представления двоичных чисел соответствует пред­ ставлению десятичных чисел в пределах 1 0 ~19< | Л(10)| < 1019.

Интересно отметить, что при том же количестве двоичных раз­ рядов I и q диапазон представления чисел можно существенно рас­

37

ширить, если вычисления с плавающей запятой производить в си­ стеме счисления с основанием не 2, a 2h (например, при &= 4, 24=16). В этом случае мантиссы чисел будут представляться шест­ надцатеричными цифрами, каждая из которых занимает, четыре двоичных разряда и может принимать значения от 0 до 15 (от О до F). Согласно (2.5) мантиссы нормализованных чисел теперь бу­ дут заключены в пределах Vie и 1 (0 ,0 0 0 1 0 ... 0 -т-0 ,1 1 1 1 1 ... 1). Ана­ логично (2 .6 ) диапазон представления таких чисел будет опреде­ ляться неравенством

При нормализации шестнадцатеричных мантисс однократный сдвиг производится сразу на четыре разряда. Это ускоряет выпол­ нение операций, так как уменьшается время, затрачиваемое на сдвиги, в частности, при нормализациях. Однако при оперировании с такими мантиссами несколько уменьшается точность представле­ ния чисел по сравнению со случаем, когда те же мантиссы рассмат­

старшего значащего разряда всех чисел, по абсолютной величине

«с фиксированной запятой».

Если запятая зафиксирована слева, то арифметические действия выполняются над двоичными числами, выраженными в виде пра­ вильных дробей и независимо от их величины обычно представлен­ ными одинаковым количеством разрядов, составляющим так назы­ ваемую разрядную сетку машины. В результате действий могут по­

новение чисел, по абсолютной величине больших единицы или рав­

использоваться для дальнейших вычислений, поскольку теряются старшие значащие разряды чисел. Числа, по абсолютной величине меньшие единицы младшего разряда разрядной сетки, называются м а ш и н н ы м нулем.

38

Диапазон представления правильных двоичных дробей

где I — число цифровых разрядов правее запятой.

Этот диапазон значительно меньше, чем у чисел с плавающей запятой, имеющих такую же /-разрядную мантиссу. Тем не менее в первых ЦВМ широко использовалось представление чисел в виде правильных дробей с фиксированной запятой. При решении задач на таких машинах для предотвращения переполнения разрядной сетки приходится масштабировать величины, участвующие в вы­ числениях. В зависимости от сложности задачи процесс масштаби­ рования может быть весьма трудоемким.

Во многих задачах величины, которыми приходится оперировать при вычислениях, либо попросту являются целыми числами, либо их удобно в расчетах представлять целыми. Последнее имеет ме­ сто, когда определение порядка результатов несложно: диапазон изменения исходных величин сравнительно невелик, и над ними выполняются в основном операции сложения и вычитания. К та­ ким задачам, например, относятся учетно-плановые, статистиче­ ские и другие расчеты экономического характера. Адреса ячеек памяти также являются целыми числами, над которыми могут про­ изводиться арифметические операции.

Поэтому в современных универсальных машинах часто преду­ сматривается возможность выполнения действий над целыми числа­ ми. Такие действия могут выполняться как над двоичными числа­ ми, так и непосредственно над десятичными, представленными в двоично-десятичном коде. Целые числа при этом выравниваются по младшим разрядам (десятичные по младшим тетрадам), т. е. запятая подразумевается фиксированной справа.

Диапазон представления целых двоичных чисел в «-разрядной

При « того же порядка имеют достаточный для многих практи­ ческих задач диапазон представления и десятичные числа, разря­ ды которых кодируются двоичными тетрадами. В разрядной сетке, имеющей « двоичных позиций, можно разместить любое целое де­ сятичное число, записанное в двоично-десятичной форме:

П

Например, при «=60 верхний предел ограничивается числом

1015— 1.

Непосредственное применение в ЦВМ десятичной арифметики особенно выгодно, когда производятся сравнительно несложные

39