книги из ГПНТБ / Гуревич В.Э. Импульсно-кодовая модуляция в многоканальной телефонной связи

Если «изм =

"эффо,

г/о =

рі = 0 и

F

^asas. _2<jy j — F

—2ау )

,

Если

допустить,

что

г /макс - ^ - 0 0 ,

умин-*

с о ,

то À = l ,

a

М_{и}

=

2

2аѵ

= « э ф ф о е •

Вводя новый

измерительный эталон

ы н з м 0 = 0 , 7 7 5

В

(на

нагрузке

600

Ом)

и логарифмируя,

получим

волюм

усрм

ус­

редненной

по

всем абонентам

средней

мощности

в

децибелах:

</срм = * / 0 [ д Б ]

+0,115 <х* [ д Б ] ,

где

у 0 [ д Б ] = 2 0 І е А Ѵ

Последний

результат

совпадает

с ф-лой

(2.11), которая,

таким

об­

разом, может быть получена

как частный случай выражения (6.5).

Для расчета средней мощности АИМ сигнала в реальной си­

стеме, где

скважность всегда больше единицы, нужно получен­

ную величину М_{и)

умножить

на отношение

т д /Т к .

значе­

Оценки

функции

плотности

распределения

мгновенных

ний.

Расчет

величины

W'r (х) для больших х

приводит

к необхо­

ния, представляющие собой оценки снизу и сверху для

функции

плотности W'r

(х).

Для оценки

W'r

(х)

сверху воспользуемся интегральным нера­

венством Буняковского-Шварца, которое записывается в

виде [5]

J / (У) 8ІУ) dy^V§

f(y)

dy J g2 (y) dy,

а

Х

y

(ѵ-у0)2

W'r(x)< Св\х\ -

jexp(—2ау—2к

а \х\ e~

)dyjexp

— ^~4

dy.

П * ) < е т Ѵ ^ П ^ .

(6.6)

160

\х\уду

/ / (У) g (У) dy

>ехр

j g (У) In / (у) dy

j g (У) dy

J" g (У) dy

Положим g (у) —

ехр

(У-УоУ

.тогда ^g(y)dy=l

и при-

2оІ

У~2поу

кЧ I X I 0

" 1

ехр \ — ка\х\е.

(6.7)

2Г (а)

В частности, при а = 1

W'T(x) > -у=- ехр \— ]/'2 | х | е

Одномерная

функция распределения. Как показано в 6.1, плот­

ность распределения WT(x) относительных

мгновенных

значений

АИМ сигнала на входе группового тракта системы связи

ВД-ИКМ

(т. е. на входе

компрессора) описывается

выражениями

(6.1) и

6—70

161

и = иы

(1 +1Х)1*'1-

-Sign*!,

(6.8)

где *і

=

После преобразования

выражений

(6.1)

и (6.3)

получим

W(x1)

=

r]W'(x1)+(l-v^ô(x1),

(6.9)

г д е

[ \

( в | Г ' ' - 1 ) ] 0 + ' . -

(6.10)

\Г(*і)

=

я Х х ' ' $ ] ( - і У

in д,

2 Au

2Ща)

а

остальные

обозначения

те

w'tx,)

же,

что

и в

(6.1).

W

(х\)

В

выражение

для

US

ВХОДИТ

ВеЛИЧИНа

# с м а к с =

= «макс/Иэфф мин

—

УСЛОВНЫЙ

пик-фактор «самого слабого»

абонента,

—

которая

опреде­

ляется

из

диаграммы

уровней

входного сигнала

(рис.

4.10) и

равна

# с макс = 904-1800

при

ay =(0,5-г-1)

Нп.

На

рис.

6.5

представлены

графики

функции

плотности

W'(xi)

яри

а = 1 ,

Оу=0,5

Нп,

р = 3,

ц = 50

(кривая

1)

и

(х =

0,5

n

2

= 100

(кривая 2).

Как

видно

из

этих

кривых,

увеличение

степени

компрессии

\х

вызы­

вает сдвиг

максимумов

функ­

ции плотности в сторону боль­

ших значений

Для

облегчения

расчетов

0,5

1 Mir/

по ф-ле /(6.10) можно исполь-

зовать ф-лу(б.З),

изменив мас­

Рис. 6.5. Плотность

распределения мгао-

штаб случайной переменной со-

равенству А

(В„

— 1)

венных значении АИМ сигнала на вы-

r

J

n v

ß

>

ходе

логарифмического компрессора

= / C a | x | ,

откуда

жет быть получена

при помощи той же методики, что была

приме­

нена

в 6.1 для одномерной

плотности, а именно

— путем усредне­

ния

выражения

(2.9)

по всем

возможным

значениям

параметра

« Э Ф Ф - Однако

ввиду

громоздкости

соответствующих

выкладок, а

также

ввиду

того, что аналитическое

выражение

двумерной функ

ции

плотности в дальнейшем

используется

только

для

сугубо

ориентировочных

расчетов,

примем, что плотность

распределения

многоканального

АИМ сигнала

описывается

тем же

выражением

(2.9), в которое в качестве

параметра вместо «Эфф входит средне­

квадратичное

напряжение «ЭФФО

канала,

среднего по уровню сред­

ней

мощности.

Закон распределения мгновенных значений «Вых,

«вых

га вы­

ходе безынерционного компрессора

найдем по ф-ле [7]

^2(Ивь,х. " в ы

. Т ) = Wt{U,

д(и,

их

)

х г

Ux,

Х)

д(ив

г)

где якобиан преобразования

ди

ди

д(и,

их

)

д^вых

<Чых X

ди

дих

д(ив

г)

дих

дих

дивых

а"выхт

Не

приводя громоздких

формул

для

плотности

вероятностей

У2 («вых,

u B b I xt ,

%), перейдем

сразу

к

двумерной

интегральной

функции

распределения

Р2{хи

хІХ,

х)

2л и.эффгѴ 1

-ГЧХ) X

u(xt) "т ( Х\х)

и"— 2г (т)

шх

X

j

j •

е х р , -

2

. dudu

+

2 " э ф ф г и - ^ ) ]

— СО

—00

Pc

X

2п

иі

1

"

^эфф с У

X

j

j

е х р -

и2 — 2г (т) иих

+

и\

. duudr

(6.11)

2 " э ф ф с [ 1 - ^ ) 1

где

Х

І =

, х

\ т =

» u(XiJ

и

W t

( x I T )

определяются

согласно

ммакс

"макс

ѵ

'

(6.8),

а летальные

величины те же, что в ф-лах

(2.8)

и

(2.9).

Такое представление интегральной функции распределения по­

зволяет воспользоваться

для

ее расчета

таблицами

двумерной

нормальной функции

распределения,

например (8, 9].

Выражение

(6.11), как и (2.9), справедливо

только при условии полной

загруз­

ки каналов, т. е. при г] = 1.

ставе импульсной последовательности;

2)

среднее

значение

апі

амплитуды z'-го импульса п-и

кодовой

группы (г'=1,2,

..., т,

п = 0,

± 1 ,

±2...);

3)

дисперсия

в„}

амплитуды

г'-го импульса п-и кодовой

группы;

4) корреляционный момент (второй смешанный момент, кова-

риация) MnjiK

амплитуд

г'-го

и к-ѵо импульсов соответственно п-и

и /-й

кодовой

группы

или

коэффициент

корреляции

г п і і к

=

= MnjiK /öniOjK

;

спектр

импульсно-кодового сигнала

G (со) и

5)

энергетический

его автокорреляционная

функция

В(х).

Указанные

статистические

характеристики

определяются

как

ним мощностям или уровням всех абонентов,

как

это сделано в

6.1, то можно считать сигнал на входе кодера

стационарным

слу­

чайным процессом (в том же смысле, в каком

это

принято

в 2.1

щенного» входного сигнала кодера системы

ВД-ИКМ характери­

зуется интегральной кривой

1 на рис. 6.6 и

функцией плотности

(6.9), а также кривыми рис.

6.5.

" ж

Pt„=

j

W(u)du

=

F(ut+l)

— F(ut), i = 1, 2, • •

-,пкв-2;

ui

Рокг =

j

W(u)du

=

F(u1)\

00

P(»-I)KP

= j

W(u)du=\-F(un_l),

n—l

ложения

этой группы в составе импульсно-кодовой

последователь­

ности, т.

е. при любом п а-аг — аи

—°f > Мппік

= М »«. ^ппік—

ительного расположения этих групп в импульсно-кодовой

после-

овательности, т. е. от разности их

номеров

1=п—/, но не от

абсо-

отных значений п и /: Мфк — Мик,

гпіік =

r l i K .

Избыточность

импульсно-кодового

сигнала. Если

число уров­

ней (шагов) квантования равно пѵъ>

то для обозначения всех воз­

можных уровней

каждая двоичная

кодовая группа

равномерного

сти выполняется

равенство

m K B = log2 ttK B,

т. е. « к в = 2

к в ,

где

т к в —

целое число.

Если бы все

мгновенные

значения кодируемого

сигнала

были

равновероятны

(кривая 2 на рис. 6.7),

то при любом

минималь­

соответствует тому известному і[7] факту, что

среди

всех

воз­

можных законов

распределения

непрерывной

случайной

величи­

ны,

ограниченной

некоторыми

пределами

(в

нашем случае

пре­

делами —«макс, «макс), максимальной

дифференциальной

энтро­

пией обладает равномерный закон распределения.

Если же закон

распределения кодируемого

сигнала

отличает­

ся

от равномерного (а это

справедливо

как

для систем

В Д - И К М ,

так

и для систем

Ч Д - И К М ,

см. рис. 6.6),

то

даже при

минималь­

быточность в зависимости от структуры

применяемого

двоичного

кода

может выражаться в

неравновероятности символов

«1» и

«0» и (или) в наличии статистической

зависимости

между

эле­

ментарными посылками сигнала.

Не

следует смешивать

отмеченную

избыточность

импульсно-

явления избыточности связаны между собой.

Статистические характеристики

амплитуд

импульсов.

Рассмот­

рим

методику

вычисления

статистических

характеристик ампли­

туд

отдельных

импульсов

и их

совокупности

[10], предполагая

кодируемый сигнал стационарным. Обозначим

через

АИ = Л^1 ) —

—Л<,0) разность амплитуд

и Л^" двоичных сигналов, соот­

а, = Л<°> + л Д и .

(6-12)

В том частном случае, когда Л*,0'

= 0

(символу

«0» соответствует

пробел в составе сигнала), аг = РіАи-

Если обозначить через рі,ік

(г,

q)

безусловную

вероятность

совместного появления символа

г

в

г'-м разряде

п-й

кодовой груп-

пы и символа

q в к-м разряде /-Й

кодовой

группы

(п—j — l), то

корреляционный

момент

Миік

амплитуд

соответствующих им­

пульсов равен

(усреднение

и здесь

производится по

множеству) :

Ми,к

= £

V (Л( 0 ) +

г А и

- а г ) ( Л ( 0 ) + Ö A _ Ö K ) ^ i

Ä ( r ,

<?).

/•=0 <7=0

Упрощая это выражение, можно получить

МИК

= ЬЦРик-РиЪ).

(6.13)

где для сокращения обозначено pt lK

(1, 1) = pt і к .

В частности, дисперсия амплитуды

(/ = 0, і = к) равна

Мо.« =

*? = А 2 л ( 1

- Р < ) .

(6.14)

откуда коэффициент корреляции

г

Рі.Ік —

РіР*

ѵРіРк^Рдо-

РК)

'

1 Л к

( 6

Л 5 )

Натуральный

двоичный

код. При использовании

этого кода

каждому уровню

(шагу)

квантования ставится

в

соответствие

(рис. 6.76, 6.8) кодовая группа, выражающая

его

порядковый

РІ = 0,5

(і =

1, 2, • . -, mK B ),

„к—2

Ром =

р 2 _ ,

(6.16)

J]

(Аг+Вг),

і > 2 ,

к>і,

2=0