книги из ГПНТБ / Гульельми А.В. Геомагнитные пульсации и диагностика магнитосферы

где

/ — координата вдоль силовой линии;

q — расстояние

от осе­

вой

линии; Ѳ — угол, отсчитываемый от

направления

главной

нальна,

причем

g l

=

[ 1 _

к

(Z) q cos Ѳ] 2 ,

g 2 =

1,

g3 =

q\

(10.12)

Считая геомагнитное поле дипольным, но пренебрегая

кривизной

осевой линии 3 ,

можно

записать уравнение твнстовых колебаний в

виде

=

Я,Сі|),

(10.13)

где

rix ^

1 ™ '

dz'

"

^

р(0) (1 + З

а ? ) ѵ

'

X (х0)

=

4яг!р (0) о*

Здесь

Л/ — магнитный

момент;

р = mtN

— плотность

плазмы;

X — cos f>; О — полярный угол; х0 =

cos г}„; т>0

— полярный угол

пересечения

с

поверхностью

Земли

осевой

линии

колеблющейся

трубки;

і|) =

Е2; ѵ = 1/2. Интересно

отметить,

что уравнения то­

поля, однородного

поля, параллельного или

аптппараллельного

оси

диполя, и

поля

симметричного кругового

тока.

Ограничимся

для

простоты

чисто

диполыюй

аппроксимацией и

положпм

= cos нуѴ2, £2

= siu2 f}//-,

£ s = ср.

имеют

вид [153]4

г ! =

- в Г ,

g a = Вгг*Ал*ь

, g 3 = r-sin-f>.

(10.14)

получим

уравнение

(10.13)

для

тороидальных

(гр = Е2,

ѵ = 0)

и гофрированных (ар = Е3,

ѵ =

1) колебаний.

Итак,

мы

имеем

три одномерных

уравнения, описывающих

альвеновские

колебания весьма различной структуры (рис. 15).

П р и V — 1/2

уравнение (10.13) приближенное, так как записано в

нулевом приближении по кривизне магнитной

трубки.

Однако

магнитосфера

при ѵ —- 1/2 может

быть,

вообще говоря, аксиально

J = 0

О =

1/2

ѵ> =

/

нитосферу аксиально симметричной и положить а =

3, дЕ/д(р

= 0,

g3 д

д

Е3

= 0.

(10.15)

I Vf

Vf дѵ

Vf

В диполыіых

координатах это уравнение приобретает вид

Э2

sin'2

1

(10.16)

3r>

sin О dû

Э2

1 — а-з

о2

R)x,

dm

Л2

cb2" X = Л.П (ж,

(10.17)

Bl

Р (Я,

х)

4лы2 р r'i

е

г <>•

где

% =

R sin $EV,

R = r/re,

X =

cos t>,

Вв =

5 ( 1 , 0 ) ,

,,e = p (1,0).

§ 1 1

Собственные

колебания

магнитосферы

Проанализируем

спектр альвеновскпх колебапий

магнитосфе­

ры. Рассмотрим три мода: тороидальные и гофрированные, аппрок­

колебания

магнитных

силовых

трубок. Методом возмущений и

численным

путем исследуем

иеэквпдпстаитность гармоник

и поля­

ризационное расщепление

спектра.

Д л я расчета спектра собственных частот

необходимо

к

уравне­

ниям (10.13) добавить

граничные

условия.

Пренебрегая

влиянием

хр(±хо)

= 0.

(11.1)

р(х)

= рф)(1-х°-)-'Р(х)-

(11-2)

Здесь р (0)— плотность плазмы в вершине силовой линии; Р (0) •— 1.

Величины

р (0), s u вид

функции F (х)

могут,

вообще

говоря,

произвольным образом зависеть от х0 = ]Лі

— 1/L, где L

— рас ­

стояние от

центра Земли

до вершины линии в единицах

ге.

Аналитические решения (10.13) могут быть найдены лишь при

некоторых

специальных выборах функции

р (х).

Например,

если

V = 0,

s — 6,

то функции

Бесселя будут

решениями

(10.13)

при

F — (1 -f- ах);

при F = (1 — ах)~* точными решениями

будут

фор­

мулы

ВКБ - приближения .

Оба указанных

типа

распределения

симметричного распределения вида F

= (1 -f- ах2)'2

решения могут

быть найдены

в тригонометрических

функциях.

Считая, что р (.г)

спадает вдоль

силовых

линий не быстрее, чем I / / - 6 , положим а ]> 0

п напишем без вывода

выражение

для собственных значений в

этом

случае

1

А,

/

лп Y- I Y a XQ

(11.3)

2*-> I

{ arclg Y',

'n [

где

IL — 1, 2,

... — номер

гармоники.

ственным

же общим методом решения задачи является численный

расчет.

Н и ж е

приводятся результаты расчета спектра альвеиовскнх

ния . При NS-колебаииях

силовые линии испытывают растяжения,

а при EW - колебаниях не только растяжения, но и изгиб, т. е.

кручение. В результате

прн EW - колебаниях возникает дополни­

зывается

несколько выше,

чем при NS-колебанпях.

Д л я

расчета перепишем

уравнения (10.13)

в виде

Lip = Аір,

(11.4

Lap =

Aap.

(11.5)

Здесь L

= — (1/д(х))(а*/ах2);

L = — [(1 + Зхг)

lq(x)](d/dx) (1/(1 +

q (X) =

Ір (x) I p (0)] (1 -

x°-f; a = 4яр (0) 4 / i l / 2 (1 - 4)s;

гр == Eo,

A = ato2; ip —

E3; A — a:o2.

^ ( ± * о ) = Î M ± * o ) = 0.

Н а с интересует разность собственных

частот бсо,, — ш„ — со,,

альвеновских колебаний одной

и той

же

магнитной

оболочки

(п — 1, 2, ... — номер гар моники).

Представим

оператор

L B вид&

L

= L + Û,

где

Û = M5x/q (.r) (1 - j - 3,r2 )] (d/d.c).

Оценим

разность

Ап=Хп—hn

методом возмущений,рассматривая U как малую

поправ­

ку к оператору L . Поскольку собственные значения Я„, очевидно,

не

вырождены,

то теория возмущений приводит

к ряду

и п т = J ipn^mda:.

(11.7)

/со„ ~

Ап/2Хп. Например,

если

р оэ г"6 , то

q

= 1, Я„

=

(лп/2х0)2,

•фп = хо'1'

sin (лп/2х0)

(х

—

х0)

и в

первом

порядке теории

возму­

щений

имеем

А<" = ~ і \

é r m , a

i n t

^ x - X o ) d x

-

( 1 1 - 8 )

Ö

При х0

1 численная

оценка интеграла в (11.8)

приводит

к

ôco^/

/ШІ

ж

- 0,23 .

Сделаем также расчет ôcù„/con в

ВКБ - приближении . П р и

боль­

ших номерах гармоник

(/?

;>> 1) спектр EW - колебаиий

дается

фор­

мулой

яга

Д л я того,

чтобы получить

спектр NS-колебаиий в том ж е

прибли ­

жении

по

п,

приведем

уравнение

(11.5) к

виду

и"-\-

[%q(x)

— p(x)]u

=

0

путем

замены и = УѴЩЦ,

где р

= (V/2V)

+

(V/2V)2,

V

(х) =

=

(1 -р-Зх2 )'1 .

Граничные

условия

при

этом

не

изменяются:

и. (4; х0)

= 0. Нетрудно убедиться, что внутри интервала ( —х0,

-f- х0)

точек

поворота нет. Поэтому спектр для высоких номеров

гар­

моник

определяется

формулой

J

У

Xnq (аг) -

р (х) dx = я/г.

(11.10)

ô(û„.

6

f

..А-т-г ,

'Г

(1 — 6;ѵ=)

г/.г-

. . . . . .

о

о

Еслп <7 =

1,

г 0 ^ 1 ,

то

бсо„/соп

Ä S —

0,2/н2.

Итак,

частота

E W - к о л е б а н и й

несколько

выше

частоты

NS-

колебаний

одной и той же магнитной

оболочки. Это

расщепление

спектра

быстро

( ~

/г"2 ) уменьшается с ростом номера гармоники.

С точки

зрения

теории попеки поляризационного

расщепления

спектра

пульсаций

были бы целесообразны, так как

наличие

ИЛИ

отсутствие расщепления позволило бы судить о применимости

ис­

ходной модели. Если же стать на позицию гпдромагнитной

диагнос­

тики, то более важен тот факт,

что

для второй-третьей

гармони­

ки величина

расщепления весьма

невелика.

Это

значит,

что

при

диагностике по периоду второй-третьей

гармоники

можно

не инте­

ресоваться конкретной структурой поля альвеновских

колебаний в .

Специальных

поисков

расщепления

спектра

не

проводилось.

проявляться . Тем: не менее

в

опубликованпых статьях мы

нашлп

несколько событий, в которых поляризационное

расщепление, по-

видимому,

действительно наблюдалось. В [182] приведены

магни­

тограммы

так называемых гигантских

пульсаций,

обнаруженных

12.IX

1930

г. в — 9 h

UT на

обсерваториях

Абпско

и Тромсё. Пе­

риоды колебаний

NS-

и E W - с о с т а в л я ю щ и х

равны TVs ~

125 се?,- и

^ Е \ Ѵ ~

116

сек, т. е. расщепление б со/со Ä S — 0,08

имеет

нужный

знак.

В [24] опубликованы

спектры

пульсаций,

зарегистрирован­

ных вблизи Монреаля

8 . I I I

1967 г.

Спектральный

пик

E W - K O M -

поненты смещен

отноептельно

пика

NS-компоненты

на

величину

~ Ю ° о

( 2 N S > 2 W ,

[24, рис. 3]).

Неэквидистантность гармоник. Введем величину

характеризующую

неэквидистантность

гармоник

ііп

^> ??.). Сдела­

ем оценку к п т для спектра типа (11.3). Пр и а = 0

спектр

эквидис­

тантен. Если а >

0, т. е. плотность плазмы р (,т)

спадает

с

удале­

нием от Земли медленнее, чем 1/г°, из (11.3), (11.12)

следует,

что не-

эквидистаитиость существенно положительна.

Д л я случаев ѵ = 1/2;

1 подобное утверждение при п = 1 и ?п^>1

следует из расчетов,

Р и с.

16.

Спектр альве-

"

новскнх колебаний маг- 2,8

тітосфсры

2,6

2,2

2,0

1.8

',6

if

2

3

Ч-

5

6

7

L

чем для

двух

других.

Поэтому,

если х п т

(ѵ

=

0) ^> 0,

то

и

х „ т

(ѵ

=

1 / 2 ,

1)

0.

При других комбинациях п и т. качеств en пый ана­

лиз неэквидистантности можно провести путем оценок

собственных

значений сверху и снизу. Однако для количественного

расчета

сле­

дует

применить

численные методы

[171].

Н и ж е

приводятся

основные

результаты

численного

расчета

спектра

альвеновских

колебаний,

сделанного

при следующих

па­

раметрах

задачи:

F =

1; s = 2,

3,

4, 5,

6; v

=

0,

V,,

1;

п = 1,

2,

3;

L =

1,5—8. Рнс.

16 иллюстрирует

зависимость

величины

Л„

=

Я,іѴн, пропорциональной

со„, от L , ѵ и п. Обратим

внимание

на неоднозначность спектра: частота тороидальных

колебаний

выше частоты гофрированных колебаний одной и той же

оболочки.

При

л !> 3 величина расщепления не превосходит толщины

линий

чественного

анализа.

Д л я случая ѵ =

Ѵ2

собственные

значения

лежат

между соответствующими

значениями

для

ѵ =

0

и

л> =

1.

(Они

здесь

не

показаны,

чтобы

не загромождать

рисунок.) К а к

видно из рисунка, при L ^> 3 зависимость Л„ от L слабая, так что

зависимость

<м„ (L) практически

полностью

определяется

факто­

ром 1/L4 p (0)

[см. (10.13)].

Н а

рис.

17

показана

зависимость

пеэквидистантиости

х „ т

от

L , v и s при

il

=

1 и m

=

2,

3, 4. Значения

к п т при

комбинациях

индексов а =

2,

m =

3,

4 и

п =

3, m = 4 могут

быть получены

с

помощью формулы (11.12). П р и более высоких номерах п

неэквиди-

подчеркнуть, что в отличие от Хп неэквпдпстантіюсть

х „ ш вообще

ие зависит от р (0), а определяется при данном L и ѵ исключительно

формой распределения плазмы вдоль силовых линий

геомагнит­

вклад

в величину периода ( ~ L3). Таким образом, T zn

L *

Yр0/

'j/A.,

где

р 0

=

р (0). Внутри плазмосферы

р 0 уменьшается

с

удалением

от

Земли,

что

также дает вклад в увеличение

Т с ростом L .

Н а

границе плазмосферы возникает резкий излом фупкции T

(L),

после

которого

восстанавливается

обычный

рост Т

с

L .

Расчет зависимости периода колебаний от широты велся по

формуле

;

м

Уфы

}

Р и с. 18. Зависимость

500

Е с л и

подставить сюда

р 0

=

mpN0.

тѵ

= 1,67-10 2 4 г,

ге =

6,37 X

Х І О 8

см

и M

- 8,1-102 5

гс-см3,

то

получим

7,(,ѵ) =

5,8210"2Z,'J

у

Na/VW .

(11.14)

Б ы л и

использованы

результаты

расчета

(L) при s =

4, v =

= 0, 1,11=1,2

и профили N0

(L), приведенные в обзоре [15]. Рис. 18

дает

представление

о

полученной

таким

образом

зависимости

периода колебаний от широты пересечения

с поверхностью

Земли

колеблющейся

магнитной

оболочки.

Экспериментальные

точки

бинации

индексов: 4 — ѵ = 1,

п = 1;

5 — ѵ = 0, п =

1;

6 —

v = 0,

п = 2.

Сплошные

кривые

рассчитаны в

предположении,

что плазмопауза отсутствует, штриховые относятся к случаю,

когда

плазмопауза располагается

на

~

4. Общее соответствие между

теоретическими

и экспериментальными

результатами,

представ­

ленными на рис. 18, служит

доводом в пользу гипотезы о том, что

по крайней мере некоторые из пульсаций

Рс4, 5 есть альвеновскне

колебания

магнитосферы.

К р а т к о

обсудим вопрос о применимости приближенных методов

оценки

периода

колебаний °. Д л я

конкретности

речь будет

идти

о тороидальных

колебаниях. В ВКБ - приблнжении их спектр

опре­

деляется по формуле (11.9). Пр и г/ = (1 — Х2)2Р

имеем

Здесь

Ср — биномиальные

коэффициенты.

Если

s = 4,

а'0 =

0,9,

то р =

1, L

= 5,3 и ( / K J n )

=

(яУ2.г0 )/(1

-

.г0ѴЗ) » 2,39.

Сравнн-