книги из ГПНТБ / Гульельми А.В. Геомагнитные пульсации и диагностика магнитосферы

тору

к.

Используя формулы (6.25), (6.27) и (6.30), нетрудно убедиться,

что

при квазипродолыюм распространении

на частотах

со •< Qd

п о л я р и з а ц и я

волн почти круговая, а при квазипоперечном рас ­

пространении

— почти

линейная (сильно

сплюснутый

эллипс).

Групповая

скорость.

В реальных условиях приходится иметь

ния пакета воли не совпадает в общем случае с фазовой

скоростью

Ѵф =

со/Л"» = cht ни одной из спектральных

компонент,

на которые

можно

р а з л о ж и т ь

поле пакета.

В самом деле, представим волновое поле ар (х, t)

в виде супер­

позиции

плоских

волн:

(X,

t) = Çipfce'-**-Mky d h

m

(6.32)

Здесь і|) (ж, t) — какая-либо из компонент векторов

Е,

b или D;

со =

со (к)

—дисперсионное

соотношение

дл я волн

рассматривае­

і|з(ас, 0) = е, *^ф(зс),

(6.33)

то в (6.32) спектральная плотность і|г/,- имеет вид

i|)f t = (2я) - 3 J ср (х) <г«*-*.>* dx.

(6.34)

со (к)

= со (к0)

- j - g - (к

-

fco).

(6.35)

Е с л и подставить

теперь

(6.34)

и

(6.35) в (6.32), то после

интегри­

р о в а н и я

получим

ар (X, t) =

ф

Іх

_ g

l

А

(6.36)

6 Если ср (л) = const, т. е.

имеется

одна плоская волна, то \р,. со б (Л — /.•,,).

Видно,

что с течением времени пакет перемещается

как целое,

не меняя

своей формы, со скоростью

«п. -

ш

•

(6.37)

У м н о ж а я это

уравнение

на

Е'а и учитывая формулы (5.39) и

(5.40)

после

некоторых преобразований находим 1113]

f гр = 4

•

( 6 - 3 8 )

Здесь

W — плотность энергии волн. Таким

образом, ѵгр

есть ско­

рость переноса энергии волн.

Напишем дисперсионное уравнение для данного типа волн в

виде

M

(-о, к)

— ск — от (со, к)

=

0.

Тогда

9со

9.1/

у'9.1/

дк

J

и

/

к

[<•

со

(6.39)

дшп/ды

-

—

Г

В холодной плазме показатель преломления

зависит от у

=

cos Ѳ,

но не

зависит

от величины

| к

|. Поэтому

формула (6.39)

может

быть

переписана

в виде [110]

•_fe

l__9ft

^

_

(6.40)

г

р

дып/сію

_ к

п

ду

\ Z

Т к

где « =

В/В.

Видно, что ѵгр

лежит в одной плоскости с векторами

к и В.

По

величине

групповая

скорость

равна

а проекция

ѵгр

на направление

к

есть

с

1

он ,,

.,.

с

1 4.

JL

£ 1

• г -

L , f i5 J- =

дшп/да

1 1

,1

ду J

В двухкомпоиентной

плазме

при 0 = 0 и

со =С Q t групповая

скорость

Х- и jÇ-воли

равна

v n , = A ( - ï + ^ Y

( l

+ ^ - y .

.

(6.44)

Из этого в ы р а ж е н и я видно, что пакеты Ж-волн

распространяются

ѵгр от со, сильнее

у Ä-волн, чем у «5?-волн.

Д л я ій-волн имеет

место ярко

выраженный

эффект

магнитной

фокусировки. В диапазоне частот to < ^

Q{ показатель

преломления

равен iii ~ п л ! cos Ѳ |, и, к а к видно из формулы (6.43),

ѵѵх>1_

= О,

•т. е. пакет распространяется строго вдоль внешнего

магнитного

поля . С приближением со к й {

возникает небольшая

дефокусиров­

ка, однако во всем диапазоне

со <

й г

угол

между

ѵгр

и В не

пре­

вышает г~> 12°

[127].

ІІА,

В диапазоне

со < ^ Q 4 д л я

jÇ-воли щ ^

И , как можно

убе­

диться с помощью формулы (6.40), ѵгѵ

К fc. Эти

волны

распростра­

няются изотропно.

Н а частотах

со ^

Qi

зависимость

п.2

(Ѳ)

до­

вольно слабая (6.28), так что свойство изотропности

приближенно

сохраняется . Во

всяком случае угол

между

ѵгр

и

&

не

превы ­

шает 0 30°.

Зависимость

г>г р

от частоты со и н а п р а в л е н и я

волнового

век­

тора 7с приводит к тому, что даже у з к и й пакет волн с течением

вре­

со (fc) =

со (fc0 ) +

%jL AÄ, + - і -

те Д М ^ ,

(6-45)

где Afc =

fc — fc0.

Расплывание

двух- и трехмерных

волновых

кета (волновые векторы всех спектральных компонент

параллель ­

ны

друг

другу)

[123].

Н а п р а в и м

В

вдоль

оси z и положим д л я простоты

Ѳ =

0, так

что

ѵѵр

II В.

Возьмем

огибающую амплитуды сигнала

в

началь ­

ный

момент

времени в

виде функции Гаусса:

= % ехр

г - z'a (к — к-о)~

где г|^0 — cp„z0/2

)/ л . Подставив

это выражение в (6.32) и исполь­

з у я разложение

типа

(6.45),

получим

/" я

. (6.46)

\р (z, t) = % ехр (i.k0z

— Lo0t) у

—СфГ

ехр

4 (sc + iß/)

Здесь

Э'-CÛ

со0 = со (А-0),

я = - і - г 0 , ß =

Огибающая пакета имеет вид

(- -

"п.

ехр

(6.47)

4 (я'- + 32f-)

уменьшается со временем

как ог> ( а 2

-|- ß 2 / 2 ) - ' 3 .

Так как

ширина

пакета растете течением

времени с/г (а 2

-|- ß 2 ^ 2 ) 1 ' ,

то полная

интен­

сивность сохраняется:

нии воли

в неподвижной плазме.

Однако в космических условиях

д в и ж у щ а

я с я плазма — явление

обычное. В межпланетном про­

лярные потоки.

В магнитосфере существует с л о ж н а я система

конвективных,

дрейфовых, термодиффузионных

перемещений

Найдем показатель

преломления п плазмы, движущейся как це­

лое относительно

наблюдателя.

Очевидно, выполняются соотношения

ск = ші (-о, Ѳ),

ск' = (ù')i' (со', Ѳ').

wo

л

* y !

1

Здесь

— скорость сопутствующей системы отсчета

относитель­

но лабораторной, U <^.с.

Р а с к л а д ы в а я ;г (си, Ѳ) в р я д в окрест­

ности со', Ѳ' и используя

(6.48),

нетрудно получить

показатель

преломления

движущейся

плазмы

с точностью до членов первого

порядка

по

U:

А- дп _ д Ь » L

kikz

п дк, ~ д cosG V й

к°-

и формула (6.49) может быть переписана в

виде [130]

cos и,

91н л

/,|

cosu-cosB^i!

(6.50)

COS 11

cos 0

\

COS Т|

Здесь

ß, = UJe,

cos n = UB/UB,

cos |x =

Uk-lüli.

Ось z направлена вдоль внешнего

магнитного поля . Выражение

скорости буГ р, обусловленная

движением плазмы со скоростью

U, показана в нижней части

рисунка .

неподвижна

и

однородна. Д л я этого положим р =

р 0 +

Рі, р

=

— Ро

+ Pu

В

=

В0

-\- b, где

pi, рх, b и

и — малые величины

од­

ного

порядка .

С

точностью

до членов

первого порядка

можно

записать

Е

с

"

(7.1)

,/

= J L r o t ô ,

(7.2)

.

( 7 - 3 )

Исключая Е,

j и pi

из исходной системы уравнений,

получим

^ .

= - P o d i v ï t ,

(7.4)

=

rot

[«/?„],

(7.5)

ï

=

~

f

V

P l -

^ l B e

r

o t

4

f

(7.6)

где

б1

=

ѴчРоІРа-

Ищем решения уравнений (7.4) —(7.6) в виде плоских монохро­

матических

волн

OD ехр (ікх

—

hot).

Уравнение

непрерывности

(7.4) и уравнение

индукции

(7.5)

дают

связь р1

и Ь с

и

Рі

=

Р о [ - £ -

п

Уравнение движения

(7.6)

после исключения

и b

преобразуется

к виду

АцЩ = 0,

(7.7)

L t i

=

(А2

+ S2) hk;

+ A2

{klön

-

(kiSj

+ kjZf)

кг],

где

А

=

В0

/)/"4лр 0 ,

г ==

BJB0.

ному

уравнению

D e t { L a | 3 ( f c ) - ( o ä o a 3 } =

0,

(7.8)

дающему

связь со с

к.

Нетрудно убедиться,

что

существует три

типа

воли: альвеновская

волна

со2

= (Лк,у-

(7.9)

и

две

магнитозвуковых

tola -

к2 (А2 + S2) 4,з

+

A s S a

(кА)2

=

0.

(7.10)

Фазовые

скорости

волн

равны

4 1 =

4 2 cos 2 0,

(7.11)

42

л =

- L ( 5 2 +

Л 2

±

У (А 2

+

S2 )2 -

44*S* cos2

Ѳ).

(7.12)

Х а р а к т е р распространения

альвеновской

волны

не зависит

от величины давления

плазмы

р 0 . В волне этого типа

отсутствуют

колебания плотности и давления pt =

рх

= 0. Вектор b перпенди­

к у л я р е н к плоскости векторов В0

и к; вектор JS перпендикулярен

В0

и лежит в плоскости J B „ , к.

Скорость

и связана с

возмущением

магнитного поля b следующим

образом:

-

Г р у п п о в ая

скорость

пакета

альвеновских

волн равна

ѵп1

—

дл!дк

=

A sign

(кЛ),т.

е. пакет распространяется строго

вдоль

внешнего

магнитного

поля .

Обратимся

к паре магнйтозвуковых

волн. П р и

прохождении

этих волн в общем случае испытывают

колебания

как и

и

Ь,

так

и (э и р.

В быстрой магнитозвуковой волне (индекс 2 в (7.12))

маг­

нитное и гидродинамическое давления складываются,

а в

медлен­

ной (индекс 3 в (7.12)) — вычитаются. В

результате

имеют

место

следующие

неравенства:

шах (5,

Л ) < ѵ Ф і

.,

<

Y

S2

••!-

/ I 2 ,

0 < ^ Ф ,

з < Ш І П ( 5 ,

/1).

В магнйтозвуковых волнах векторы b и н лежат в плоскости

векторов

и В0.

Вектор

Ь перпендикулярен

волновому

вектору

7с,

но

скорость

и

в общем

н е п а р а л л е л ь н а Ь.

Имеет

место

соотно­

шение

1*1

Dl'

,f

\

•

где

ср — угол

между

Ва

и

и.

Пе приводя громоздких выражений для групповой скорости,

отметим

только следующее

1133]. Векторы

у г р , le

и

7іа

распола­

гаются в одной плоскости;

угол между векторами /г и ѵгѵ

острый;

проекции

/." и

у г р

на В0

имеют одинаковые

знаки;

проекции 7с

и У,р на направление, перпендикулярное к В0,

имеют

одинаковые

знаки

в

быстрой

(-а.,) и

разные

знаки

в

медленной

(со3) магпито-

звуковой

волне.

Обсудим некоторые предельные случаи . Если Ü—>-0,то ür p 2 —»-тах

(S,

А)

и fr,) з —- т і п (S,

А). Оба вектора

ѵ,.р 2 і 3 параллельны В0.

Е с л и

О —>- л/2, то

ѵ, р2

I''' У12

-; - S-

и г.'|.р3 - >

S Al

\

S2

- j -

У ! 2 .

Вектор

направлен

по

А;,

а

У П

) 3

параллелен

или

антпнараллелеи

Ва.

П р и

5 ^ >

А

имеем

м,

S/t,

w3

~

A:/l

| cos

0). Групповые

ско ­

рости

-уГр2 -~

S

{7%;Ik), v,pз

Ä

A

sign

(7cЛ).

В

обратном

пределе

(.S<§;/1)

ы2

Ale,

и)3

kS

I cos

0|.

Соответственно

групповые

скорости

у г р 2

~

A

(Ic/k),

ѵ ѵ

ѵ з

~

S

(BJB)

sign (fcB0).

У к а ж е м

также характер поляризации магнйтозвуковых

воли

в

этом

типич­

тор

Ь перпендикулярен

Л? и лежит в плоскости векторов

В0

и Л?.

Вектор it перпендикулярен В0

и лежит в той же плоскости. В

мед­

ленной магнитозвуковой волне возмущение магнитного поля

мало

(Ь <gj и У 4 я р 0 ) , а возмущение

скорости и почти параллельно

В0.

В

дальнейшем при S

<^А

условимся д л я краткости

называть

La

=

[ ( / I 2 - I - S\

-

S\

) ô,j

+

(451, -

Si) ZiZj] kl

-

-

(A-

+

SlKhzi

+

kjzJK

+

(4* +

2Sl)kik}.

(7.13)

Здесь S\,_]_

= p 0 t

nj_/р0 .

С

помощью

дисперсионного

уравнения

(7.8) можно исследовать спектры воли в плазме с

анизотропным

давлением. Оказывается, что в некоторых условиях

собственная

частота

колебаний ш (Л") имеет

положительную

мнимую часть,

т. о. колебания нарастают со временем. Этот и другие

эффекты

анизотропии

давления

появляются

в основном

при

S ц t ±

~

А

(в солнечном ветре, например). Если

же S $,_[_ <scT А (как

это

обыч­

но имеет

место внутри магнитосферы), то выводы,

основанные

на

пии в рамках магнитной

гидродинамики.

Чтобы пояснить, в

чем

здесь дело, установим соответствие между

гидромагнитиыми

вол-

пами и рассмотренными

ранее волнами в холодной плазме.

Д л я

следует

прежде всего перейти к пределу

S/A

-*• 0.

Далее, так как

в магнитной

гидродинамике Е у — 0 [см. (7.1)1, то

в тензоре

(6.6)

следует

положить н/е —>- оо [см. (6.31)].

Наконец, поскольку

уравнения

(5.22)—(5.28) справедливы

лишь при

со<^?£>{,

то в

делав все

это, нетрудно убедиться,что

альвеповская и магпито-

з в у к о в а я

волны эквивалентны 56- и

Jï - полнам в приближении

магнитной гидродинамики переход к пределу 0 —>- 0,

вообще

го­

воря,

некорректен.

Поясним сказанное

еще

и следующим.

Согласно

(6.30)

при

О - 0

и сколь угодно

малом

отношении

волны имеют круго­

(альвеиовской и магнитозвуковой) одинаковы и равны

Mt =

со, =

= Ак,

а п о л я р и з а ц и я

произвольна.

Чтобы

снять

поляризационное вырождение гидромагнитпых

волн

при

0 •-- 0,

достаточно в

уравнении индукции (5.25)

учесть

7 При (Ü/QJ

1

переход

от почти

линейной к почти круговой

поляризации

осуществляется

при угле ü l i p ~-

|^2CÛ/Q;.

инерционный

член

д-§ = rot

[[иВ]

е dl

I

малых

1

cû/Qj. Волпы имеют круговую поляризацию, причем в

волне

вектор возмущения поля вращается против, а в волне

2 — по

часовой стрелке (если смотреть по направлению век­

тора В

0

) .

со — к

(7.14)

где

V, — проекция

скорости

теплового

движения

частицы на

внешнее магнитное поле; s =

0 + і , +

2,... Кинематический

смысл

(7.14) состоит в том, что в системе отсчета, где ларморовский

центр

частицы неподвижен, частота

волны

ш' = со — к,ѵ:

либо

разиа

нулю (s =

0),

либо

кратна

гирочастоте

частицы (s ф 0).

Если

s = 0, то (7.14) совпадает

с

известным условием черенковского

излучения;

если же s ^> 0,

то

(7.14)

есть

формула нормального,

а

при s <

0 — аномального

эффекта

Допплера дл я осциллятора

с

частотой

Q.

В

зависимости от вида функции распределения частиц плазмы

по

скоростям

взаимодействие

волны

с резонансными

частицами

может привести либо к затуханию, либо к иарастаиию

амплитуды