книги из ГПНТБ / Гульельми А.В. Геомагнитные пульсации и диагностика магнитосферы

f = N [ш)''''в^

{ - w (v - V A

<5-14>

ния)

имеют

вид

J ^

+ diviVF" = 0,

(5.15)

m,N-^-=

eN i^JE +

- i - [ Г В ] ) — grad p,

(5.16)

К уравнениям (5.15)—(5.17) следует добавить у р а в н е н и я

электро­

динамики

rotB=ÏL%eNr

+ ± ° * - ,

(5,18)

d i v B =

0,

(5.19)

div Е = 4л 2 еіѴ,

(5.21)

вать так

называемое холодноплазменное приближение .

Приведем т а к ж е следующую часто используемую систему урав ­

нений

идеальной

магнитной гидродинамики

[118, 119].

-§f

+

d i v P M

=

0,

(5.22)

P^jr

= -Vp

+ C~1UB},

(5.23)

і £ - = — c r o t J S ,

(5.25)

Е = — с"1

[гіВ],

(5.26)

4л

'

(5.27)

с1іѵБ =

0.

(5.28)

Здесь

р =

~ENama

— плотность

плазмы;

и = р _ 1 SNamaVa

—

гидродинамическая

скорость;

р = Лра—

полное

давление,

равное

сумме

парциальных

давлений электронного

и ионного

газов.

У р а в н е н и я

(5.22)—(5.28)

полезны при

анализе

медленных

крупномасштабных

движений,

когда характерное время процесса

много больше гиропериода, а характерный масштаб много

больше

гидрорадиуса

ионов. Однако

на

основе этих уравнений

можно

ными степенями свободы частиц. Пр и сжатии

в продольном нап­

равлении плазма ведет себя как одномерный

газ, а при сжатии в

поперечном — как двумерный. Поэтому давление в (5.23)

следует

считать не скаляром, а

тензором

Ра = Р± (S» — т»т;) +

Р « Wh

(5.29)

где г; = ВІ/В,

р±_ — давление

в поперечном,

а рц — давление в

продольном

направлении

по

отношению к

магнитному

полю.

Соответственно,

уравнение

адиабаты

(5.24)

следует заменить

на [115]

,5 .30,

В заключение параграфа дадим общие у р а в н е н и я линейной

феноменологической электродинамики [112, 113, 122].

Из уравнений

поля

(5.11)

следует

закон

сохранения

заряда

d i v - ? + ! f = 0 -

( 5 - 3 1 )

ванный

сглаженный

ток j

, а индуцированный

заряд может быть

найден из (5.31). Вместо j

можно ввести вектор

электрической ин­

дукции:

"

' .

' D{x,t)

= E{x,t)

— 4 я

^ j(x,t')dt',

'

divZ> = 0,

rotJS

1 діі

dt '

(5.:І2)

r o t ü = —

dt '

d i v ö = 0.

с

у» (se, г) =

^с11'^ах'зл?1{х,х',tyi')Ë^{x\t').

(5.33)

—оо

Соотношение

(5.33) является наиболее

общим линейным

функцио­

налом ,/ (Е).

Е с л и среда однородна

и стационарна,

то тензор

caß

= aœ p (х

— х',

t — t').

Тогда дл я Фурье-компонент

полей

,/ и

Е

будет

иметь

место

соотношение

Іаык = öa ß (со, Л;) Eßu,k,

(5.34)

где

ОО

Gaß (со, к) = J Л ^ х е * - * а + ! » ' а а Р ( а с , f).

о

Аналогично

имеем

Mxw/c = faß (со,Л;) /?ршл-,

(5.35)

где

е а з

(со,Л;) =

ö a 3 +

- ^ - c Ä 3 ((u,fc) .

(5.36)

Таким образом, в линейном по полю приближении однородная

стационарная среда полностью характеризуется тензором

диэлек­

трической проницаемости sa ) 3 (со, Л') (или тензором

проводимости

°'ар (со, Л')). Преимуществом

феноменологического

описания яв ­

ляется то, что оно позволяет

установить некоторые общие законы

без

конкретизации

вида тензора е а ( 3 (со,/>•). Важнейшим

из них

я в л я е т с я уравнение

переноса энергии, вытекающее из

теоремы

Пойнтинга.

Теорема

Пойнтинга

- а І ( Е

2

+ J i 2 > +

E J ( Е ) + 4 7 Г d i v i E B ^ = 0

<5-37)

2 Л. В. Гульельіми, В. А. Троицкая

;)3

JE(x,t) =

Е0(х,Цеи-*-ш.

Здесь комплексный

вектор JEa является медленно (по сравнению

Е0 (•*', f)

= JE0

{ж, t) + ^

(X' -

X) - I -

^ (I' -

t) H- . . .

и

представим

(5.33) в

виде

]a(x,t)-e

^ ь 0 ? +

і — — - 1 — - - Ш ] ,

где а а р = б а Р (ш, Л'). Образуем теперь квадратичную

комбинацию

jE

и усредняем ее по времени. Усредняем т а к ж е два других

члена

в (5.37). В результате приходим к следующему уравнению,

опи­

сывающему

перенос энергии

воли в плазме:

-gp

- j - div S +

û ) e a p - ^ -

= 0.

(5.38)

Средняя

по времени плотность энергии

равна

W =

d(ù-

- Ья

'»

4

5

(

5

.

4

3

'

9

)

а

средний

поток

энергии

равен

•

со -

-

16л '

dfc

(5.40)

теплового

движения частиц.

Тензор диэлектрической проницаемости. Уравнение движения

заряженной частицы в поле электромагнитной

волны

имеет вид

тѵ = еЕ + - і - [ѵВ] + ~

[vb],

(6.1)

где

В — внешнее постоянное магнитное поле;

Е

и

b — электри­

ческое и

магнитное поля

волны соответственно.

Величины

ѵ, Е

и & — одного порядка малости. Поэтому линеаризация

уравнения

(6.1)

сводится к отбрасыванию

квадратичного

члена

(е/с) [ѵЬ].

Используя

линеаризованное

уравнение, находим

связь

между

Е

и V в монохроматической

волне

{Е со ехр (—

ігМ)):

Еа =

- ^ - | — oa ß + г ^ - о а

3 ѵ |

ѵц.

(6.2)

Здесь Q

=

еВІтс.

Р а з р е ш а я (6.2) относительно

ѵ,

получаем

Va = ~-^QaßEß,

(6.3)

где Qafs

— обратная матрица

по отношению к

матрице, стоящей

в фигурных скобках (6.2).

j

Согласно (5.34), ток j

(Е)

р а в е н / « = cafiEß.

С другой стороны,

=

HeNv.

Сопоставляя

эти два в ы р а ж е н и я

и

используя (6.3),

= 0,3 + 2 - ^ - 0 . 0 .

(6-5)

г

iS

01

е а

3 = |

- ^

е

0

(6.6)

0

0

л)

где

СО (10

— fi)

'

"^Aû (СО - I -

fi)

'

1

^

(О2

Из

(6.6)

видно,

что

тензор

е „ р эрмитов,

т.

е.

е^з

=

ер*.

Это

соответствует

отсутствию диссипации

энергии

поля

в

среде.

В (0.0) нетрудно

учесть эффект соударений заряженных частиц

с нейтральными . Для этого заметим, что включение

подобных

со­

ударений приводит лишь к появлению в правой части

уравнения

движения силы трения типа — ѵтѵ,

где ѵ — частота

соударений.

Учет этого

члена производится в ((5.0) путем

формальной замены

m па

m (і

-~ іѵ/.о). Естественно, что

тензор

проницаемости пере­

стает

быть

эрмитовым.

Его

антиэрмнтова

часть

( е а

р — ера )/2і

ном случае сводится к тому,

что энергия, накопленная

за поло­

вину периода колебаний электронами и попами, частично

передает­

ся в процессе соударений нейтральным молекулам.

Дисперсионное уравнение.

Д л я плоской монохроматической

волны (Е

оо ехр (ік-х

— i-nt))

уравнения Максвелла

(6-7)

Tot Ь

77— =

0

приобретают

вид

;

[fcJB]

—- ^ - 6 = 0,

(6.8)

где

Da =

варЯр.

(6.9)

4

Среда с подобным тензором е а Я называется гпротрошюіі f 125]. Связь DcJS

в гпротропиоп среде может быть представлена в ппде Da --• eap/j'ß

' I ^ 7 la»

где {Гар — действительная часть еа ( 3 , a g — вектор гпраціш, равный в данном

случае g =

(0,0,g).

И с к л ю ч им Ь из второго

у р а в н е н и я системы (6.8) с помощью

первого.

Получим

D =

пйЕ — п (н-Е),

(6.10)

M*pEß

= Q,

(6.11)

где

Mat = » 2 ô a p — naii£ — еа р.

(6.12)

Условие

существования

нетривиальных решений

(6.11)

приводит

к так называемому дисперсионному уравнению,

связывающему

частоту

о) с

волновым

вектором к [112]

.Dot {пй(0„„

- ТаГз) -

8ац} 0,

(6.13)

ГДе Ya =

«-a/«-

Если подставить (6.6) в (6.13), то дисперсионное

уравнение

примет следующий вид [114]:

An* -

Вп-

-!- С = 0,

(6.14)

где

tg*e =

- -

^

У - У

г ^ .

(6.15)

ь

_ (ей-

- ХЗі) («- — il)

v

'

Показатель

преломления. Р е ш а я (6.14), находим

выражение

д л я квадрата

показателя

преломления:

І

=

В А- у В1

—^АС

.

,п ,.R,

К2

^

2 Л

(6.16)

волны с различными фазовыми скоростями

Ѵфи2 =

с/під (и с

различными поляризациями (см. ниже)).

Рассмотрим зависимость

и\л (и>)" в

пекотоых

предельных

случаях . Пр и продольном распространении

(0 — 0)

имеем

ri\,i = z±g-

( б - 1 7 )

Д л я одной из волн

7іі — УХ,

д л я другой ;?.2

=

У Л.

В

геофизи­

ческой литературе

их принято

называть

Х-

и ^ - в о л н а м и

соответ

«1,2 (C ù ) =

1

Ос

(6.18)

Здесь

Q e =

I е |

ВІтес.

При поперечном распространении (0 =

л/2)

п1

=

в —

g-/i,

(6.19)

••п\ =

п.

ß двухкомпонентпой плазме явный вид (6.19) следующий:

ni

=

1

Ш О е ( ы о е + й „ й * — СО 2 )

(Q* -

со"-) (Qf - и») +

œ*e (Qe Qj -

со*)

'

(6.20)

ni

= 1

Общий

вид дисперсионных

кривых

в

предельных случаях

Здесь предполагается, что помимо электронов и протонов в

плазме

имеется небольшая примесь однозарядных ионов гелия .

Видно,

что при 8 = 0 показатель преломления

<2-волл имеет два полю­

са — на гирочастоте протонов и ионов

Ые + . Показатель

прелом­

не показан). В протонно-гелиевой плазме возникает

пересечение

ветвей дисперсионных кривых: тг1 — пг на частоте,

определяемой

условием g = 0 [117]. В двухкомпопептной плазме

такое пере­

сечение отсутствует. Наконец, обратим внимание

на полюс п2

при 0 = л/2 на частоте так называемого гибридного

резонанса.

Приведем

ря д

приближенных выражений дл я п- в случае

распространения

волн под произвольным

углом к внешнему маг­

нитному

полю. Е с л и t g 2

Ѳ < ^ rj/e, ХМ <s=J en, п2

^ > 1, то

«1.9 =

cos2

Ѳ

J

(6.21)

В двухкоімпонентной

плазме

при Qt < ^ соо і и со < ^ Q e

явный вид

eng

следующий:

QÎ - со2

^ Q ; - c o 2

Соответственно

(6.21)

приобретает

вид

[126]

п,і 2 (со, Ѳ) =

1 — ш2 /й|

1

Ѳ

sin2 0

,

sin4 Ѳ .

со2

cos28

cos2

—

± 1

fi-

(6.22)

Здесь

nA

=

cl А,

А — ВІ^АтщЫ,

N

— концентрация

электро­

нов,

равная

концентрации

ионов

в

силу

квазинейтральности

плазмы.

В случае квазипродольного распространения, т. е. когда

sin4 Ѳ

g2

(6.23)

4cos2 0^= e2 '

формулы

(6.21)

и

(6.22) становятся

существенно более

простыми,

т. е.

g

(6.24)

I cos ѲI '

«1,2 (ю, Ѳ) ;

cü/Qi

(6.25)

1 — w2/Qf

1

+ I cos 01

П р и квазипоперечном распространении,

т. е. когда

выполняется

неравенство,

обратное

(6.23),

имеем

cos2 0

l

+ ^ r c t g 2

(6.26)

e2

sin2

0

712 (Ш,

Ѳ):

n2 4 /cos2 0

1 — tû*/Qf

S " c t g î f

1 +

(6.27)

со2.

1

«S (со, Ѳ):

1 — cû2/Q'2

1

-

fi2 wsm* 0

Н а к о н е ц, приведем

полезные в ы р а ж е н и я для п-

при

ш Q i :

2__

пл

t + со»- 8

" l

~

1 — ш/Q.

2 cos2

Ѳ '

(6.28)

"А

1 + cos- Ѳ

и

в предельном

случае

i û / Q t - » - 0

cos- Ѳ '

(6.29)

2

Ä

2

?Z.2

ПА.

Поляризация

волн. Р я д общих соотношении между

вектора­

ми

электромагнитного

п о л я вытекает непосредственно

из

урав­

нений

Максвелла

д л я

плоских

волн:

1)

векторы

D,

b и

к

взаимно перпендикулярны

и

образуют

правую

тропку

векторов;

с/4л

2)

векторы Е,

Ь и

s =

[ЕЬ\

также взаимно

перпендику­

лярны;

Е,

D

3)

векторы

и />' располагаются в одной

плоскости;

А) имеет место соотношение ED

--• b'1.

(х,

у,

z)

Ориентируем

декартову систему

координат

так, что

В

= (О, О, В) и к

— (к sin

0, 0,

к cos

Ѳ). Считаем

со >

0 и

рассмат­

риваем поляризацию по отношению к внешнему магнитному

полю

ставить

(6.17), Еу/Ех

— +

і. Отсюда видно, что при 0 = 0 обе

волны

имеют круговую поляризацию, причем в Ä-волие (верхний

знак) вектор

Е вращается

против, а в J^-волне (нижний знак) —

по часовой

стрелке,

если

смотреть вдоль внешнего

магнитного

поля .

я / 2 и п =

п-2 электрический

П р и

0 =

вектор параллелен

внеш­

нему магнитному

полю: Е

\\ В. П р и п

— п1 имеем ' Ег

=

0 и

EJEy—

— i

g/s.

Эта волна

поляризована

эллиптически,

причем

вектор

Е вращается в плоскости, препепдикуляриой

направлению

поля В.

Важно отметить, что имеется компонента Е, п а р а л л е л ь н а я