книги из ГПНТБ / Вальщиков Н.М. Расчет и проектирование машин швейного производства

кателя; ф — угол

поворота

кулачка в

град.

Перемещение

толкателя

в

одном

направлении

(ход) можно

в общем случае рассматривать

как совокупность перемещений на

а)

т

Р

в,

н,

К

N

— I I —

н

j

Я в

А

с

Е

ш | |

г » ^

4 ^

зоо

..

Фив

^ t 9-Н.

<Р«мв

^

и

выбега 77/. Граничные значения р обозначим соответственно

Рь

Рп> Pin-

6р -

А р / р ш ,

где Ар — Рп —

р ^ Очевидно, что при бр =

0 участок постоянной

скорости отсутствует;

в этом

частном случае непосредственно

за разбегом следует

выбег.

Выразим кинематические функции (перемещения, скорости,

ускорения) для

рассматриваемых участков

движения-

точку М).

Введем

следующую

функцию:

Р/Р,

=

6j (хг),

(V.31)

где

Ti

=

Ф/Ф1-

(V.32)

Очевидно, что при ф =

0 имеем

р =

0, а следовательно,

т г = 0; д1

(тх ) = 0.

При ф — ф1 имеем

р — р ь следовательно,

т х =

1;

0

^

=

1.

Таким образом,

при т х

1 функция

0Х

(тх ) изменяется в тех же

пределах; при этом точка М пробегает

все текущие значения р

на участке разбега от 0 до точки

А.

Функция

9Х

(тх ) представляет

собой график, заключенный

в квадрате с единичными сторонами

(рис. V. 16, б), и носит

назва­

ние безразмерной

характеристической

функции.

Если функция вх (тг ) задана, то выражения (V.31) и (V.32)

могут быть

использованы

для расчета

р и ф:

Р =

Pi9x

( t j ;

(V.33)

Ф = ф 1 т г

(V.34)

Уравнения (V.33) и (V.34) можно рассматривать как запись

функции

р (ф) в параметрической

форме.

Скорость перемещения толкателя определяем дифференциро­

ванием сложной

функции

р:

^

Значение

определяем, дифференцируя выражение

(V.32):

* ! L

=

- L .

(V.36)

P = ^ f e -

(V.37)

е1(0) = о;

e;(i) = eim a x .

Величину

01 max принято называть пиком безразмерной

скорости

на разбеге. Выясним физический смысл этой величины.

Используя зависимость (V.37), запишем выражение для макси­

мальной

скорости р т а х :

Ртах =

С о р т а х .

(V.38)

Pep = «>-!"

(V-39)

Pmax/Pcp = Otaax-

(V.40)

d2p ..

Pi

dej

dxy

d(p

dt2

^ ^

(pi

dxt

dq>

dt

Обозначив

dQ[ldx\ = 0{ и

принимая

во внимание

выраже­

ние (V.36),

получим

Р = ( о 2

- % 0 г Ы .

(V.41)

Ф1

Функция

0i (

T I

)

имеет

монотонно

возрастающий

характер,

в то время как 0i

( T

I )

В зависимости от выбранной закономерности

может

принимать

достаточно

многообразную форму.

У ч а с т о к р а в н о м е р н о г о д в и ж е н и я

/ / ( P i ^

< i Р ^

Рп> Ф 1 ^

Ф «S Фи)- Возьмем на прямой АВ (рис. V-16, а)

произвольную точку D, соответствующую

текущему значению р*

на рассматриваемом участке движения.

Так как треугольники

ABC и ADE подобны, можем записать DEI ВС = АЕ/АС,

а следо­

вательно,

Ф - У 1 , .

lllK

=

(V.42)

Рн — Pi

фп —Ф1

v

'

Р ^ Ь + ^ Ч Ф - Ф . ) ;

(V.43)

Рп -

Pi,

( V > 4 4 )

а гц—г±;

'<рн —<Pi'

Р = 0.

(V.45)

У ч а с т о к в ы б е г а I I I (Рп

Р

р ш ; Фп =^ Ф ^ ф Ш ) -

_Pin — Р

= е з ( т 3

) ;

(V.46)

Рш — Рп

Фш — Фп

=

т8 .

(V.47)

3

v

;

В точке В имеем ф = ф п

и р =

Рп, а следовательно,

т3

= 1

и 9}

= 1. В точке К имеем ф = ф ш

и р = рш, поэтому т3

= 0

и ел

= о.

N от В

Таким образом, последовательное перемещение точки

к К на графике

Р (ф) соответствует

изменению

безразмерных ха­

рактеристик от

1 до 0.

Из зависимостей

(V.46)

и

(V.47)

получим:

Р = Р ш - ( Р ш - Р и ) в 8 ;

(V.48)

Ф = Фш — (Фш — Фн) %

( V - 4 9 )

Скорость р = dfildt определяем

дифференцированием

выра­

жения (V.48):

M - ( P „ , - P i i ) g - £ - £ -

(V-50)

Значение dr3/dw определяем

дифференцированием выражения

(V.47):

dxa=

1

'

d<p

Фш — Фи'

Приняв dQ3ldx3

= 9' (т8) и имея в

виду, что

dq>/dt — со, после

подстановок в

(V.50)

получим

p l = ( o M z i £ i i 0 ; ( T 3 ) .

(v.5i)

Скорость

р при изменении Параметров р и ф

соответственно

от р п до р ш

и от фц до ф ш уменьшается от своего

максимального

значения до

нуля.. Следовательно,

ei (тг ), eKxl),

9 I ( T I ) И

е 3 (т 3 ),

е ;(т 3 ),

вЦт 8 ) .

Свойства безразмерных характеристик. Важными константами

безразмерных характеристических функций являются 9 т

а х и 9 т а х .

Так,

значениями

0iт а х

и

03 т а х

определяются

максимальные

скорости толкателя [см. формулы

(V.38)

и (V.51) ], а от

значений

0i max

и 03 т а х зависят максимальные ускорения разбега и выбега

[см. формулы (V.41) и (V.52)].

Выясним, от каких факторов зависят эти константы. Для этого

докажем две теоремы.

Q'max

Т е о р е м а

I . Пик

безразмерной

скорости

обратно

пропорционален

значению

1 — тц , где

т д — абсцисса

центра

п'

_

1

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

эпюру безразмерных

ускорений" 0" (т)

произвольного

вида (рис. V.16, в). Абсцисса

центра тяжести этой эпюры

1x d F

\

= Р—р->

(V.53)

где F — площадь

эпюры.

полоску толщиной dr.

Выделим на графике 0" (^элементарную

dF = 0" dr.

(V.54)

но

6" =

dQ'/dx, откуда

i

F =

J dQ' = 0' (1) -

9 (0) = 0 m a x .

(V.55)

о

Здесь использованы

полученные

ранее значения 6'(1)

= 0'

и

0' (0)

= 0 .

(V.53) может быть переписана в виде

Теперь формула

J

т9" dx

max

1

Интеграл

т8" dx возьмем по частям. Как известно, | и dv =

о

J

= uv—

j "

v du. Пусть

х =

и,

а 0 dx =

dv.

Тогда

dx =

du; v =

^Q"dx = Q'.

Таким

образом,

i

i i

i

i

j xe"dT = x9' j — j 9' dx = т9' |

— 8

==

0

0

0

0

0

откуда

е ; а х = г

Л г ,

(V.58)

I

Ьц

что и требовалось доказать.

Следствия:

1) для всех симметричных эпюр безразмерных

ускорений пик

типа имеют т ц = 0,5, что следует из симметрии этих эпюр

отно­

сительно середины, следовательно, 0 т а х == 1/(1 — 0,5) =

2;

ствуют значения

0 т а х ф 2: если х ц < 0 , 5 , то 0 т а х

< 2 ;

если

т ц >> 0,5, то "max > 2 .

0 т а х

Т е о р е м а

I I . Пик безразмерных ускорений

прямо

пропорционален

коэффициенту

заполнения.

Под коэффициентом заполнения fx будем понимать отношение

площади F эпюры безразмерных ускорений к площади Fnp

опи­

санного около этой эпюры прямоугольника

(рис. 16, в).

Следо­

вательно,

ц =

F/Fnp.

(V.59)

Итак, требуется

доказать,

что

0'max =

©тах/Ц-

(V.60)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Зависимостью

(V.55)

было установ­

лено, что F = 0 m a x i площадь же

прямоугольника

F„p =

9 m a x - l .

Подставив эти

значения в

V . 5 9 , получим

Рассмотрим

несколько

примеров.

Пример 1.

Определим 0 т а х и В т а х для так называемого косинусоидального

"

"

я

закона ускорений (кривая А

на рис. V. 16, в). В этом случае 9 (т) =

0 m a x cos

т.

1

v

2 ,

2

F =

~ab;

с=—а,

О'

=-

1

"max

1 _ Т ц *

Следовательно,

е

т а х = я / 2 -

Далее найдем 0

^тах .

F

Л

^ а х ' 1

2

Таким

образом,

пр

б т а х ' 1

Н

_

JZ.

О

_

4 •

"max

2

max

Пример

2.

Определим 9 т а х

и 9 т а х

для синусоидального

закона

ускорений

(кривая Б на рис. V.16, в). В этом

случае

=

9 m

a x sin пх.

Так как эпюра

0" симметрична,

то

1

я

2 — 0 , 5

max

2

'max

F

я

'

1 — 0,5

пр

п.

Пример

3.

Определим б т а х

и Э т а х

для прямоугольного

закона

ускорений

(линия В на рис. V.16, в). Так как эпюра 0" симметрична (т ц =

0,5), то Qmax =

2.

Очевидно,

что коэффициент заполнения fx =

1. Следовательно, 0П

2/1 =

2.

мости для перемещений, скоростей и ускорений толкателя,

в ко­

торые в качестве параметров вошли р р Рп, Рщ, cpj, фц,

ср ш .

определенными зависимостями.

А, принадлежащей

Рассматривая скорость толкателя в точке

участку

разбега, запишем:

р А = а Д е ; т а х .

(V.62)

С другой стороны, точка Л*принадлежит и

участку постоянной

скорости,

следовательно,

$A = JjlZlll/

(V.63)

венство скоростей, которое после сокращения на со принимает

вид

Pi

_

Рп — Pi

(V.64)

ф,

1

т а х

ф П _ ф!

Аналогичные рассуждения применительно к скорости в точке В

приводят к равенству

Р п ~

Pi _

Pin —Рп й '

/ v

fic,

ФТГ^Й- Ф Ш - Ф Н Э З Т А Х '

(

V , 6 5 )

находят

в инженерной

практике

наибольшее

распространение.

З а д а ч а

1. Дано:

Рш;

Фш;

«Р =

Z -

2 3 ^

9 l (

t l ) и M T s ) '

номерного движения,

а параметр / — отношение

углов

поворота

кулачка (или времени) на выбеге и разбеге.

Требуется определить

параметры

Pjj ф,;

р п ;

ф п .

Р е ш е н и е . Сопоставляя зависимости (V.64) и (V.65), запишем

Pi

О '

_ Р ш —

Pllrv'

—

Ol max — ф

ш _

ф

и »3 max ,

ИЛИ

•Рпг=Фп v

Р ш р 1 п

( V.66)

Ф1

1

pi

v

'

где

VI =

01 тах /9з

max'

Очевидно, что если

8 1 т

а х

=

0 3 т а Х »

то V j

=

1, тогда,

согласно

(V.66), отношения между

перемещениями

толкателя на выбеге

ваются

равными.

Уравнение (V.66) выразим

через

/:

/ V l = =

f c z l l I .

(V.67)

Далее,

воспользовавшись заданным

параметром

бр =

Ё » = ^ 1 ,

(V.68)

Введем в рассмотрение

параметр

б ф

= mzziPi,

(V.71)

данный параметр

f = ( р ш ~ ф " )

(V.72)'

получим:

Ф , = ^ Ф Ф Ш ;

( V - 7 3 )