книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов

78 Глава 7

При использовании этой формулы1) необходимо заменять перемен­ ную X в правой части соответствующим значением g.

Пример3.3. Распределение гармонического колебания. Гар­ моническое колебание постоянной амплитуды X и постоянной частоты /0 можно рассматривать как случайную величину, если начальная фаза 0 = G(£) есть случайная величина. Рассмотрим, в частности, случай фиксированного времени ^0; тогда случайное гармоническое колебание описывается выражением

X (k)=x (Ѳ)=Х sin [2л/0/0 + Ѳ(/?)].

Пусть C(k) имеет равномерную плотность распределения

^ _1(2л)_1 при 0 ^ Ѳ^ 2я,

\ 0 при других Ѳ.

Какова в этом случае плотность распределения р(х) функции

*(*)?

Здесь прямая функция х(Ѳ) однозначна, а обратная функция Ѳ(х) двузначна. Подставив в формулу (3.13) 0 вместо х и х вме­ сто g, получим

^ Г = Х сос (2л/0/0+ Ѳ)= Х-j/1 —s.nz (2л)0/0 + 0) = у/ X*—хй.

L) При выгоде данной формулы авторы, по-видимому, предполагают, что величина dg/dx одинакова при всех п значениях х, соответствующих данному g. В общем случае это не так, и правильно записать

Р (Xj)

Р ( е > = Е - ^ - ' dg

I ~г— dxit

где Х[ = xt(g) — функции, обратные функции g(x).— Прим. ред.

величинам х{Іг) и у(/г). Совместная функция распределения Р(х, у)

определяется как вероятность, соответствующая подмножеству точек k выборочного пространства, удовлетворяющих одновремен­

Очевидно, совокупность всех точек k удовлетворяет неравенствам

*) Из того, что x(k) и y(k) порознь непрерывны, еще не следует существо­ вание р(х, у) в смысле (3.18). Если при любом фиксированном значении x(k) значения y(k) могут сплошь заполнять некоторый интервал, то это на прак­ тике может служить интуитивным основанием предположения о существова­ нии р(х, у).— Прим. ред.

называемой коэффициентом корреляции, находится в предела?^ между --1 и +1. Говорят, что случайные величины х(Іг) и y{k) некоррелированы, если их коэффициент корреляции равен нулю. Понятие некоррелированности следует отличать от приведенного ранее понятия независимости случайных величин. Заметим, что если х(Іс) и y(k) независимы, то, как следует из равенства (3.23),

Поэтому Схи и, следовательно, рГІІ равны нулю, так что независи­ мые случайные величины всегда некоррелированы. Обратное утверж­ дение, вообще говоря, неверно: некоррелированные случайные величины не обязательно независимы. Однако в физически важ­ ных ситуациях, когда рассматриваются две или более случай­ ных величии с нормальным (гауссовским) законом распределения, некоррелированность означает также и независимость случайных величин. Доказательство приводится ниже в подразд. 3.1.3.

Пример 3.5. Распределение суммы двух случайных величин. Пусть x(k) и y(k) — случайные величины с совместной плот­ ностью распределения р(х, у). Определим одномерную плотность распределения p{z) суммы случайных величин

При любом фиксированном значении г величина х может прини­ мать значения в пределах от — оо дооо. Следовательно,'

— oo

Таким образом, для нахождения одномерной плотности распреде­ ления суммы случайных величин z{k) достаточно знать совмест­ ную плотность распределения слагаемых. Если x(k) и y(k) — независимые случайные величины с одномерными плотностями

іф.І.З. Гауссовское (нормальное) распределение

Говорят, что случайная величина x(k) подчиняется распреде­ лению Гаусса (нормальному), если ее плотность распределения имеет вид

где а и b — действительные постоянные и Ь > 0. Нетрудно убе­ диться,. что а и b суть соответственно среднее значение и стандарт­ ное отклонение случайной величины x(k). Действительно,

w

М[х (&)] = I' хр (x)dx = а —рл,

*оо

М[(x(k)—а)2] = J (х—а)2р (x)dx=b2= a x2.

Таким образом, плотность распределения случайной величины, подчиняющейся нормальному закону, есть

С физической точки зрения важность нормального закона рас­ пределения объясняется, в частности, существованием централь­ ной предельной теоремы [30, 33], которая утверждает, что сумма большого числа совместно действующих независимых случай­ ных величин распределена в довольно общем случае по закону,

близкому к нормальному.

Рассмотрим конкретный пример. Пусть хД/г), x2(k), ..., xN(k) представляют собой N взаимно независимых случайных величин

а алгебраическое дополнение | Си | элемента Cij определяется как детерминант (N — 1)-го порядка, полученный вычеркиванием і-й строки и /-го столбца из матрицы С и умножением полученного минора на (— \)i+J.

, Наиболее важная особенность /^-мерного нормального закона

т. е. сводится к нормальной плотности распределения, определен­

откуда следует, что если величины x^k) и х2(£) некоррелнрованы, то они также независимы. Этот результат не остается справедли­ вым для любого закона распределения.

Можно записать аналогичные формулы и для распределений