книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов

68 Г лапа 2

процесс на входе системы есть изменение разности потенциалов,

сывающее данную систему. Как следует из основного закона тео­ рии электрических цепей, сумма всех значений падения напря­ жения в элементах цепи равна нулю, т. е.

Отсюда находим дифференциальное уравнение, описывающее систему

Отметим, что между уравнением (2.40) и уравнением движения (2.19) механической системы с вынуждающей силой на входе су­ ществует аналогия. Применяя описанную в подразд. 2.4.1 мето­ дику анализа, сразу получаем частотную характеристику даннойщ

^Функцию (2.45) часто называют механическим импедансом ввиду того, что она аналогична более употребительному термину «элек­ трический импеданс».

2.4.3. Другие системы

Аналитический метод решения, использованный в подразд. 2.4.1, позволяет, по крайней мере теоретически, получить частотную характеристику любой устойчивой строго определенной физической системы (т. е. любой системы, динамический режим работы которой можно описать с помощью точного уравнения). ^Кроме того, различные физические системы могут обладать ана­ логичными параметрами, как показано на примере механической

и электрической систем в подразд. 2.4.2. Перечень параметрованалогов некоторых обычных физических систем приведен

втабл. 2.3.

2.5.Практические соображения

Вразд. 2.4 был описан аналитический метод определения ча­ стотных характеристик физических систем. Для того чтобы упро­ стить выкладки и дать общее представление об идее метода рассматривались лишь самые простые механические системы. На основании этих примеров не следует делать вывод, что аналитиче­ ский путь определения частотных характеристик для физических

^систем всегда столь прост.

Рассмотрим, например, такую механическую систему, как сплошная упругая конструкция, параметры которой (масса, коэф­ фициент торможения, коэффициент жесткости) не сосредоточены в точке, как предполагалось при рассмотрении примеров в под­ разд. 2.4.1, а распределены некоторым образом в пространстве. Можно назвать различные входные и выходные процессы такой механической системы, представляющие интерес для исследова­ теля. Частотная характеристика для каждой комбинации про­ цессов на входе и выходе обычно имеет много пиков, соответст­ вующих различным значениям резонансной частоты, в отличие от рассмотренной в подразд. 2.4.1 системы с единственным значением этой частоты. Частотные характеристики сравнительно несложных сплошных конструкций типа балок и плит можно найти с доста­ точной степенью точности аналитическим путем. Однако в случае более сложных конструкций необходимо затратить много усилий, ^тобы получить хотя бы грубое представление об искомой частот­ ной характеристике.

По изложенным выше причинам для определения или по край­ ней мере для проверки формы частотных характеристик реальных физических систем используются эмпирические методы. Наиболее

72 Глапа 2

простой эмпирический метод состоит в том, что к входу системѣ? прилагается гармонический процесс н измеряется амплитуда и фаза процесса на выходе при изменении частоты гармоники. Как показано в разд. 2.3, отношение амплитуд процессов на выходе и входе системы дает амплитудную частотную характеристику, а сдвиг фаз процесса на выходе относительно входного процесса определяет фазовую частотную характеристику.

К сожалению, встречаются и такие случаи, когда трудно моде­ лировать сигнал на входе исследуемой системы гармонической функцией. Рассмотрим, например, задачу определения динамиче­ ской реакции корабля на создаваемые волнами нагрузки, само­ лета — на турбулентные порывы ветра или строительной конст* рукции на нагрузки, создаваемые избыточным акустическим давле­ нием. Ввиду больших размеров исследуемых систем и сложного характера распределения приложенных к ним нагрузок весьма трудно найти частотные характеристики эмпирическим путем, подавая на вход системы калиброванный гармонический про­ цесс. В таких случаях можно получить ценные сведения, прила­ гая моделируемую нагрузку в виде гармонического процесса к моделям, уменьшенным до приемлемого размера. С другой сто­ роны, иногда более целесообразно вычислять искомые частотные характеристики по результатам измерений процессов на входе и выходе физических систем, находящихся в естественных для них условиях. В естественных же условиях перечисленные выше системы подвергаются воздействиям, носящим характер случай­ ных или переходных процессов, но никак не гармонически^#, Однако даже и в таких случаях можно определить частотные ха­ рактеристики путем анализа процессов на выходе системы при использовании в качестве входов переходных или случайных процессов. Эти вопросы детально рассмотрены в гл. 5 и 10.

Упражнения

1.Запишите уравнение, выражающее условие линейности физической системы.

2.Найдите, каким из перечисленных ниже требований должна

удовлетворять физическая система, чтобы ее можно было описать

4.Найдите весовую функцию изображенной на рис. 2.2 ме­ ханической системы с вынуждающей силой на входе.

5.Найдите частотную характеристику физической системы, обладающей весовой функцией h(x) = Ае~ах, где а > 0.

'характеризуется следующими параметрами: коэффициент жест­

\ r n \ -

7. Пусть масса изображенной на рис. 2.1 механической си­ стемы выведена из состояния равновесия, а затем освобождена. ^Докажите, что при возникающих колебаниях интервалы времени между прохождениями положения равновесия составляют

где £2< 1,0.

8. Докажите, что резонансная частота изображенной на рис. 2.2 механической системы с вынуждающей силой на входе составляет, согласно уравнению (2.25),

fr = fnV 1 -2 £ 2 , где С2 < 0 ,5 .

9. Полоса пропускания по уровню половинной энергии ре­ зонансной физической системы определяется соотношением Вг =

= f t — /і. где

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АНАЛИЗА

СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

В этой главе, которая представляет собой развитие гл. 1, кратко излагаются математические основы методов анализа стационарных случайных процессов. Приводятся элементарные и более сложные положения теории случайных процессов, начиная от исходных принципов, которые составляют необходимую осно­ ву для практических приложений теории к задачам анализа. Описаны важнейшие вероятностные свойства случайных величин, стационарных и эргодических случайных процессов, гауссовских случайных процессов, приведены сведения о линейных преобра­ зованиях и теоремы о дискретном представлении процессов.

3.1.Вероятностные основы анализа случайных величин

3.1.1. Случайная величина

В основе теории вероятностей лежит понятие множества/ определяемого как совокупность объектов (называемых также точками или элементами), относительно каждого из которых можно судить, принадлежит он данному множеству или не при­ надлежит. В частности, возможные исходы опыта (или результа­ ты измерения) образуют множество точек, называемое выбороч­ ным пространством. Эти точки можно различными способами группировать в множества, называемые событиями, и при со­ ответствующих условиях возможно поставить в соответствие каж­ дому событию определенную вероятность. Эти вероятности всегда принадлежат отрезку 10,1], причем вероятность невозможного события равна нулю, вероятность достоверного события — еди­ нице. Выборочные пространства могут быть конечными или бесконечными.

Рассмотрим выборочное пространство точек, представляющих возможные исходы некоторого опыта (или результаты измерения). Случайной величиной x(k) называется функция множества, опре-? деленная для точек k выборочного пространства, т. е. случайная величина x(k) есть действительное число, принимающее значения от — оо до + оо, соответствующие каждой возможной выбороч-

^ной точке /г. Иначе говоря, случайный исход опыта с индексом k '■.может быть представлен действительным числом х(/г), называе­ мым случайной величиной. Пусть задано множество всех возмож­ ных исходов опыта. Из подмножеств этого множества можно образовать вполне аддитивный класс множеств, и каждому собы­

Р(х) как вероятность, которую можно поставить в соответствие множеству точек /г, удовлетворяющих заданному неравенству x(k) < X. Заметим, что множество точек k, для которых x(k) ^ х, представляет собой подмножество совокупности всех точек k,

Если случайная величина может принимать любые значения в некотором интервале (что и будет предполагаться в дальнейшем), то можно определить одномерную плотность распределения соот­

Для обобщения на случай дискретной случайной величины, как в примере 3.1, в плотность распределения вводятся дельта-функ- дии.

П р и м е р 3.1. Дискретное распределение. Пусть производится бросание монеты; очевидно, здесь возможны два исхода — появ­ ление герба или решетки, причем вероятность этих событий оди­ накова и- равна 1/2. Случайная величина x(k) может принимать.

только два значения — х (герб) и х (решетка), которым можно* поставить в соответствие произвольные действительные числа) Пусть, например, х (герб) = а и х (решетка) = Ь, где а и Ь — действительные числа и b > а. Тогда функция распределения определяется следующим образом:

О при X < а,

Р(х) = у- при а < X < Ь,

1 Г.ГЛИ

Плотность распределения в этом случае имеет вид

Пусть опыт состоит в случайном выборе точки в замкнутом интер­ вале [а, Ь]. Непрерывную случайную величину x(k) можно опре­ делить как числовое значение выбранной точки. Соответствующая функция распределения имеет вид

в интервале (—• оо, оо). Среднее значение (математическое ожи­ дание) случайной величины х(/г) определяется предельным пере­ ходом от произведения всех возможных значений x(k) на соот­