книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов

Из соображений физической осуществимости следует, что ча-' стотная характеристика линейной системы с постоянными пара­ метрами и ее амплитудная и фазовая частотные характеристики должны обладать свойствами симметрии, т. е.

Я ( - /) = Я * ( /) ,

0 ( - / ) = - 0 ( / ) .

.Далее если засистемой с частотной характеристикой Н ^ ) рас­ положена вторая система с частотной характеристикой Я2(/) и между этими системами не включено нагрузки и отсутствует обратная связь, то эту сложную систему можно в целом охаракте­ ризовать частотной характеристикой Я(/), такой, что

Я (/) = Я1'(/)Я2(/),

0 (/) = 0 і(/) + 02 (/)•

Таким образом, для каскада из двух систем при отсутствии между ними нагрузки или обратной связи амплитудные частотные харак­ теристики умножаются, а фазовые характеристики складываются.

Важно подчеркнуть, что частотная характеристика Я(/) ли­ лейной системы с постоянными параметрами есть функция только ■частоты и не зависит ни от времени, ни от интенсивности входного процесса. Если система нелинейна, то характеристика H(f) зави­ сит также и от интенсивности входного процесса. Характеристика* Я(/) системы с переменными параметрами есть также функция вре­ мени.

2.4. Примеры частотных характеристик

Для того чтобы получить более ясное представление о частот­ ных характеристиках обычных физических систем, следует вначале рассмотреть некоторые простые примеры. В качестве примеров такого рода выбраны несложные механические и электрические -системы, потому что их легче всего себе представить. Проводится аналогия между механическими и электрическими системами, с

•одной стороны, и другими физическими системами — с другой.

2.4.1. Механические системы

Как пример простой механической конструкции рассмотри^: -систему с сосредоточенными параметрами, состоящую из массы, пружины и демпфера, причем движение груза совершается только в одном направлении (рис. 2.1). Здесь величина k — коэффициент жесткости пружины, с — коэффициент торможения, т — масса.

^ Прежде чем перейти к нахождению частотной характеристики,, ^необходимо четко определить характер процессов на входе и вы­ ходе системы. Для изображенной на рис. 2.1 системы возможен, как это показано ниже, ряд вариантов.

Вынуж дающая сила как входной процесс и смещение-

массы ка к выходной процесс. Зададим в качестве входного про­ цесса изменение силы, приложенной к массе, а в качестве выход­ ного— смещение массы (рис. 2.2). Здесь F(t) — приложенная-, сила, у(і) — результирующее смещение груза.

Чтобы определить частотную характеристику изучаемой си~ стемы, следует вначале вывести уравнение движения. Его можно получить, пользуясь одним из основных законов механики, со­

Следовательно, уравнение движения системы запишется в виде-

ставить частотную характеристику H(f) как функцию амплитуд­

на частоте менее /„. Частота, соответствующая положению пика амплитудной характеристики, называется резонансной частотой ^системы. Определив минимальное значение знаменателя дроби в

и что пиковое значение амплитудной частотной характеристики,

Вторая особенность графиков состоит в том, что фазовая частот­ ная характеристика меняется от 0° при частотах много меньше /„ до 180° при частотах много больше/„. Вид кривой </>(/) между эти­

ровать частотную характеристику H(f)f_d следующим образом. Положим, что вынуждающая сила на рис. 2.2 меняется по сину­ соидальному закону F(t) = B0sin2n/^. Тогда смещение массы во

"^акая интерпретация позволяет предложить другой способ по­ лучения частотной характеристики. Он состоит в определении реакции системы на гармонический входной процесс и в вычисле­ нии искомой характеристики по изменению амплитуды и сдвигу

(фазы процесса на выходе по сравнению с входным процессом. Этот способ можно проиллюстрировать на рассмотренном выше при­ мере.

Реакция системы, изображенной на рис. 2.2, на гармонический входной процесс представляет частный случай решения урав­ нения (2.19), когда F(t) является синусоидальной функцией:

' tny(t)+cy ( t ) + ky(l)=F0 sm2nf(=lm[F0e2n,!t]. (2.28)

Символ Im [ ] означает мнимую часть выражения, заключенного

После подстановки выражения (2.29) в формулу (2.28) получаем соотношение

Im [(— (2я/)2т + 2я//с + k)Yen2nlt~0)]=

Частное решение уравнения (2.28) находим из уравнений (2.29)

и (2.30)

W.

Использовав обозначения (2.22а) и (2.226) и представив решение в тригонометрической форме, можно записать процесс на выходе

_y(t) в виде

Следовательно, амплитуда процесса на выходе равна амплитуде процесса на входе, умноженной на амплитудную частотную харак­ теристику (2.24а), а фаза меняется на величину, определяемую формулой (2.246).

^ Смещение основания к а к входной процесс и смещение массы—как выходной. Рассмотрим теперь другой случай,

.когда входным процессом является смещение основания, а вы­ годным — смещение массы, как показано на рис. 2.4. Здесь х{І) — задаваемое смещение основания, отсчитываемое от сред­

него положения, у(і) — результирующее смещение массы, отсчи^ тываемое от положения равновесия.

Как и ранее, уравнение движения системы, которое можно получить исходя из основного принципа механики, имеет вид

m

Ри с . 2.4. Механическая система со смещением основания на входе.

Таким образом, уравнение движения системы запишется в виде'

Как и в предыдущем примере, частотная характеристика систе­ мы представляет собой преобразование Фурье результирующего смещения y(t) для единичной импульсной функции, соответствую­ щей смещению основания x(t) — б(і). Находя преобразование Фурье обеих частей уравнения (2.34) и принимая во внимание,

где подстрочный индекс d — d означает, что данная частотная ха­ рактеристика #(/) связывает смещение на входе со смещением' на выходе.

06 Глава 2

С учетом обозначений (2.22) зависимость (2.36) перепишется. как

В показательной форме формула (2.37) сводится к виду

где амплитудная частотная характеристика

К

и фазовая частотная характеристика

Величина H(j)d_d безразмерна; ее часто называют коэффициентом передачи. Графики функций \H(J)\d_d и <j>(f)d_d представлены на рис. 2.5. Из этого рисунка видно, что амплитудная частотная ха­ рактеристика имеет один пик, как и показанная на рис. 2.3 ха­ рактеристика, соответствующая вынуждающей силе на входе си­ стемы. Однако в деталях амплитудные и фазовые характеристики, изображенные на рис. 2.3 и 2.5, между собой заметно различав ются.

Другие примеры комбинаций входных и выходных процессов. Приведенные выше два примера показывают, насколь­ ко различными могут быть частотные характеристики, описы­ вающие одну и ту же простую механическую систему, в зависи­ мости от типа входного процесса. Поэтому для каждой исследуе­ мой комбинации процессов на входе и выходе необходимо нахо­ дить, как правило, свою частотную характеристику. Например, в некоторых задачах представляет интерес смещение системы относительно ее основания, т. е. величина z(t) = у(1) — x(t). В других случаях необходимо исследовать связь между скоростью

смещения основания x(t) как процессом на входе и абсолютным

ускорением y(t) как процессом на выходе. Частотные характери­ стики в каждом случае будут несколько различаться. Для того чтобы проиллюстрировать это положение, в табл. 2.1 приводятейамплитудные частотные характеристики изображенной на рис. 2.1 простой механической системы для 21 комбинации вход­ ных и выходных процессов.