книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов

Фурье автокорреляционной функции, так и взаимная спектралі^ ная плотность двух реализаций представляет преобразование Фурье взаимной корреляционной функции. Поскольку взаимная корреляционная функция не обладает свойством четности, взаим­ ная спектральная плотность есть обычно комплексная величина

где действительная часть Cxy(f) называется синфазной составляю­ щей, а мнимая часть Qxy(f) — квадратурной составляющей взаим­ ной спектральной плотности.

В функции частоты синфазную составляющую можно предста­ вить как отношение среднего произведения функций x(t) и y(t^ в узком интервале частот от / до / + А/ к ширине этого интервала.' Такое же определение можно дать квадратурной составляющей взаимной спектральной плотности, за тем исключением, что либо x(t), либо у(і), но не обе функции сразу сдвинуты во времени та­ ким образом, что составляющие с частотой / будут сдвинуты по

где модуль I Gxy(f) | и аргумент Qxy(f) связаны с величинами Cxy(f) и ОхѵФ формулами

При использовании взаимной спектральной плотности для ре­ шения физических задач целесообразно ввести в рассмотрение дей­ ствительную величину

которая называется функцией когерентности. В том случае, когда при некотором значении частоты y%y(f) = 0, говорят, что функции х(і) и у(() на данной частоте некогерентны, или, другими словами, некоррелированы. Если функции х{і) и y(t) статистически независимы, то при всех значениях частоты yly(f) = 0. В том слу^ чае, когда при всех значениях частоты ylyif) = 1, говорят, чта функции x(t) и y{t) полностью когерентны.

Типичный график взаимной спектральной плотности как функдин частоты (зависимость Gxy от /) для двух реализаций случай-

50 Глава 1

Измерение времени задержки. В подразд. 1.4.2 эта задача при~^

водилась в качестве, примера использования взаимной корреля-' ционной функции. В данном случае фазовый угол Qxy(f), величина которого определяется взаимной спектральной плотностью, свя­ зывающей сигналы на входе и выходе некоторой системы, дает сдвиг фазы сигнала с частотой / при прохождении его через си­ стему. Следовательно, время задержки в системе сигнала с неко­ торой частотой / описывается формулой т = QxU(f)!2nf. Отметим, что по данным измерений взаимной спектральной плотности мож­ но вычислить время задержки как функцию частоты, тогда как взаимная корреляционная функция не дает такой возможности.

Теория линейного прогнозирования и фильтрации. Спектраль­ ная и взаимная спектральная плотности имеют много различных' приложений в теории линейного прогнозирования и фильтрации. Решение этих задач требует определения оптимального по некото­ рому критерию линейного фильтра, который позволяет передать и прогнозировать желаемый сигнал, исключив посторонний шум. Характеристики такого фильтра определяются различными спек­ трами и взаимными спектрами, связывающими сигнал на входе плюс шум с сигналом на выходе плюс шум.

Рассмотрим следующий пример из этой области. Допустим,, что необходимо получить оценку сигнала у(() путем линейного преобразования входного сигнала x(t). Положим далее, что сиг­ нал у(і) искажается посторонним шумом п((), который не зависит от x(t). Если пока не затрагивать вопроса о физической осущест­ вимости искомого фильтра, то оптимальная весовая функция,, отыскиваемая по критерию минимума среднего квадрата ошибки,.' имеет вид

Я у / х ( / ) = - % ( 1 . 5 4 >

где вертикальная черта в индексе у\х означает, что y(t) опреде­ ляется при заданном сигнале х(().

Минимальное значение среднего квадрата ошибки для опти­ мальной системы

СО

и вычисляемая по формуле (1.52). Нетрудно видеть, что в том слу­ чае, когда когерентность на всех частотах равна единице, функ­ ция у(1) получается путем линейного преобразования функции x(J) с нулевым средним квадратом ошибки. При помощи соотно­ шения (1.55) на практике определяют, насколько близка некото­ рая реальная система к оптимальной.

ражнении 7, является нормальным, запишите выражение для. плотности распределения процесса.

Укажите утверждения из перечисленных ниже, которые всегда верны:

а) взаимная корреляционная функция этих процессов равна нулю при всех значениях сдвига т;

б) взаимная спектральная плотность этих процессов равна нулю при всех значениях частоты /;

в) функция когерентности, связывающая процессы, равна нулю при всех значениях частоты /.

S 3

ГЛАВА 2

ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ

ч

Прежде чем подробно рассматривать вопросы измерения и анализа случайных физических процессов, следует уточнить не­ которые необходимые понятия и основные соотношения, характе­ ризующие динамический режим физических систем. В этой главе приводятся теоретические формулы, которые могут быть исполь­ зованы для описания частотных характеристик идеальных систем,, и на примерах простых физических систем даются пояснения ос­ новных идей.

2.1. Линейные системы с постоянными параметрами

Идеальной называется система с постоянными параметрами,. обладающая свойством линейности сигналов в двух определенных точках — на входе, или в точке приложения воздействия, и на выходе, или в точке определения реакции системы. Говорят, что система,имеет постоянные параметры, если все основные свойства ее инвариантны во времени. Например, простая пассивная элек­ трическая цепь является системой с постоянными параметрами, если сопротивления, емкости и индуктивности всех ее элементов не меняются во времени.' Система линейна, если частотные ха­ рактеристики обладают свойствами аддитивности и однородности.

.Понятие аддитивности означает, что реакция системы на сумму входных сигналов равна сумме реакций на каждый отдельно взя­ тый входной сигнал. Понятие однородное™ означает, что реак­ ция системы на любой сигнал, умноженный на некоторую по­ стоянную, равна этой постоянной, умноженной на реакцию систе­ мы на входной сигнал.

Запишем эти утверждения в аналитической форме. Пусть сим­ вол f(x) обозначает реакцию системы на входной сигнал х. Систе­ ма обладает свойством линейности, если для двух любых входных

Предположение о постоянстве параметров вполне приемлемо для многих физических систем, с которыми приходится иметь дело на практике. Например, обычно не наблюдается заметных измене­ ний основных характеристик электрических цепей или механиче­ ских устройств в пределах любых представляющих практический интерес интервалов времени. Такие системы встречаются, конеч­ но, далеко не всегда. Сопротивление электрического резистора может меняться вследствие сильного нагрева, а прочность соору­ жения также может меняться при повреждении, вызванном уста­ лостью металла под воздействием непрерывной вибрации. Кроме того, некоторые физические системы конструируют именно как

•системы с переменными параметрами. В качестве яркого примера ' можно привести системы связи, в которых используются электрон­ ные приборы. Однако примеры такого рода обычно представляют -собой весьма специфические частные случаи.

Большие ограничения накладывает предположение о линей­ ности реальных систем. При наличии экстремальных условий на входе частотные характеристики всех реальных физических си­ стем нелинейны. Например, при увеличении приложенного к электрическому конденсатору напряжения наблюдается резкая криволинейность характеристики и, следовательно, сила тока уже не будет прямо пропорциональна напряжению. Точно так же металлический трос при увеличении нагрузки в конце концов разрывается, и поэтому напряжение в тросе не будет пропорцио­ нально приложенной нагрузке. Еще более осложняет дело то об­ стоятельство, что нелинейность обычно возникает постепенно, а.' не обнаруживается в какой-либо момент. Например, соотношение между напряжением в тросе и приложенной к нему нагрузкой

•обнаруживает отклонение от линейности задолго до того, как происходит окончательный обрыв троса. Тем не менее, не рискуя допустить больших ошибок, частотные характеристики многих физических систем можно считать, по крайней мере в некотором ограниченном диапазоне приложенного на входе воздействия, линейными.

-2.2. Основные динамические свойства физических систем

Динамические свойства линейной системы с постоянными пара- "метрами можно охарактеризовать при помощи весовой функции' h{т), которая определяется как реакция системы в некоторый мо­ мент t на единичную импульсную функцию, поданную на вход системы в момент / — т. Полезность весовой функции как характе­ ристики системы связана со следующим. При любом входном

Линейную систему с постоянными параметрами можно охарак-с* теризовать также передаточной функцией Н(р), которая опреде­ ляется как преобразование Лапласа весовой функции /г(т):

Критерий устойчивости линейной системы с постоянными пара-

.метрами в случае ее физической осуществимости принимает ин­ тересную форму, если связать его с передаточной функцией Н{р). В этом случае система является устойчивой, если функция Н(р) не имеет полюсов в правой полуплоскости комплексной пере--з

если функция Я(р) имеет хотя бы один полюс в правой полупло­ скости комплексной переменной р или на мнимой оси.

Важным свойством линейных систем с постоянными парамет­ рами является сохранение частотной структуры сигналов. Рас­ смотрим линейную систему с постоянными параметрами, обла­ дающую весовой функцией h{т). Из формулы (2.2) следует, что при произвольной форме входного процесса х(і) п-я производная по времени процесса на выходе y(t) имеет вид

Предположим далее, что на вход системы подается гармоническое' колебание

Таким образом, процесс на выходе y(t) также имеет форму сину(~ч соиды с той же частотой, что и частота процесса ’faa входе х(/): Отсюда следует, что при помощи линейной системы с постоянны­ ми параметрами нельзя преобразовывать частоту, а можно ме­ нять лишь амплитуду и фазу приложенного на входе процесса.

ft.3. Частотные характеристики

Если линейная система с постоянными параметрами физически, осуществима и устойчива, то ее динамические свойства можно опи­ сать при помощи частотной характеристики H{f), которая оп­ ределяется как преобразование Фурье весовой функции h1*), т. е.

о

Отметим, что нижний предел интегрирования равен нулю, а не минус бесконечности, так как Ңт) = 0 при т < 0. Частотная характеристика представляет собой просто частный случай пере­ даточной функции, когда в показателе экспоненты р = а + jb,. а = 0 и b = 2л/. Для физически осуществимых устойчивых си­ стем передаточную функцию можно заменить частотной характе­ ристикой без потери информации.

Применяя преобразование Фурье к левой и правой частям фор­ мулы (2.2), получают важное соотношение для частотной характе­ ристики линейной системы с постоянными параметрами. Обозна­ чив преобразование Фурье процесса на входе системы х(і) через

Таким образом, использовав частотную характеристику систе­ м ы и выполнив преобразование Фурье процессов на ее входе и 'выходе, можно свести интеграл свертки (2.2) к простому алгебраи­ ческому выражению (2.14).

Частотная характеристика в общем случае является комплекс­ ной величиной, которую удобно представить через ее модуль и аргумент. Для^этого следует переписать H(f) в показательной

шодуль \Н(Г)\ называется амплитудной частотной характери­ стикой системы, а аргумент ф{[) — фазовой частотной характе­ ристикой. Используя эти понятия, частотной характеристике можно дать простую физическую интерпретацию. Пусть на вход системы поступает гармоническое колебание с частотой /, сущест­ вующее, как мы предполагаем, на бесконечном интервале времени. Процесс на выходе системы, как показано в разд. 2.2, также будет Синусоидальным той же частоты. Отношение амплитуд процессов на выходе и входе системы определяет амплитудную частотную характеристику системы |Я (/)|, а сдвиг фаз процесса на выходе системы относительно процесса на входе определяет фазовую частотную характеристику 0(/).