книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов
.pdf38 |
Глава 1 |
случайного |
процесса при больших значениях сдвига стремит#? |
к нулю (если р* = 0). Поэтому очевидно, что автокорреляционная функция представляет мощное средство для выявления детерми нированных процессов, которые могут маскироваться случай ным фоновым шумом. Существуют и другие, менее наглядные примеры использования автокорреляционной функции, но их лучше пояснить, рассматривая преобразование Фурье этой функ ции, т. е. спектральную плотность, о которой сказано ниже.
1.3.4. Спектральная плотность
Спектральная плотность случайного процесса (называема'?? также автоспектром)1) описывает общую частотную структуру процесса через спектральную плотность среднего значения квад рата его значений. Среднее значение квадрата значений реали зации в интервале частот от / до / + А/ можно получить, подавая эту реализацию на вход полосового фильтра с узкой полосой про пускания и осредняя возведенную в квадрат функцию на выходе фильтра. Это осредненное значение квадрата приближается к точ ному его значению при стремлении Т к бесконечности:
|
г |
|
TS (Л Д /)= Н т 4 - |
f x*(t, frbf)dt. |
(1.32) |
T—*oo*• |
J |
|
|
0 |
|
Здесь x(t, f, А/) — составляющие функции x(0, |
имеющие частотЙГ |
||
в интервале от f до / |
+ А/. При малых А/ спектральную плот |
||
ность GX(J) можно определить, пользуясь приближенным равен |
|||
ством |
*1(Л Af) ^ G x(f)Af. |
(1-33) |
|
|
|||
Более строго |
|
|
|
Gx (f)=U m |
(f. Af) |
|
|
|
Äf—O |
|
|
|
|
fг |
|
-lim — |
l;m jr- |
Г x\(t, fA fidt |
(1.34) |
A f-> 0 >' |
t->о J |
J |
|
|
|
о |
|
Величина Gx(f) — всегда действительная, неотрицательная функ
ция. |
& |
|
Л, |
*) В дальнейшем ’авторы |
отождествляют ' понятия «спектр» |
и «спек-о |
тральная плотность».— Прим. |
перев. |
* |
Основные характеристики физических процессов |
39 |
Важное свойство спектральной плотности заключается в ее связи с автокорреляционной функцией. В частности, для стацио нарного процесса эти функции связаны преобразованием Фурье
СО |
|
Gx{f)--=2^Rx{x)e~^x dx= |
|
о |
|
оо |
|
Rx (x) cos 2лfxdx. |
(1.35) |
о
Переход к последнему выражению возможен потому, что Rx(x) йсть четная функция аргумента х.
Среднее значение функции x{t) определяется спектральной плотностью в соответствии с формулой
0+ |
Va |
|
Цх = j' Gx (f)df |
» |
(1.36) |
где О- и 0+ означают, что нижний предел интегрирования берется слева, а верхний — справа. Иными словами, среднее значение функции x(t) входит в функцию Gx(f) через дельта-функцию Ди рака при нулевой частоте. Это среднее равно положительному значению корня квадратного из площади, лежащей под дель та-функцией.
«■* Среднее значение квадрата функции x(t) описывается зависи мостью
СО |
|
^ = ] Ч ( М > |
(1.37) |
о |
|
где подразумевается, что нижний предел интегрирования берется слева с тем, чтобы учесть формулу (1.36). Следовательно, сред нее значение квадрата равно общей площади под кривой спек тральной плотности как функции частоты.
Примеры. На рис. 1.16 показаны типичные графики спек тральной плотности как функции частоты (зависимости Gx от/) для всех четырех функций времени, изображенных на рис. 1.12. Эти графики называются энергетическими спектрами. Дискрет
ный |
энергетический спектр |
гармонического |
|
колебания |
^ис. |
1.16, а) выражается формулой |
|
|
|
|
Gx( / ) = 4 - 6 (^“ / o). |
' |
(1-38) |
|
^де 6(/.— /0) — дельта-функция. Это значит, что спектральная Плотность гармонического колебания равна бесконечности на
40 Глава 1
частоте этого колебания и нулю при других значениях частот^ Однако интеграл энергетического спектра, взятый в любых пре
делах, |
которые включают в себя частоту гармонического колеба |
|||||||||||
|
|
|
|
|
ния, |
имеет |
конечное зна- |
|||||
t |
1 |
а |
|
|
чение, |
равное |
среднему |
|||||
|
|
значению |
квадрата, т. е. |
|||||||||
|
|
|
|
|
Х 2І2. |
|
|
|
гладкий |
|||
|
|
|
|
|
Относительно |
|||||||
|
|
|
|
|
и широкий энергетический |
|||||||
|
|
|
|
|
спектр |
на |
рис. |
|
1.16, г |
|||
|
|
|
|
|
объясняет, |
почему для опи |
||||||
|
|
|
|
|
сания |
случайных |
процесс |
|||||
|
|
|
|
|
сов |
рассматриваемого |
ти-- |
|||||
|
|
|
|
|
па |
используется |
термин, |
|||||
|
|
|
|
|
«широкополосный». |
В ги |
||||||
|
|
|
|
|
потетическом |
случае |
бе |
|||||
|
|
|
|
|
лого |
|
шума |
энергетичес |
||||
|
|
|
|
|
кий |
спектр, по определе |
||||||
|
|
|
|
|
нию, |
одинаков |
на |
всех |
||||
|
|
|
|
|
частотах. |
Энергетический |
||||||
|
|
|
|
|
спектр суммы |
гармоничес |
||||||
|
|
|
|
|
кого |
колебания и случай |
||||||
|
|
|
|
|
ного шума равен просто, |
|||||||
|
|
|
|
|
сумме |
спектров |
гармони |
|||||
|
|
|
|
|
ческого колебания |
и слу |
||||||
|
|
|
|
|
чайного шума, как показа^ |
|||||||
|
|
|
|
|
но на рис. |
1.16, б. |
С дру |
|||||
|
|
|
|
|
гой стороны, |
энергетичес |
||||||
|
|
|
|
|
кий спектр |
узкополосного |
||||||
|
|
|
|
|
шума (рис. 1.16, |
в) |
содер |
|||||
|
|
|
|
|
жит, как и в случае гар |
|||||||
|
|
|
|
|
монического |
колебания, |
||||||
I и с. |
1.16. Грг^икі! спектральной |
плот |
узкий пик (отсюда и |
тер |
||||||||
мин |
«узкополосный»), |
но |
||||||||||
|
ности. |
б — сумма |
гармо |
все |
же он имеет |
вид глад |
||||||
о — гармонический процесс; |
кой |
непрерывной |
кривой, |
|||||||||
нического процесса и случайного шума; |
» — уз |
|||||||||||
кополосный случайный шум; |
г — широкополос |
как |
и |
спектр |
случайного' |
|||||||
|
ный случайный |
шум. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
шума. |
Четыре примера на |
||||||
меняется вид энергетического спектра |
рис. |
1.16 показывают, как. |
||||||||||
при переходе от гармони |
||||||||||||
ческого процесса к широкополосному случайному процессу. |
|
|||||||||||
П рименение. Спектральная плотность физического процесс#'1 |
||||||||||||
применяется .прежде |
всего для |
исследования его |
частотной4 |
|||||||||
структуры, которая в свою очередь дает важную информацию об' основных характеристиках исследуемых физических систем. Рас смотрим, например, электрическую цепь с частотной характера-
Основные характеристики физических процессов |
41 |
^гикой #(/). Предположим, что на вход этой электрической цепи подается стационарный случайный сигнал со спектральной плот ностью Gx(l). На выходе цепи наблюдается стационарный случай ный сигнал со спектральной плотностью
ОЛ/) = |Я (/) І 2а д ) . |
(1-39) |
Отсюда следует, что если любые две величины, входящие в это ■соотношение, измерены или известны, то можно найти и третью. Отметим, что в приведенное выше соотношение входит только абсолютное значение частотной характеристики. Для того чтобы Йполучить информацию о фазах, необходимо вычислить взаимный
•спектр. Этот вопрос будет рассмотрен ниже.
1.4.Совместные характеристики случайных процессов
Рассмотренные в разд. 1.3 статистические функции приме няются для описания свойств отдельных случайных процессов по их реализациям. Часто возникает необходимость описать некото рые общие или совместные характеристики различных процес сов по двум или более реализациям случайных процессов. На пример, исследователя могут интересовать ординаты взволно ванной поверхности в различных точках океана. Для описания средних характеристик ординат в каждой точке можно восполь зоваться статистическими функциями, рассмотренными в
разд. І.З. Однако могут потребоваться и важные дополнительные сведения о совместных функциях, которые можно найти для ор динат взволнованной поверхности океана в двух различных точках.
Для описания совместных характеристик реализаций двух случайных процессов используют вероятностные функции трех основных типов: а) совместную плотность распределения; б) взаим ную корреляционную функцию; в) взаимную спектральную плот ность. Эти три функции представляют собой в сущности обобще ния основных понятий, используемых для описания свойств от дельных реализаций. Они дают информацию о совместных характеристиках процессов в амплитудной, временной и частотной областях.
Перечисленным выше совместным характеристикам реализа ций двух стационарных случайных процессов ниже будет дано
*5олее полное объяснение. Как и ранее, |
при их анализе считается |
||
справедливой гипотеза об эргодичности процессов, |
и |
поэтому |
|
f можно ограничиться рассмотрением |
осредненных |
по |
времени |
совместных характеристик^,только одной пары реализаций.
42 |
Глава I |
1.4.1. Совместная плотность распределения
Совместная плотность распределения двух случайных про цессов определяет вероятность того, что ординаты процессов в произвольный момент времени будут заключены одновременно в двух определенных интервалах их значений. Рассмотрим две реализации x(t) и y{t), представленные на рис. 1.17. Вероятность того, что одновременно значения x{t) заключены в интервале от х
к
до X + Ах, а значения у(() — в интервале от у до у + А г/, можно найти, вычисляя отношение ТХуУ /Т, где ТХчУ— суммарная про
должительность одновременного нахождения |
значений х(() |
и |
y(t) в интервалах (х, х + Дх) и (у, у + Ау) |
соответственно |
за |
время наблюдения Т. При стремлении Т к бесконечности это от ношение все точнее описывает вероятность такого события. Со вместную плотность распределения можно определить теперь.как величину
р(х, £/) = lim |
1 |
Дл— о |
Д х&у |
Д у — О |
'-'V |
Плотность распределения р(х, у) всегда действительна и неотриѵ цательна.
|
Основные характеристики физических процессов |
43 |
||
* Вероятность того, что мгновенные значения x(t) |
и y(t) не пре |
|||
вышают |
некоторых величин |
х н у , |
характеризуется совместной |
|
функцией |
распределен ия |
|
|
|
|
Р_(х, у) = Р [х (t) < X, |
у (t) < у] = |
|
|
|
X |
В |
|
(1-41) |
|
= j |
j р{Ъ, |
|
|
—ОО — 00
Втом случае, когда два рассматриваемых процесса статистически
независимы, |
р{х, у) = р(х)р(у), |
(1.42) |
I |
т. е. совместная плотность распределения равна произведению одномерных плотностей распределения.
ріх<у)
X
^.Р и с. 1.18. Типичный график совместной плотности распределения.
Типичный график совместной плотности распределения как
.функции двух непрерывных аргументов (зависимость р от аргу ментов X, у) для двух случайных процессов приведен на рис. 1.18'. Заметим, что график имеет три оси координат. Объем, заключен
44 |
Глава 1 |
ный под поверхностью, соответствующей совместной' плотносчй распределения, в пределах прямоугольника, ограниченного пря мыми X = xlf X — х2, у — у1г у — у2, равен вероятности того, что значения x(t) и y(t) в любой данный момент одновременно будут попадать в соответствующие интервалы. Суммарный объем под всей поверхностью составляет, очевидно, единицу, так как вероятность того, что два случайных процесса одновременно при нимают какие-либо произвольные значения, должна быть равна единице.
Применение. Совместная плотность распределения приме няется прежде всего для вероятностного описания явлений, ко торые характеризуются двумя процессами, некоторым образе^ связанными между собой. Например, совместная плотность рас пределения непосредственно применяется для прогноза числа соударений двух упругих конструкций, которые колеблются случайным образом, причем эти колебания частично зависят друг от друга. В других случаях бывает необходимо найти связь меж ду вероятностью осуществления двух событий и вероятностью осуществления одного из них. Для определения условных .ве роятностей также необходимо знать совместную плотность рас пределения. Особый случай использования рассматриваемой функции встречается при' вычислении ожидаемого числа пере сечений нулевого или произвольного порогового уровня неко торым физическим процессом, а также при прогнозе распреде ления пиковых значений и экстремальных величин.
1.4.2. Взаимная корреляционная функция
Взаимная корреляционная функция двух случайных процес сов характеризует общую зависимость значений одного процесса от значений другого. Рассмотрим две реализации x(t) и y(t), изображенные на рис. 1.1*9. Оценку величины взаимной корреля ционной функции, связывающей значение процесса x(t) в момент времени t и значение процесса у(і) в момент t + т, можно найти, вычислив среднее произведение этих двух значений за время на блюдения Т, как это делалось при нахождении автокорреляцион ной функции в подразд. 1.3.3. Найденное среднее значение про изведения приближается к точному значению взаимной корреля- ционной функции при стремлении Т к бесконечности:
г
Д*у(т)=1іпі 4 - |
f x(t)y(t + x)dt. |
(1.4j$) |
оо {.*■ |
J |
|
Ö
Величина • Rxy{t) — всегда действительная функция, котора.^ может быть как положительной, так и отрицательной. Кроме того, функция Rxy{т) не обязательно имеет максимум в точке
Основные характеристики физических процессов |
45 |
$ = 0 и не обязательно является четной, как это было в случае автокорреляционной функции. Однако функция Rxy{x) обладает свойством антисимметрии: если х а у поменять местами, то
(-*)=£„,(*). (1-44)
x(t) '
Полезно привести два неравенства, ограничивающие абсолютное значение взаимной корреляционной функции:
Г^(т)г<я;(0)яу(0), |
(1.45) |
]^ (т )К 4 -[^ (0 ) + ^(0)]. |
(1.46) |
В том случае, когда Rxy(x) = 0, говорят, что функции x(t) |
и y(t) |
некоррелированы. Если x(t) и y(t) статистически независимы, то при всех значениях х функция Rxy(x) = 0 при условии, что либо x(t), либо y(t) обладает нулевым средним значением. Если же средние значения обеих функций x{t) и y(t) отличны от нуля, то
взаимная корреляционная функция равна |
при всех значе |
ниях X. |
' |
На рис. 1.20 показан типичный график взаимной корреляцион ной функции (зависимость Rxy от сдвига т), связывающей два случайных процесса. Этот график называется взаимной коррелограммой. Отметим, что на графике кое-где видны острые пики, Наличие которых свидетельствует о существовании корреляцион ной связи между х(() и y(t) при некоторых значениях т.
Применение. Взаимная корреляционная функция приме няется во многих важных случаях. Некоторые примеры ее использования приведены ниже.
46 |
Глава 1 |
Определение времени задержки. Положим, что исследователе интересует, какое время необходимо для того, чтобы сигнал нрошел через данную систему. Если система линейна, то, зная взаимную корреляционную функцию, связывающую сигналы на входе и выходе системы, сразу можно найти время задержки. Так как сигнал на выходе системы смещен во времени относи тельно сигнала на входе, взаимная корреляционная функция будет иметь пик при значении сдвига, равном времени, которое необходимо для прохождения сигнала через данную систему.
P t ifc. 1.20. Типичный график взаимной корреляционной функции (b3*jè нмная коррелограмма).
Это утверждение справедливо потому, что среднее значение про изведения двух линейно связанных сигналов достигает максиму ма, когда сдвиг во времени между сигналами равен нулю. Следо вательно, время задержки сигнала в системе можно определить в некоторых случаях непосредственно по значению сдвига, соответетвующему наблюдаемому пику на взаимной коррелограмме, которая связывает сигналы на входе и выходе. Следует отметить, что описанный метод на практике зачастую оказывается непри менимым, поскольку тракт сигнала или скорость прохождения сигнала через систему или то и другое вместе могут зависеть от частоты сигнала. В подобных случаях четко выраженный пик на взаимной коррелограмме иногда отсутствует. Такую задачу все же можно решить, если использовать сведения о взаимной спектр ральной функции, как это будет показано ниже.
Определение тракта сигнала. Использование результатов из мерения взаимной корреляционной функции для нахождения времени задержки имеет и другое важное приложение — опреде-
Основные характеристики физических процессов |
47 |
рдение тракта сигнала. Рассмотрим линейную систему, через ко- т<$рую сигнал может проходить двумя или более различными трактами и давать на выходе наблюдаемый сигнал. Предположим, что нас интересует один определенный тракт в системе. Например, при работе мощных машин на заводе часто могут возникать неже лательный шум и вибрация в прилегающих к заводу администра тивных зданиях, причем эьергия может передаваться нескольки ми путями через строения или акустическим образом по воздуху. Чтобы эффективно бороться с шумом и вибрацией, необходимо точно определить путь прохождения сигнала. Вопросы такого рода можно решать с помощью взаимной корреляционной функ ции, связывающей сигналы на входе и выходе рассматриваемой системы. Каждому тракту в системе обычно соответствует опре деленное время задержки, поэтому на взаимной коррелограмме для трактов, которые дают значимый вклад в энергию сигнала на выходе, появляются отдельные пики. Если вычислить пред полагаемое время задержки, связанное с различными возмож ными трактами, и затем полученные данные сравнить с изме ренными значениями сдвига, соответствующими положению пиков на взаимной коррелограмме, то можно найти тракты, которые дают наибольший вклад в энергию сигнала на выходе.
Обнаружение сигналов в шуме и их восстановление. Третий пример применения взаимной корреляционной функции — это обнаружение и восстановление сигналов (не обязательно периоди ческой формы) в постороннем шуме. В подразд. 1.3.3 уже упоми налось, что в случае периодического сигнала для решения задачи такого рода можно использовать автокорреляционную функцию. Однако автокорреляционный анализ не позволяет выделить слу чайный сигнал из постороннего шума. В этом случае необходимо найти взаимную корреляционную функцию. В частности, если известна истинная форма подлежащего выделению случайного или периодического сигнала, то по взаимной корреляционной функции, связывающей истинный сигнал со смесью сигнала и шума, можно построить автокорреляционную функцию сигнала. Кроме того, для периодического сигнала использование взаимной корреляционной функции позволяет получить на выходе боль шее отношение энергии сигнала к энергии шума, чем в случае применения автокорреляционной функции, при любых значениях отношения сигнал/шум на входе.
*,1.4.3. Взаимная спектральная плотность
г-
Понятие о взаимной спектральной плотности двух случайных процессов непосредственно вытекает из определения взаимной корреляционной функции. Так же как спектральная плотность однрй реализации процесса представляет собой преобразование