книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов

когерентности выхода x^t) и входа x3(t) после исключения влияния входа xx(t) и без учета входа x2(t) есть величина 74.3 ц (/), и, сле­ довательно, п = N — 1, р = 2 и у2 = у4.3 1ф/).

Таблицы, содержащие значения функции распределения для соответствующих плотностей распределения, были получены с помощью формулы (10) в работе [3] для значений р от 2 до 10 и п таких, что р ^ п < 20. Для того чтобы правильно использовать эти таблицы, следует руководствоваться приведенными|выше пра­ вилами определения параметров п и р.

2. Вычисление матрицы частотных характеристик

Рассмотрим <7 функций времени xx(f), x3(t), ..., xq(t) и функцию времени y(t), связанные уравнением

от времени оператор, которому соответствуют частотные характе­ ристики Hk(f), k — \,2, ..., q. Функция e(t) есть по предположе­ нию гауссовский стационарный случайный процесс с нулевым средним, статистически независимый от функций xk(t), k — 1, 2, ..., q. Спектральная плотность Se(f) процесса e(t) неизвестна.

Частотные характеристики Hk(f), k — 1, 2, ..., q, также считаются«: неизвестными.

Можно считать, что уравнение (11) описывает приведенную ниже блок-схему системы со многими входами и одним выходом (при наличии постороннего шума).

(12

Матрица размерности 1 X q (комплексная)

Я (/) = [ЯХ(/), #з (/)..... Hq(f)] =

— W ir (/) + j^ i/ (/)>•••» HqR if) +iHqi {Dl (13)

/

называется матрицей частотных характеристик уравнения (11), /или, что то же самое, матрицей системы, изображенной на блоксхеме.

2.1. Оценки частотных характеристик

Предположим, что в пределах конечного интервала времени О ^ t < Т наблюдают (регистрируют) реализации функций х1(і), ..., xq(t), y(t), входящих в уравнение (11). Требуется по реали­ зациям конечной длины процесса [х1(/1), x2(t) , ..., xq(t), y(t)J найти доверительные интервалы для элементов матрицы частотных ха­ рактеристик #(/„) на некоторой частоте /0. В этом случае, как и в разд. 1 , можно прийти к заключению, что оценки матрицы ча­ стотных характеристик статистически независимы, если интер­ вал между частотами достаточно велик. Поэтому при данном ин­ тервале между частотами для каждого значения частоты / 0 мож­ но независимо найти доверительные интервалы для элементов матрицы частотных характеристик Я(/0).

Оценку Я(/0) матрицы частотных характеристикЯ(/0) получают следующим образом. Реализации процесса [х1(г!), х2{і), ..., xq(i), y(t)], заданные в пределах конечного отрезка времени 0 < t ^ Т, рассматривают как реализации конечной длины многомерного стационарного процесса ранга (7 + 1. Воспользовавшись методом получения спектральных оценок 11 ], можно вычислить матрицу выборочных спектральных плотностей размерности (q + 1) х

Х + 7 + 1 ) :

Предполагается, что число степеней свободы п, связанное с оцен­

3. Применение функций когерентности к исследованию нелинейных, не зависящих от времени систем со многими входами и одним выходом

- Рассмотрим q функций времени х ^ ), х2(/), ..., xq(t) и функцию Семени y(t), связанные уравнением

оператор, который в данном случае может быть и нелинейным^ Операторы Kk, k — 1, 2, .... q, считаются неизвестными. Уравн&! ние (16) описывает нелинейную (в общем случае), не зависящую от времени систему со многими входами и одним выходом.

Предположим, что на конечном отрезке времени 0 ^ t ^ Т наблюдаются (регистрируются) реализации функций хг{1), х2(і),

..., Да(t). Будем считать далее, что реализации x^t), x2(t), ..., xq{t) конечной длины Т представляют собой конечные выборки, при-ч надлежащие многомерному стационарному ряду ранга (q -ф 1). Используя методы получения спектральных оценок, изложенные

в общем случае может отличаться от линейной, не зависящей от времени системы, описываемой уравнением (11). Однако легко видеть, что по матрице выборочных спектральных характеристик

Е(/0) [формула (17)] чисто формально можно вычислить все выбо­ рочные-величины, описанные в разд. 2. Рассмотрим теперь кратко^ смысл такого рода выборочных величин и возможность их ис­ пользования для исследования (в общем случае) нелинейной, не зависящей от времени системы со многими входами и одним вы­ ходом, описываемой уравнением (16).

В настоящей работе считается, что компоненты вектора [xy^), x2(t), ..., Xg(t)} образуют многомерный стационарный слу­

также образуют многомерный стационарный случайный процесс. Крометого, отсюда следует также, что матрица 2(/0) [формула (17)]

уравнением (16). Тем не менее существует способ, позволяющий описать соотношение между процессом y{t) и процессами х^(Щ, x2{t), ...,xq{t) при помощи блок-схемы (12). Иными словами, уравнение(іб) можно записать в форме уравнения (11), если операторы

где символ Lk, k = 1, 2, ..., q, обозначает линейные, не зависящие от времени операторы, обладающие частотными характеристиками Hk(f), k = 1,2, ..., q. Величина ye(t) есть та часть функции y{t), которая не связана линейно с процессами xx{t), x2(f), ..., xq(t)

(іфункция множественной когерентности равна нулю). Если мат­ рица размерности (q + 1) X (q + 1) спектральных плотностей процессов x^t), X2(t), ..., xq(t), y{t), входящих в уравнение (16), имеет вид

то частотные характеристики Hk, соответствующие операторам Lk, k = 1,2, ..., q, из уравнения (19), определяются соотношением

Н>(/) = [Н, (/),..., Hq(/)]' = (/) Ъхѵ(/). (21)

Исходя из приведенных выше рассуждений, можно построить ^диаграмму (12), справедливую для уравнения (16), причем частот­ ные характеристики Hk, k = 1,2, ..., q, определяются из соотно­ шения (2 1 ), а функция e(t), входящая в уравнение (12), заменяется разностью ye(f) = у(і) — у£(/). Функция множественной когерент­ ности, связывающая процесс ye(t) и процессы хг(£), x2(t), ..., xq(t), равна нулю. Согласно уравнению (18), функцию ye(t) можно ин­ терпретировать как ту часть функции y{t) [см. формулу (16)], которую нельзя получить с помощью входящих в уравнение (19) линейных операторов Lk, k = 1, 2, ..., q, прилагая их к функциям xi(t), x2(t), ..., xq(t) и получая таким образом «наилучшую» ап­ проксимацию функции y(t). Итак, уравнение (16) можно записать в виде уравнения (11), заменив входящую в уравнение (11 ) функ­ цию e(t) функцией ye{t). В разд. 2 предполагалось, что e(t) есть гауссовский стационарный случайный процесс с нулевым сред­

462 Н . Г у д м е н

в разд. 2 результатов для описания (или аппроксимации) нели­ нейных, не зависящих от времени физических систем аналогия}/ ными линейными системами решается в зависимости от того’, насколько различия между свойствами процессов ,ye(t) и e(t) влияют на эти результаты.

В целом можно сказать, что выборочные величины, о которых говорилось в разд. 2 , сохраняют тот же смысл, и их можно использовать для решения поставленной задачи. Например,^

уравнение (15) для частотной характеристики H'(f0) примени­ тельно к нелинейным системам, рассматриваемым в настоящем разделе, можно интерпретировать как уравнение, служащее для

оценивания на частоте/ 0 матрицы частотных характеристик H’(f) (уравнение (21)]. Выборочную функцию множественной когерент-

ровать теперь как оценку функции множественной когерент­

цесс у({), даже если входные процессы Х\(t), x2(t), ..., xq{t) обра­

«фильтрация в узкой полосе частот».‘Из опыта получен очень важный вывод, заключающийся в том, что многие стационарные, но негауссовские случайные процессы, будучи «отфильтрованы» подобным образом, становятся почти гауссовскими. Таким обра­ зом, можно ожидать, что результаты рассмотрения выборочных распределений и доверительных интервалов, содержащиеся в разд. I и 2, приближенно справедливы и для многих многомерных негауссовских стационарных случайных функций. Поэтому упо­ мянутые выборочные распределения и доверительные интервалы во многих случаях, по-видимому, применимы при исследовании описанных выше нелинейных систем.

Читателю, по-видимому, ясно, что изложенные в настоящей разделе методы, во-первых, показывают, как можно аппрокси­ мировать нелинейную (в общем случае), не зависящую от вре­ мени систему аналогичной линейной системой, и, во-вторых,

позволяют получить меру точности такой аппроксимации при любом значении частоты f ü (выборочную функцию множественной когерентности). Поэтому описанные здесь методы можно, вообще говоря, использовать также для проверки гипотезы о линей­ ности не зависящей от времени системы. Основная идея этих методов заключается в том, что-не зависящую от времени си­ стему, поддающуюся подходящей аппроксимации линейной, не зависящей от времени системой, во многих практических зада­ чах можно представить именно как линейную.

ЛИТЕРАТУРА

1.Goodman N. R., Statistical Analysis Based on a Certain Multivariate Com­ plex Gaussian Distribution (An Introduction), Annals of Mathematical Sta­ tistics, .34, No t, pp. 152—177 (1963).

4. Goodman N. R., Simultaneous Confidence Bands for Matrix Frequency Response Functions and Related Results, Rocketdyne Division, North Ame­ rican Aviation, Inc., Research Memorandum 972-351, October 1963.

5. Enochson L. D., Frequency Response Functions and Coherence Functions for Multiple Input Linear Systems, National Aeronautics and Space Ad­ ministration, Washington, D. C„ NASA CR-32 (N64-17989) April 1964.

ИЗДАТГ. ПЬСТВО «МИР» Москва, 1 , Рижский пер., 2.

Московская типография № 11 Союзполиграфпрома при Государственном комнт Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Мос.

Нагатинская ул„ 1.

. л

л*і’

■y-Y

U

. >

i 7