книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов

ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦЫ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

ИФ УНКЦИЙ МНОЖЕСТВЕННОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ0

Я. Гудмен2>

Обозначения

В— узкая полоса частот, используемая при оценивании спектральной плотности;

e(f) — посторонний шум; / — частота;

Hjk(f) — частотная характеристика, связывающая

иxp{f)\

п— эффективное число степеней свободы оценки функции когерентности;

N — ВТ — число степеней свободы при спектраль­ ном анализе, где В — ширина полосы пропускания при оценивании спектраль­ ной плотности, Т — длина реализации. (Во многих других работах использует­ ся величина N, в 2 раза большая, чем в настоящем исследовании. При сопостав­ лении результатов следует учитывать это различие);

р— общее число реализаций (временных ря­ дов), используемое при анализе, т. е. ранг многомерного случайного процесса;

q — число процессов на входе;

Sjkif) — ПРИ / =£ Ä’взаим н ая сп ек тральн ая функ­

ция п роц ессов Jxj(f) и xk(t); при / = k

спектральная плотность п роц есса;

ѵРі+ь(0 — часть процесса xPl+k(f), линейно зави­ сящая от (получаемая путем линейного

х) Сокращенный перевод.

2) N. R. Goodman, Measurement of Matrix Frequency Response Functions and Multiple Coherence Functions, Technical Rep. AFFDL-TR-65-56, June 1965,

ностей процесса на выходе y(t) после"' исключения влияния процессов на входе

1.Вычисление функций когерентности различных типов

При вычислении частотных характеристик и решении многих других прикладных задач, например при определении вида и тес­ ноты связи между синхронными записями вибраций, приходится вычислять функции когерентности многомерных стационарных случайных процессов (временных рядов). Известны различные типы функций когерентности, из которых в настоящей работе рассмотрены четыре: а) функция множественной когерентности; б) маргинальная функция множественной когерентности; в) функ­ ция условной (частной) когерентности; г) маргинальная функция условной множественной когерентности. Перечисленные типы функций когерентности представляют собой частные случаи функций, зависящих от элементов матрицы спектральных плот­ ностей многомерных стационарных временных рядов. Матрица спектральных плотностей многомерных стационарных вфеменньиг' рядов есть функция частоты /, поэтому аргументом функций коге­ рентности также служит частота /. В тех случаях, когда говорят

оматрице спектральных плотностей или о функции когерентности,

вдействительности имеют в виду матрицу или когерентность, определенные для некоторого заданного значения частоты /0.

По реализациям конечной длины; например по синхронным реализациям процесса вибрации, которые следует рассматривать

как конечные выборки из многомерных стационарных временных рядов, можно при помощи соответствующих методов вычислить матрицы выборочных спектральных плотностей для некоторой совокупности частот. Если говорить более строго, то каждая матрица выборочных спектральных плотностей, соответствующих заданному значению частоты /0, в действительности характери­ зует узкую полосу частот шириной В с центральной частотой /0. Более удобно, однако, говорить о матрице выборочных спектраль­ ных плотностей на частоте /0.

Выборочные величины, или оценки перечисленных выше раз­ личных типов функций когерентности, получают следующим об-,, разом. При заданном значении частоты / 0 каждая выборочная :

эрмитова матрица. Будем считать, что матрица 2(/) положитель^ но определенная и, следовательно, невырожденная. Пусть

матрицы 2 (/), обозначенные в формуле (1) разделительными ли­ ниями. Обозначим далее

Ои 1. Она служит мерой связи между процессом xp(t) (на частоте /)

ипроцессом Ix^t), x2(t), ..., хр_1(/)1, преобразованным с помощью

соответственно. Другими словами, функция yp \>2j---t р-і(/) служит мерой справедливости приведенной ниже диаграммы

хі(І)

xjt)

(5)

На диаграмме (5) символы Lpi, ЬРг, Lp р_г обозначают ли­

нейные, не зависящие от времени операторы. Если функция мно­ жественной когерентности равна нулю, это означает, что ни одна из приведенных связей не выполняется. Чем больше числовое значение функции множественной когерентности, тем в большей степени оправдываются эти связи, и при равенстве функции еди­ нице все связи выполняются идеально.

Подстрочные индексы у символов x(t) можно выбирать произ­ вольно, поэтому ясно, что формула (4) определяет любые другие, функции множественной когерентности (на частоте /). Например, 4 функция множественной когерентности, связывающая на часто­

Поскольку любой блок матрицы 2(/), симметричный относи­ тельно главной диагонали, представляет собой матрицу спект­ ральных плотностей (на частоте /) соответствующей группы про­ цессов, то такие блоки можно использовать для вычисления дру­ гих функций множественной когерентности. Функции такого рода называют маргинальными функциями множественной когерент­ ности, или просто функциями множественной когерентности, если подстрочные индексы обозначают рассматриваемые процессы. Если, например, рассматривается процесс \хг{і), x2(t), ...,xPi(f)], то величина Ypi-i, з, •••, Рі-і (/) есть функция множественной коге­

и затем используют формулу (4). Очевидно, что маргинальная функция множественной когерентности имеет тот же смысл, что и функция множественной когерентности.

*у1.2. Функция условной (частной) когерентности

Из матрицы (1) можно получить матрицу спектральных плот­ ностей меньшей размерности, которая называется матрицей услов­ ных (частных) спектральных плотностей.

Рассмотрим эрмитову матрицу размерности р2 х р2-

многомерного стационарного временного ряда [йУРі+1(0 >•••» а>р(/)]. Обращаясь к полученным в предыдущем подразделе результатам рассмотрения функций множественной когерентности, можно

454 Н . Г у д м е н

Соотношения (7) имеют следующий смысл. Символ [хх(/), х2(/),

xp (t), xPi+1(t), ..., xPl+pJJ) \ обозначает рассмотренный в предыдущем подразделе исходный многомерный стационарный временной ряд ранга рх + р-2 — р. L)k — линейные, не зависящие от времени

равна нулю). Перечисленные свойства ряда wPl+k(t) можно объяс­

нить приблизительно следующим образом. Компоненты wPl+k(t), k — 1, 2 , ..., р2, получены путем исключения из исходных компо­ нент xPi+k(t), fe = 1, 2 , ..., р2, линейного «эффекта» остальных ком­

понент Xj(t), j = 1 , 2, ..., рх. Поскольку ряд wpi+k(t) получен пу­

тем такого исключения линейного «эффекта», то функция множест­ венной когерентности, связывающая каждый ряд wPl+k(t) с про­

цессом [хх(^), х2(/), ..., хр (^)], равна нулю. Матрица спектральных^ плотностей ряда ІшРі+х(г),... ,шР1+Р2(/)] (размерность р2 х р2).[вхо­

дящего в соотношения (7), определяется формулой (6 ). Представление (7) единственно, и можно записать формулы,

ла (1)].'Однако здесь эти формулы не приводятся, так как для целей настоящей работы они не нужны. Пусть

Из рассмотрения функции множественной когерентности в£пре-

цией множественной когерентности, равной единице. Таким об­ разом, временные ряды vpx+k(t), k = 1, 2, ..., р2, и Xj(t), / = 1,

456 Я . Г у д м е н

линейных, не зависящих от времени связей с другими состав--

ляющими xx(t), x2(t),..... xPl(t).

Маргинальная функция условной множественной когерент­ ности представляет собой маргинальную функцию множественной когерентности, найденную по матрице условных спектральных плотностей. Рассмотрение маргинальной функции множественной когерентности и функции условной множественной когерентности помогает понять смысл маргинальной функции условной множест­ венной когерентности. Маргинальная функция условной множест­ венной когерентности (на частоте /), связывающая процесс xp(t)

и компоненты [хр_і(Д, xp_2(t)] процесса \xp_x{t), xp_2(t), xp_3{t), ...,

Хрі+1(0 І, после исключения влияния процесса [xx{t), x2(t).......xp (t)\

= 1, 2 , 3] и одним выходом xx{t), то символом у?*4 12 (/) обозна­ чается маргинальная функция множественной когерентности про­ цесса на входе xx(t) и процесса на выходе xx(t). В этом случае исключено влияние процесса x2(t), а третий процесс на входе x3(t) совсем не учитывается.

1.3. Распределение выборочных функций когерентности

Из приведенных выше рассуждений об истинных и выбороч­ ных функциях когерентности ясно, что различные выборочные функции когерентности (на некоторой частоте /0) представляют собой различные функции элементов матрицы выборочных спек­

тральных плотностей 2 (/0), которая соответствует матрице истин-' ных спектральных плотностей 2 (/0) [см. формулу (1)]. (Значок Д обозначает выборочное значение, или оценку величины, к которой этот значок относится.) Для различных типов выборочных функ­ ций когерентности, приведенных выше, в работах [1 , 2 ] были най­ дены выборочные распределения; результаты получены в зам­ кнутой форме. Выборочные распределения различных типов вы­ борочных функций когерентности, как и следовало ожидать, в общем случае различны. Однако плотность распределения четы­ рех рассмотренных выше типов выборочных функций когерент­ ности можно выразить следующей общей формулой. Обозначим символом п эффективное число степеней свободы, р — эффектив­ ное число реализаций, у2 — истинное значение функции когерент­

ности, у2 — у — выборочное значение этой функции. Тогда плот­ ность распределения любой из рассмотренных выше выборочных