книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов
.pdfНестационарные, переходные и многомерные процессы |
421 |
Величина кп есть волновое число, обладающее в области волно вых чисел теми же свойствами, что и частота /„ в области частот. Заметим, в частности, что, согласно формуле (10.82), величина k представлена дискретно таким образом, что
&k=kn+1— kn= k min= - ± - = 1^ — , |
(1 0 .8 6 ) |
|||
где А,тах = 2 L — наибольшая |
|
|
Л гпах |
|
длина |
волны. |
|
||
Как следует из формулы (10.83), соответствующие допусти |
||||
мые значения частот /„ также дискретны. |
Если Т — период, со |
|||
ответствующий минимальной частоте волны, то. |
|
|||
/mfn= - f = |
^ m,n = |
T £- |
' |
(10-87) |
1 |
|
Л т а х |
сТ. |
|
откуда следует, что длина волны А,тах = |
|
|||
10.3.2. Определения полей и функций
Задача о колебаниях струны показывает, как на практике мо жет возникнуть необходимость рассмотрения одновременно ди скретных последовательностей волновых чисел кп и частот /„
Р и с . 10.12. Две реализации многомерного процесса в случайном поле.
для детального описания свойств реализаций, зависящих от пространственной координаты и времени. Обобщим теперь эти
соображения |
на случай |
многомерных |
случайных процессов |
{«(х, f)), где |
X — пространственный вектор (одномерный, дву |
||
мерный или трехмерный), |
a t -— время. |
Обозначим, как показано |
|
на рис. 1 0 . 1 2 , реализации такого случайного процесса в двух точ к а х некоторого поля S через н1(х, t) и «2(х', t'). По этим реализа циям случайного процесса может быть выполнено осреднение двух типов: по времени и по пространству. Если поле стационар но в смысле определения, приведенного в разд. 3.2, то результаты осреднения по времени не зависят от выбора моментов t, t' и
422 |
Глава 10 |
являются функциями только |
их разности т = t' — t. Конечно, |
результаты осреднения остаются зависимыми от пространствен ных координат X, х'. Если результаты осреднения по пространст
ву не зависят от координат х, х' |
и являются только функциями |
разностного вектора £ = х ! — х , |
то такое поле называется о д н о |
р о д н ы м . Если, кроме того, результаты осреднения по пространст ву зависят только от модуля | £|, но не от аргумента вектора £, то такое поле называется и з о т р о п н ы м . Для однородных полей результаты осреднения могут зависеть от выбора моментов вре мени t, t'. Таким образом, для того чтобы результаты осреднения по времени и по пространству не зависели ни от выбора моментов времени, ни от выбора координат, поле должно быть однородным и стационарным.
Средние по времени характеристики стационарного поля — временное среднее значение и временная взаимная корреляционная
функция — определяются |
в виде |
|
|
|
|
т |
|
ри (х)= |
1ігп |
и (х, t) dt, |
" (1 0 .8 8 ) |
|
т |
—г |
|
|
|
|
|
Я1 0 (х,х', т) = 1іт-к^г [u1(x,t)uü(x’,t+x)dt. |
(10.89) |
||
|
.1 |
|
|
— Т
Соответствующие средние по пространству характеристики одно родного поля — пространственное среднее значение и пространственная взаимная корреляционная функция — определя ются в виде
pu(t) = lim 4 - |
Г и (х, t)dS (х), |
(10.90) |
S->DО* J |
|
|
|
S |
|
Rio (і, і, гД= І іт 4 - Г |
(х, ?) u2 (х + S, t’)dS(x), |
(10.91) |
■s
где dS(x) — dxdydz (число сомножителей определяется размер ностью поля S). Следовательно, если поле стационарно и однород но, то пространственно-временные среднее значение и взаимная корреляционная функция определяются в виде
|
|
г |
|
^ = rlim_2fs f |
<\j u{x,t)dS(x)dt, |
(10.92).^ |
|
S->Dэ |
—V |
S |
|
T |
j*«1 (x, t)u2(x + l,t + x)dS (x)dt. |
|
|
Яі,г(£> T) = 7!im-2f s 'f |
(10.93) |
||
S->do —T |
s |
|
|
424 |
Глава 10 |
Выполняя преобразование Фурье этих корреляционных функ ций по сдвигу во времени т или по сдвигу в пространстве £ и сохраняя фиксированное значение другой переменной, можно получить две различные спектральные плотности: одну — зави сящую от частоты, и другую — от волнового числа. Частотный спектр
|
СО |
|
|
S (I /)= , J R (S, т) е~^йх dr, |
(10.95) |
|
— СО |
|
а спектр волновых^чисел |
|
|
|
с о |
|
|
S (k ,T )= j> (ë ,T )e -2*A-Sdi, |
(10.96) |
|
— СО |
|
где произведение |
|
|
|
k-Z=k1l1+ k 2%+ k sl3 |
(10.97) |
при dt, = |
d ^ d ^ d ^ . В одномерном и двумерном случаях число |
|
координат |
соответственно уменьшается. Определенный |
форму |
лой (10.96) спектр волновых чисел представляет собой функцию волновых чисел к при фиксированном т. Этот спектр описывает не которые важные волновые свойства реализации, зависящей от пространственных координат, например, свойства поперечного сечения дороги с неровным покрытием. Двумерный зависмций от
частоты и волнового числа |
спектр определяется в виде |
|
СО |
с о |
|
5 ( k ,/ ) = J |
^ R ( l r ) e - ^ ^ + l r ) d l d r , |
(10.98) |
—со —со
аобратная ему функция
СО |
СО |
|
R (£, т ) = j* |
j’S (k ,/)e 2"/<k-S+/T) dkdf. |
(10.99) |
— СО |
— с о |
|
Заметим, что равенство (10.98) может быть получено преобразова нием Фурье уравнения (10.95) по переменной к или преобразова нием Фурье уравнения (10.96) по переменной /. Кроме того, опре деляемая формулой (10.99) величина R(t,, т) может быть найдена обратным преобразованием Фурье уравнений (10.95) или (10.96) по соответствующим переменным. Выбор того или иного пред ставления для этих функций должен диктоваться практическими соображениями, поскольку обе они содержат одну и ту же ин формацию, но дают ее в разной форме. '
Нестационарные, переходные и многомерные процессы |
425 |
10.3.3. Соображения об измерениях
Рассмотрим следующую задачу измерения: как разместить аппаратуру, чтобы описать свойства двумерного изотропного случайного поля (рис. 10.14). Вообще говоря, практические проб лемы, возникающие при сборе информации о случайном поле,, гораздо сложнее, чем при наблюдениях над случайным процес сом, зависящим только от времени. В последнем случае для полу чения полезных сведений достаточно лишь одного датчика, в слу-
Р и с. 10.14. Установка датчиков в случайном поле.
чае же многомерного процесса датчики и другое оборудование должны устанавливаться в каждой точке измерений. Так, напри мер, стоимость установки и эксплуатации в течение одной мину ты N датчиков обычно гораздо выше стоимости установки и эксплу атации одного датчика в течение N минут. Поэтому чрезвычайно важно расположить датчики таким образом, чтобы охватить весь вероятный диапазон волновых чисел и вместе с тем не устанавли вать слишком много датчиков, дающих избыточную информацию.
Если ДL — расстояние между датчиками, то волновое число Найквиста
1 |
(1 0 |
.1 0 0 ) |
|
2AL |
|||
|
|
■>
где Ятіп — минимальная разрешающая способность по длине волны. Волновые числа, большие &тах, оказываются «маскирован ными» и переходят в диапазон (0, kmax). Величина kmax представ ляет собой наибольшее волновое число, которое может быть по лучено в результате наблюдений над изотропным случайным полем при расстоянии между датчиками, равном AL. На практи ке рекомендуется выбирать величину AL таким образом, чтобы на наибольшее исследуемое волновое число приходилось не ме нее 2,5 датчиков. Это эквивалентно такому выбору AL, чтобы на наименьшую изучаемую длину волны приходилось не менее 2,5 датчиков.
Нестационарные, переходные и многомерные процессы |
427 |
где — Y» т) — истинная многомерная корреляционная функ ция значений случайного процесса при соответствующих значе ниях ее аргументов. Чтобы упростить это уравнение, положим
со |
|
А(у) = ^ К {а) К {а + у) da. |
(10.104) |
— СО
Величина А(у) характеризует автокорреляционные свойства са мого датчика. Теперь уравнение (10.103) переписывается в виде интеграла свертки
СО |
|
Rm (I т) = J А (у) Ru(І—у, т) dy, |
(10.105) |
я преобразование Фурье обеих частей последнего равенства при водит к соотношению
Sm(k,f)=SA(k)Stt(k,f). (10.106)
Величина SA(k) есть спектр волновых чисел функции Л(у):
СО |
|
5Л (k) = J А (у) e-W^dy. |
(10.107) |
\
Этот спектр характеризует поправочный коэффициент, который следует ввести в данные измерений. Подстановка выражения *(10.104) в уравнение (10.107) дает после несложных преобразо ваний формулу
СО |
|
SA (k) = I j к (et) e~2n'ka da |2, |
(10.108) |
позволяющую рассчитать эту поправку более непосредственным путем. Функции Sm(k, f) и Su(k, /), определяемые по формуле (10.98) через функции Rm(l, т) и RU{1, т) соответственно, представ ляют собой двумерные спектры, зависящие от частоты и волново го числа. Итак, зная спектральную плотность измеренных значе ний процесса и свойства измерительной аппаратуры, можно, со гласно формуле (10.106), найти истинную спектральную плот ность
S „ ( * , / ) = - ^ i L . |
(10.109) |
%
причем предполагается, что функция SA(k) отлична от нуля. Пример 10.6. Поправки к спектру волновых чисел для простран
ственного линейного осредняющего устройства. Рассмотрим задачу измерения плоской волны u(s, t) произвольной формы при помощи