книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов

зумные оценки корреляционных функций по отдельным реализа- ' циям. Учитывая, что зависящий от времени член R^t) есть проюто медленно меняющееся среднее значение квадрата, можно отдельно оценить его путем осреднения по коротким интерва­ лам времени, как это показано в подразд. 10.1.3. Поскольку величина R 2(т) есть корреляционная функция стационарного процесса, ее можно отдельно оценить осреднением по всей имею­ щейся реализации, как показано в разд. 8.3 и 9.5.

10.1.5.Спектральная структура нестационарного процесса

аналогичной мгновенному спектру [40]. Функция ^ ( Д Л действи-1 тельна и в противоположность стационарной спектральной плот­ ности Sx(f) может при некоторых величинах / и I принимать отри­ цательные значения. Преобразование, обратное формуле (ІО.55), имеет вид

значения квадрата MU'2(0l на плоскости (Д t), что обеспечивает вполне приемлемую физическую интерпретацию этой функции. Из формулы (ІО.57) следует, что интегрирование функции <5°Я(Д і) по всем / дает среднее значение квадрата процесса в момент t. В случае стационарного процесса, когда зависимость от t отсутст­ вует, формулы (ІО.55)—(ІО.57) дают результаты, совпадающие с результатами, полученными в гл. 3 для стационарных процессов.

Как двойная по частоте спектральная плотность (ІО.48), так и частотно-временная спектральная плотность (ІО.55) рассчиты­ ваются преобразованием Фурье нестационарных автокорреляцион­ ных функций. В общем случае функции 5Х(Д, Д) и <$%(/, t) не могут быть найдены осреднением по времени отдельных реализаций^ как в случае стационарных процессов. Однако существует важ­ ное исключение из этого правила для локально стационарных процессов. В частности, если процесс имеет сепарабельную не­ стационарную корреляционную функцию, определяемую фор­ мулой (ІО.45), то

Нормируя функцию Т?2(т) таким образом, что R2(0) = I, и произ­ водя свертывание значений спектральной плотности на отрица­ тельных частотах, найдем односторонний переменный во времени' энергетический спектр

Нестационарную спектральную плотность (10.59) можно оценить по отдельной реализации, определяя сначала функцию ¥ 1 (0 путем

осреднения по коротким интервалам времени, а затем функцию. Gx(f) путем осреднения по всей имеющейся реализации, как и в случае стационарного процесса.

Заметим, что операции осреднения отдельных реализаций по коротким интервалам времени выполняются часто для оцени­ вания переменного во времени спектра нестационарных процес­ сов, не отвечающих локально стационарной модели. Для этого сначала разбивают реализацию на ряд очень коротких отрезков, а затем вычисляют, как и для стационарного случая, энергетиче­ ский спектр в пределах каждого отрезка. Хотя анализ такого рода может дать полезную качественную информацию о переменных во времени спектральных свойствах процесса, применять этот метод для получения количественных результатов следует с боль­ шой осторожностью. Чтобы уменьшить ошибку смещения на от­ дельных интервалах, следует выбрать время осреднения Т (длина отрезков реализации) достаточно малым. Для получения хорошей оценки спектральных свойств необходимо высокое разрешение по частоте Ве. Таким образом, величина ВеТ должна быть малой, и,

ского корабля при прохождении на взлете им области максималь­ ного динамического давления 1/2 рУ2, где р — плотность воздуха, V — скорость корабля. На этой фазе запуска вибрации обуслов­ лены в первую очередь флуктуациями давления в пограничном турбулентном слое, который создается при движении корабля. По­ скольку скорость и высота корабля меняются во времени, можно ожидать, что колебания давления в пограничном слое и, следова­ тельно, вибрации конструкций образуют нестационарные случай­ ные процессы. Предположим, что вибрации в некоторой точке корабля имеют локально стационарную форму. В таком случае переменный во времени спектр вибраций можно рассчитать по одной реализации процесса путем осреднения по отдельным ин­ тервалам [формула (10.59)]. Результаты такого расчета приведены на рис. 10.7.

На рис. 10.7, а представлена оценка функции 'ЧРДО, получен­ ная путем осреднения по двухсекундным отрезкам времени при общей длине интервала, в течение которого наблюдалось максимальное динамическое давление, равной 20 с. Заметим, что в пределах это­

полученная путем осреднения по всему 2 0 -секундному интервалу, ъсли предположение о локальной стационарности этого процесса справедливо, то оценка переменного во времени энергетического

реализации. Результаты этих расчетов представлены на рис. 10.8. Имея в виду, что для каждой оценки, показанной на рисунке, величина ВеТ ~ 70 (ег 0,12), можно утверждать, что отдельные оценки, приведенные на рис. 1 0 .8 , не обнаруживают значимых отличий от интегральной оценки Gx(f), показанной на рис. 10.7, б.

Si0.1.6 . Соотношения между входом и выходом линейной системы в случае нестационарного процесса

Рассмотрим реализации нестационарного случайного процес­ са (х(/)), поступающие на вход линейной системы с постоянными во времени весовой функцией h(x) и частотной характеристикой *У7(/). При произвольном входе x(t), принадлежащем \x{t)\, выхо^ y(t), принадлежащий [y(l)), согласно равенству (2 .2 ), есть

— СО

Ясно, что случайный процесс [y(t)\ нестационарен, так как его статистические свойства зависят от t. Для двух моментов вре­ мени tx и t2 произведение у(к)у{к) имеет вид

— CO — CO

*£}аходя математическое ожидание в формуле (10.61), получаем

^ і . *а)=м \У(к)У(к)] =

Наконец, выполняя двойное преобразование Фурье обеих частей последнего равенства, находим выражение для нестационарного энергетического спектра выходного процесса

Sx(k, к) отлична от нуля только при f = к — к> формула (10.63)

тается переходным по отношению к системе с весовой функцией

Здесь А — малая, ко физически значимая отличная от нуля ве­ личина. Заметим-, что отнесение любого данного нестационарного процесса к переходным зависит от свойств физической системы, связанной л процессом.

Теоретически переходный процесс можно анализировать, как и любо,и нестационарный процесс, путем осреднения по ансамблю (см. фазд. 10.1). На практике такие методы действительно необ­ ходимы для получения оценок плотности распределения, перемен­ ных во времени среднего значения и среднего значения квадрата, а также нестационарных корреляционных функций. Однако изу­ чать спектральную структуру переходных процессов можно бо­ лее простыми методами, чем те, что описаны в подразд. 10.1.5. Эти методы обсуждаются ниже.

10.2.2. Спектральная структура переходных процессов

Рассмотрим реализацию xk(t) переходного процесса (х(г!)}, принимающую отличные от нуля значения только в интервале

Для рассматриваемых здесь переходных процессов это преобразо­ вание в общем случае существует, поскольку

В тригонометрической форме функция Х к([) записывается в виде

'где |Х А(/)| — модуль функции X k(f), a Qk(f) — ее аргумент. Ве­ личина Х кф, называемая спектром Фурье, описывает спектраль­ ные свойства функции xk(t). Эта величина использовалась в под-

ванных переходных процессов. Однако необходимо помнить, что в нестационарном случае X k(f) есть случайная величина, которая может принимать различные значения для различных реализаций

процесса (х(^)}.

И для анализа, и для инженерных приложений методов удобно

величины которой на отрицательных частотах свернуты, так что

тральной плотностью, определенной формулой (3.101), (^.медлен­ но обнаруживает их значительное сходство. Единственное отличие состоит в том, что определение функции WJJ) не требует деления на длину реализации Т и последующего предельного переход3 при Т -»оо. Это справедливо, поскольку для переходных процессов значения функции | Xk(f) |2 при Т ^ 7\ обычно конечны и постоянны. Тем не менее эти две величины оцениваются сходным

Таким образом, аппаратура и методы, при помощи которых оцени­ ваются спектры стационарных процессов, могут быть непосредст­ венно применены для получения оценок спектров переходных слу­ чайных процессов. В последнем случае ошибки оценок несколько больше, но в остальном интерпретация результатов аналогична.

Подобным же образом можно показать, что (переходная) взаим­ ная спектральная плотность двух переходных процессов (*(£))

и {y{t)\ есть

yk(t) соответственно. Оценка (переходного) взаимного спектра двух реализаций х(і) и y(t) длиной Т > Тг имеет вид

Таким образом, все соотношения между входными и выходными процессами, полученные в гл. 5, остаются справедливыми и для переходных случайных процессов. Однако непосредственное применение выражений для статистических ошибок оценок (разд. 6.7

(и 6 .8 ) в данном случае невозможно. Рассмотрим, в частности, вы­ ражения для случайных ошибок, применяемые при оценивании частотных характеристик линейной системы [формулы (6.146) и (6.151)1. Согласно этим формулам, случайная ошибка уменьшает­ ся1с увеличением числа степеней свободы п. В случае стационарного процесса число степеней свободы п = 2ВеТ может всегда быть уве­ личено путем увеличения длины реализации Т, по которой про­ изводится вычисление оценок спектральных плотностей. Очевид­ но, что для переходного процесса такой прием не эффективен, пбскольку оценки спектральной плотности переходного процесса при Т ^ Тх не зависят от длины реализации. (Влиянием; внеш­ них помех мы в данном случае пренебрегаем.) Следовательно, для переходных процессов увеличение длины реализации до ве­ личины Т > Тг не приведет к повышению точности оценки ча­ стотной характеристики. Скорее, наоборот, при увеличении дли­ ны реализации случайные ошибки могут возрасти, поскольку при этом увеличится вклад внешних помех при расчете функций

&x(f) и &ху(І)- Наиболее эффективное подавление случайных оши­ бок при оценивании частотных характеристик в случае переход­ ных процессов достигается путем осреднения по ансамблю оце­ нок, вычисленных по ансамблю независимых реализаций вход­ ных и выходных переходных процессов.

Следует также заметить, что инженеры-механики часто исполь­ зуют для оценивания переходных процессов так называемый

импульсный спектр, или спектр отклика. В самом общем виде шмпульсный спектр определяется как максимальная реакция Тіинейной механической системы (с пружиной и массой) на сме­ щение основания, происходящее по типу переходного процесса в функции собственной частоты системы. Реакция системы изме­ ряется либо изменением натяжения пружины, либо ускорением движения массы, так что результирующий спектр может быть непосредственно связан с «вредным» потенциалом. Использование импульсного спектра является скорее просто инженерным приемом, а не строгим методом анализа данных и поэтому в даль­ нейшем здесь не рассматривается. Более детально этот вопрос обсуждается в работах [28] и [46].

Пример 10.4. Оценивание энергетического спектра. Рассмот­ рим случай столкновения двух автомобилей, движущихся навстре­ ч у друг другу со скоростями 48 км/час. В одном из автомобилей имеется макет пассажира, закрепленный обычным пристяжным поясом и плечевым держателем (справа от места водителя). На рщ:. 10.9 показано изменение во времени ускорения автомобиля, измеренное: а) на корпусе автомобиля непосредственно справа от пассажирского сиденья и б) на груди макета пассажира. Энерге­ тические спектры этих двух реализаций изображены на рис. 1 0 .1 0 . Спектры построены численно при помощи метода быстрого пре-