книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов
.pdf398 |
Глава 10 |
ности. Следовательно, нет оснований считать, что выходной про цесс (реакция самолета) отличен от гауссовского. Однако то обстоятельство, что нестационарная природа процесса не учте на, ставит этот вывод под сомнение.
10.1.2. Среднее значение нестационарного процесса
Рассмотрим задачу оценивания переменного во времени сред него значения нестационарного процесса. При наличии ансамбля реализаций л:*(/), 0 < t < Т, і = 1, 2, ..., N, нестационарного процесса оценка среднего значения процесса в момент t находится осреднением по ансамблю реализаций:
N
(10л°)
і«=і
Оценки ііх(і) будут различными при различном выборе N реали заций {хг(0). Поэтому при каждом t необходимо исследовать сте пень приближения оценки к истинному значению среднего. Ма
тематическое ожидание оценки цх(/)
N
м (01 = 1 г ! |
м ^ (01 = ъ (0. |
ПО.11) |
/=1 |
|
|
где |
|
|
М /) = |
М [*,(/)], |
ПО. 12) |
представляет собой истинное среднее значение нестационарного
процесса в момент t. Таким образом, величина рх(/) есть несме щенная оценка рх(/) при всех t независимо от N. Дисперсия оцен
ки рх(/) есть
D [Дл:(01 = м (0— (0}21- ' ПОЛЗ)
В большинстве практических приложений N реализаций, исполь
зуемых для расчета оценок \ix(t), статистически независимы. Поэтому и здесь реализации полагаются независимыми. Раскрыв скобки в формуле (10.13), как при выводе соотношения (4.9), найдем, что дисперсия оценки в момент t есть
|
D[M01 = 4 t- |
(10Л4> |
|
где аЩ) — дисперсия |
нестационарного процесса |
{x(t)\. Таким |
|
образом, при N ->оо дисперсия |
Dlpx(f)]->- 0, так |
что рх(^) есть |
|
состоятельная оценка |
величины |
^ x(t) при всех t. |
|
Нестационарные, переходные и многомерные процессы |
399 |
Оценки средних значений нестационарных процессов можно найти при помощи специальной аналоговой аппаратуры или
ЦВМ по схеме, изображенной на рис. 10.4. Измерение [!,.(/) требует по существу двух основных операций. Прежде всего не обходимо получить и ввести в память каждую реализацию хt(() как функцию t. Реализация может быть записана непрерывно для всех значений t в интервале 0 < t < Т или дискретно с по мощью того или иного способа дискретного представления. После выполнения этой процедуры для всех N реализаций производится вторая операция — осреднение по ансамблю, которая заключает ся в суммировании реализаций и делении полученной суммы на N. Если каждая реализация x^t) состоит, скажем, из М дискретных
X |
,(t )------------- — Запомииа - |
блок осреднения |
|
|
|
|
поансамйнн? |
|
|
ляреализа |
--- •*- (суммирование |
^ (* 7 - |
ций |
иделениенам) |
|
* |
|
||
Р и с . 10.4. |
Схема |
измерения нестационарного среднего значения. |
|
отсчетов, то общее число содержащихся в памяти машины ве личин равно MN.
Как уже отмечалось выше, на практике исследуемый неста ционарный процесс бывает зачастую представлен лишь одной реализацией. В таких случаях нестационарные средние значения оцениваются по одной реализации, как правило, при помощи какой-либо операции, эквивалентной фильтрации низких частот. Такой прием удобно использовать для некоторых специальных классов нестационарных процессов. Рассмотрим, в частности, нестационарный случайный процесс вида
{*(/)}=Л (0+{іК 0}, |
(10.15) |
где A(t)— детерминированная функция и {*/(/)}.— случайный процесс с не зависящим от времени нулевым средним значением. В этом случае среднее значение процесса (x(f)} при любом t есть
М [{х (0)] = М [А (0 + {г/(0П = М[Л (0J + М [{у (*)}] = Л (t). (10.16)
Если допустить, что функция A(t) медленно меняется во времени сравнительно с низкочастотными составляющими процесса {y{t)), то можно разделить функцию A(t) и процесс [y{t)} низкочастот ной фильтрацией отдельной реализации процесса (х(0). Физически эта фильтрация может быть выполнена различными способами,
втом числе:
1)аналоговым осредняющим низкочастотным /?С-фильтро
(см. разд. 8 .1);
400 |
Глава 10 |
2 ) цифровым * рекурсивным пли нерекурсивным низкочастот ным фильтром (см. разд. 9.2);
3)полиномиальной криволинейной аппроксимацией, т. е. при помощи регрессионного анализа (см. разд. 4.8 и методы исклю чения тренда, изложенные в подразд. 9.1.3);
4)оцениванием средних значений по отдельным отрезкам ре ализации (осреднением по коротким интервалам времени).
Однако в любом случае полученные оценки среднего значения будут смещены, причем смещение это зависит от частоты среза низкочастотного фильтра (от числа членов в аппроксимирующем многочлене или от длины короткого интервалаосреднения), связанной со скоростью изменения функции А(().
Рассмотрим, например, оценку истинного среднего значения цх(0, полученную осреднением по коротким интервалам времени:
7+772 |
і+Т/2 |
|
М 0 = |* ( 0 * Й = | [A(t)+y(t)] dt, |
(10.17) |
|
t—T/2 |
t—772 |
|
где T — малый интервал. Легко показать, что |
|
|
t+T/2 |
|
|
M [M O] = M [f[i4 (/)+ 0 (O ]* ' = |
|
|
t—T/2 |
|
|
t+T/2 |
t+T/2 |
|
= j {M [А (0 Н-М[г/ (01) d t= f A (0 dt ф A (t). |
<10.18) |
|
t—T/2 |
t—T/2 |
|
Следовательно, оценка nx(t), вообще говоря, смещена. Если про делать выкладки, подобные тем, что проведены в подразд. 6.3.2, то можно получить выражение для первого приближения ошибки смещения в произвольный момент времени t:
М М 0 ]= - ^ - Л " ( 0 , |
(10.19) |
где A"(t) — вторая производная функции A{t) по t. Из равенства (10.19) следует, что ошибка смещения убывает с уменьшением интервала осреднения Т. Однако, как и в случае стационарного процесса, с уменьшением величины Т возрастает случайная ошиб ка (см. подразд. 6.2.1). Таким образом, выбор соответствующего интервала осреднения требует компромиссного решения относи тельно случайной ошибки и ошибки смещения. В большинстве случаев это компромиссное решение находится методом проб и ошибок.
402 |
Глава 10 |
|
ңяется |
нормальному распределению со средним |
значением px(ty |
и дисперсией o%(t). Можно показать, что в этом случае |
||
|
М И (О]= 3 Y i (() - 2 ц* (t), |
(10.26) |
|
M[*J(f).*J(Q] = ¥«(/), іф } . |
(10.27) |
Вывод равенств (10.26) и (10.27) основывается на соотношении для четвертых моментов нестационарных нормальных случайных величин [формула (3.132)]:
ММ О ху (/) хт (t) хп (01 =
=М [X; (/) X] (/)] м [хт(/) хп (01 +
+ М [х, (0 хт(0] М [xj (0 хп(01 +
+ М [хг (0 хл (01М [Xj (0 |
(01 - 2 f ii (0- |
(10.28) |
Подстановка в формулы (10.24) и (10.25) дает |
|
|
D [ Ь (01 = 4 - № (0 - Ц І (01 |
(10.29) |
|
Таким образом, дисперсия DlT'KOl -*• 0 |
при М->-оо, |
так что |
величина Ф2(Л является состоятельной оценкой величины W?(t) при всех t.
Оценки средних значений квадратов нестационарных случай ных процессов можно найти осреднением по ансамблю (см. схему на рис. 10.4) простой заменой х{(/) на xf(f). Кроме того, для неу которых классов нестационарных процессов оценка переменного во времени среднего значения квадрата может быть получена по отдельной реализации путем фильтрации низких частот подобно
тому, как это показано в подразд. 10.1.2. |
Соответствующая |
модель нестационарного процесса имеет в этом случае вид |
|
[ х(0}= А (0{у (01 |
(10.30) |
где А ( 0 — детерминированная функция и [у(0\ — случайный процесс с постоянными во времени нулевым средним значением и единичной дисперсией. Следовательно, среднее значение квадрата
процесса (г/(7)} в момент |
t |
D [{X (*)}]=D [А ( 0 |
{ у (0}]= Л г ( 0 D [ { у (*)}] = А2(/). (10.31) |
Как и в случае оценок среднего значения, при медленном изме-, нении функции А(0 по сравнению с изменениями низкочастотных, составляющих процесса [у(0] функция Л2(/) может быть выделен?^ путем низкочастотной фильтрации отдельной реализации х2(//. Физически эта операция производится при помощи одного из методов, описанных в подразд. 1 0 .1 .2 , причем вместо х(0 фигури рует функция x2(t). Разумеется, в общем случае полученные таким
404 |
Глава 10 |
рядка нескольких сотен герц. Хорошее согласие результатов1^ полученных для трех различных случаев запуска, показывает, что последовательность оценок средних значений квадрата, най-
Время с момента взлета, с )
Р и с. 10.5. Переменные во времени среднеквадратичные значения вибрации космического корабля во время запуска.
денная осреднением по коротким интервалам времени, представ ляет собой полезную аппроксимацию переменного во времени среднего значения квадрата ¥ 2(/). Однако при этом следует помнить, что, как показано в формуле (10.32), эти оценки сме щены.
10.1.4.Корреляционная структура нестационарного процесса
Как и в разд. 3.2, средние значения нестационарных слу чайных процессов (х(/)) и {y(t)} при произвольных фиксированны^ моментах t определяются математическими ожиданиями (сред
ними по ансамблю) |
/ |
|
M 9 = M [x (f)], |
|
(10.33) |
|
M O = M [0 (f)]. |
406 Глава 10
Таким образом, корреляционная структура нестационарных
случайных процессов (x(0 |
] и {г/(0 ) может быть |
описана четырьмя |
|||||
функциями |
знать только |
i2), |
Rxlß i , |
t^ n R y ß x , t2). Эти функции |
|||
необходимо |
для |
значений |
^ |
/2, поскольку ре |
|||
зультаты для |
получаются |
из свойств симметрии. |
|||||
Более |
тонкие |
свойства корреляционных |
функций нестаци |
||||
онарного процесса могут быть изучены при помощи следующих преобразований. Пусть
т-- to |
f_h + |
|
2 ’ |
||
|
||
|
(10.43) |
|
^i — t ----2~, |
^2 = ^Jr~2~- |
Сучетом такой замены переменных
М[X (tj) у (/2)] = Rxy(і1г t2)=
|
|
|
|
|
)]■ |
(10.44) |
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что функция &ху(т, |
t) определяется совершенно |
иначе, |
||||
чем функция R |
(г, t), и не |
является |
обычной |
корреляционной |
||
функцией. |
Такое |
преобразование из |
плоскости |
(tx, t2) в |
плос |
|
кость (т, |
t) вводится для того, чтобы по возможности разделить |
|||||
нестационарную |
корреляционную функцию на |
нестационарную |
||||
и стационарную |
части. Предположим, |
в частности, что |
неста |
|||
ционарная корреляционная функция j%(x, t) может быть пред
ставлена |
в |
виде |
произведения |
|
|
|
|
|
|
|
|
М{т, t)= R l (t) R2(х) = Я г ( Ц І ? ) |
R2 |
|
|
(10.45) |
|||
где |
i?2{r) = |
R2(^2 — ^i) — корреляционная |
функция |
стационар |
|||||
ного |
процесса и R ß ) = Rylltx 4- tü)l2] — переменный |
масштаб |
|||||||
ный |
множитель, |
определенный |
в средней точке между tx и t2. |
||||||
В случае стационарного случайного процесса |
множитель R ß ) |
||||||||
постоянен. |
Если |
функция R 2(x) нормирована |
таким |
образом, |
|||||
что |
R 2(0) |
= |
1, |
то функция |
Ri(t) равна ¥ 2(0, |
зависящему |
|||
от времени среднему значению квадрата процесса. Такая, корреляционная функция характерна, например, для нестаци? онарного случайного процесса, определенного формулой (10.30)*; где {р(0 } — стационарный процесс.
Случайный процесс с корреляционной функцией типа (10.45) называется локально стационарным [48]. На практике корреля ционные функции некоторых типов нестационарных физических
Нестационарные, переходные и многомерные процессы |
407 |
явлений часто могут быть представлены локально стационарной моделью. Примерами могут служить случайные процессы, ха рактеризующие турбулентные поля давления в гидродинами ческих задачах (см. пример 10.3).
Рассмотрим теперь задачу измерения функции R x(tu t2) по совокупности N реализаций xt(t), і = 1, 2 , ..., N, принадлежа щих нестационарному случайному процессу. Вместо формулы (10.36) нужно найти среднюю по ансамблю оценку
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
£ * ( м , ) = 4 - £ |
|
|
(10-46> |
||
|
|
|
|
і-=1 |
|
|
|
Рекомендуемый прием — фиксирование |
при переменном t2. |
||||||
Пусть t-і |
— t |
и t2 = t — т, где т — фиксированный сдвиг по вре |
|||||
мени. Тогда функция |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
Rx (t, t - |
т ) |
~ £ |
*, (t)x,{t-x) |
(10.47) |
|
|
|
|
|
/=1 |
|
|
|
в случае |
стационарного |
процесса |
является только функцией т, |
||||
а в случае |
нестационарного |
процесса — функцией і |
и т. Для |
||||
каждого |
фиксированного значения |
сдвига т и каждой |
реализа- |
||||
Р и с. 10.6. Схема измерения нестационарной автокорреляционной функции.
ции xt(t) вычисляются и запоминаются произведения x ^ x ^ t — т). Эта операция повторяется для всех N реализаций, а последую щее осреднение по ансамблю дает оценку (10.47). Вся последо вательность вычислений должна повторяться для каждого зна чения т. Метод измерения нестационарных автокорреляционных функций иллюстрируется рис. 10.6. Аналогичный метод можно применить и для оценивания нестационарных взаимных корре ляционных функций.
Для нестационарного процесса с сепарабельной корреля ционной функцией [формула (10.45)] задача оценивания сильно упрощается. В таких случаях можно, в частности, получить ра