Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1304 вуза, 5133 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов

.pdf
Скачиваний:
74
Добавлен:
25.10.2023
Размер:
16.48 Mб
Скачать
☆

Р и с. 9.17. Общая схема анализа линейной системы со многими входами.

Цифровые методы анализа

389

££сть линейнйя функция частоты /, передача сигнала через такой фильтр осуществляется без искажений.

2.Докажите, что коэффициенте и веса hk фильтра Баттеруор-

та [формула (9.34)] связаны уравнением

м

і с — 1 ^ j h k. ft=i

3. Проверьте справедливость приведенных в подразд. 9.3.2 соотношений:

а)

(9.576); б) (9,62а) и в) (9.67).

4.

Найдите коэффициент ускорения вычислений при опреде­

лении автокорреляционной функции методом БПФ по выборке, состоящей из 16ІО3 отсчетов, если максимальный сдвиг состав­

ляет

0 ,2 от объема выборки.

5.

Докажите, что энергетический спектр, вычисленный с ис­

пользованием весовой функции Парзена, неотрицателен, для чего

покажите, что эта весовая

функция имеет

вид

-

s in ( ф т/2)

~Н

( * Д т / 2)J

 

6 . Найдите коэффициент ускорения вычислений при опреде­ лении спектральной плотности методом БПФ по выборке, состоя­

щей

из 16-ІО3

отсчетов, если максимальный сдвиг составляет

* $ ,2 от объема

выборки. Рассмотрите связь этого упражнения с

упражнением

4.

7.

Определите просачивание энергии при использовании функ­

ций,

представленных в графическом виде на рис. 9.14 и 9.12. Для

этого найдите аналитическое выражение функции Сг/г(/) и срав­ ните ее с функцией Urnif)- Считайте, что

 

 

cos2

j при

—7/2 <

^ <

— 2775,

Стц{і)=-

 

1

при

—2775 <

t <

2775,

 

cos2 (

при 2775 <

t

< 772,

 

 

 

.

1

при других

t.

 

 

 

 

 

 

 

 

/8 . Проверьте справедливость приведенного после формулы

(91.138) утверждения, состоящего в том, что оценки Gk, получа­ емые по формулам (9.138) и (9.113), в общем случае относятся к

^ разным частотам.

390 Глава 9

9. Пусть оценка функции спектральной плотности, получен-' ная методом БПФ, характеризуется параметрами fc = 4000 Гц, Tr = 4,0 с, а для вычисления сглаженных оценок спектральной плотности на каждой частоте используются первичные оценки на 60 смежных значениях частоты. Найдите эффективную разрешаю­ щую способность и нормированную стандартную ошибку сгла­ женных оценок. Определите, сколько потребуется провести опе­ раций сложения и умножения, чтобы вычислить все возможные сглаженные оценки спектральной плотности в рассматриваемом случае.

10. Составьте блок-схему, изображающую процедуры и после­ довательность их выполнения при полном цифровом анализе:

а) отдельной реализации эргодического случайного процесса; б) совместных характеристик двух таких реализаций.

>

Г<

ГЛАВА 10

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ, ПЕРЕХОДНЫЕ И МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Изложенный в предыдущих главах материал относится глав­ ным образом к измерению и анализу одномерных стационарных процессов (временных рядов). Приведенные в этих главах теоре­ тические выводы, методы обработки и формулы для определения статистических ошибок в случае нестационарных и (или) многомер­ ных процессов, как правило, не применимы. Анализ таких про­ цессов требует специального рассмотрения, чему и посвящена эта глава. Описание основных свойств и методов анализа неста­

ционарных

случайных процессов содержится в разд. 1 0 .1.

В разд.

10.2 рассмотрены методы оценивания параметров пере­

ходного

процесса, который представляет собой частный случай

нестационарного

процесса. Многомерные случайные процессы

описаны

в

разд.

10.3.

10.1.Нестационарные случайные процессы

*Нестационарные процессы — это такие процессы, статистиче­ ские свойства которых меняются во времени. Большинство физи­ ческих процессов нестационарно. Многие процессы произвольно полагаются стационарными только приближенно для упрощения анализа. Нестационарные процессы наблюдаются, например, при переменных условиях работы аппаратуры, когда параметры сре­ ды резко меняются, или в случае длительного времени работы аппаратуры, когда характеристики системы меняются и один и тот же вход вызывает различные р'еакции системы.

До сих пор не существует единой методики, применимой для анализа любых нестационарных процессов. Это, в частности, объясняется тем, что вывод о нестационарности процесса является просто негативным утверждением, которое констатирует отсутст­ вие свойств стационарности, а не определяет точный характер нестационарности. Поэтому для нестационарных процессов при­

водится разрабатывать специальные методы, применимые только к некоторым типам таких процессов. Примеры различных типов нестационарных процессов показаны на рис. 1 0 .1.

Для описания статистических характеристик отдельного не­ стационарного процесса в различные моменты времени исполь-

392

Глава W

зуются: 1) нестационарная плотность распределения, 2 ) нестацио-' нарная автокорреляционная функция, 3) нестационарная спект­ ральная плотность. Для пар нестационарных процессов можно измерять: 1) совместные нестационарные плотности распределе­ ния, 2 ) нестационарные взаимные корреляционные функции, 3) нестационарные взаимные спектральные плотности. При про-

Время

f

Время

Р и с. 10.1. Примеры нестационарных процессов.

а

™ п е р е м е н н о е в о в р е м е н и с р е д н е е з н а ч е н и е ;

6

— п е р е м е н н о е в о в р е м е н и с р е д н е е з н а ч е ­

 

н и е к в а д р а т а ;

а

— п е р е м е н н а я в о в р е м е н и ч а с т о т н а я с т р у к т у р а п р о ц е с с а .

 

 

хождении нестационарных процессов через физическую систему необходимо уметь определять соотношения между входом и вы­ ходом системы. ‘Все эти вопросы и рассматриваются ниже.

10.1.1. Вероятностная структура нестационарного

^

процесса

 

Статистические свойства рассмотренного в гл. 1 и 3 нестацио­ нарного случайного процесса {лг(г')}, определенные осреднением по ансамблю в момент t, зависят от значения t. Следовательно,

Нестационарные, переходные и многомерные процессы

393

^при любом t = tx вероятностная структура случайной величины x(t-j) есть функция момента tx. Точнее говоря, нестационарная плотность распределения р(х, tx) величины (лг(^)} имеет вид

, , .

1чп

Р [х < X (Ц) < X + Д*1

( \ 1 \

P(x, t і) =

L-

1

(ЮЛ)

Л.ѵ->0

и при любом t обладает следующими основными свойствами:

СО

I* Р(х, 0 d x = \,

|лЛ.(t ) — М [ X (/)]= J хр (х,

t ) dx,

— СО

( 10.2)

 

СО

 

VI(О=м [X2(/)]=|х2р (х, i) dx,

— СО

 

(0 = М [ {* (0-м -х (9 }21 = ^

(0 - ѵі (0-

Эти формулы^справедливы также и в случае стационарного про­ цесса, когда р(х, t) = р(х) независимо от t. Нестационарная функ­ ция распределения Р(х, tx) есть

Р(х, /1)= Р[ —оо <

х(іх) < х].

(10.3)

ІДля функции Р(х, tx) справедливы

соотношения,

аналогичные

соотношениям,

рассмотренным в гл. 3 для стационарной функции

распределения

Р(х).

(х(/)) —

Если при t = t± нестационарный случайный процесс

гауссовский,

то функция р(х, tx) имеет вид

 

F

№ ) = k ( f J l ^ H e x p

(10.4)

т. е. полностью определяется нестационарным средним и неста­ ционарным средним значением квадрата функции х(і) при t = tx. Таким образом, как и в рассмотренном ранее случае стационар­ ных процессов, измерение этих двух характеристик весьма важно во многих приложениях к нестационарным задачам.

Для двух моментов времени tx и t2 двумерная нестационарная плотность распределения случайных величин x(f1) и x(t„) опреде­ ляется выражением

Р(х

V

іх, х2, г'а) = 1 ітп р [*і < X (Ц) < х х + А х ; х 2 < х (t2) < .ѵ2 + А ха]

10.5)

 

Д*і->0

 

 

 

Д.Ѵ2“>0

 

394

Глава 10

Эта функция при любых (х и обладает следующими основными' свойствами:

 

СО

 

 

 

 

 

j*j р(х 1, tхі х2, 1г) dxxdx„=

1,

 

 

Р (*і. Ч) = [ р (X» tu

х2, t2)dx,2»

 

 

— СО

 

 

( 10.6>

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

Р {х2, Іо)

Р {ХXr tx,

X2J(2)dxXr

 

 

оо

 

 

У dxxdx2

Rx (^1. *а)= М [* (<j) * (<а)]=j j *i*sP («1. *і5

В случае

стационарного

процесса р(хх, tx;

х2,

t2) — р(хх, 0; х2,

t„ — ?і). Двумерная нестационарная функция

распределения мо­

жет быть

определена аналогично формуле

(10.3) выражением

Р{хх, tx\ х2, /а)= Р [— о о < —оо < * (t2) < х2]. (10.7>

Продолжая таким образом, можно определить нестационарные плотности и функции распределения более высоких порядков, что дает все более детальную информацию о нестационарном случайном процессе [x(t)\. Этот прием позволяет получить стро-' гую информацию о нестационарном случайном процессе {*(/)).

Рассмотрим теперь два различных нестационарных случай­ ных процесса {*(*)} и [y(t)\. Совместная (двумерная) плотность-

распределения случайных величин х((х) и y(t2) есть

р(х,іС, y,t2)= lim

Р [ х < х ( tx) < X + Адг; у < у ( t 2) < у + Ду]

( 10.8)

Д а - > 0

ДхДу

 

АГ>0

 

 

Эта функция обладает теми же основными свойствами, что и выражение (10.6). В частности, нестационарная взаимная корре­ ляционная функция, рассмотренная в подразд. 10.1.4, удовле­ творяет соотношению

 

 

СО

 

 

Р-ху(*1. /а)=М[лс (іх)у (*а)]=

Г Г хур(х, іх,

у, t2)dxdy. (10.9)

В

случае стационарного процесса

р(х, tx, у,

t2) = р(х,0; у

t2

tx).

 

 

Измерение нестационарных плотностей распределения пред­ ставляет собой задачу огромной трудности. Чтобы построить

Нестационарные, переходные и многомерные процессы

395

Знаже одномерную плотность распределения, определенную фор­ мулой (1 0 .1), приходится рассматривать все возможные комби­ нации величин X и іг. Для этого требуется анализ большого ан­ самбля выборочных реализаций. Как следует из формулы (10.4), задача измерения функции р(х, ty) для нестационарного гауссов­

ского

процесса сводится

к задаче измерения величин р,/^) и

<т^і),

что гораздо проще.

Тем не менее в общем случае необходи­

мо осреднение по ансамблю выборочных реализаций; этот вопрос рассматривается в следующем разделе.

На практике изучаемый нестационарный процесс бывает, как правило, представлен лишь одной или очень немногими реализа­ циями. В таких случаях возникает сильное искушение анализи­ ровать имеющиеся данные путем осреднения по времени, как это делается в случае реализаций стационарных (эргодических) про­ цессов. Как будет показано позднее, анализ путем осреднения по времени для определения параметров нестационарных процессов может в некоторых частных случаях привести к физически при­ емлемым результатам. Однако в общем случае осреднение по вре­ мени при определении плотностей распределения приводит к силь­ но искаженным оценкам. В частности, рассчитанные таким путем плотности распределения процесса с нестационарным средним значением квадрата при их очень больших и очень малых значениях оказываются завышенными, а вероятности про­ межуточных величин — заниженными.

Справедливость сделанных выше утверждений нетрудно про­ демонстрировать, рассматривая следующий частный случай. Пусть ^первая половина имеющейся реализации представляет собой вы­ борку из стационарного гауссовского процесса с нулевым средним значением и дисперсией с/; вторая половина реализации отличает­

ся от первой лишь значением дисперсии о! •> c?j. Иначе говоря,

{рункция x(t) имеет вид

 

 

 

 

 

 

х{і)= ч (0.

0 < t < 7/2,

 

х2 (/),

7/2 Z

* <

7,

а ее плотность распределения

 

 

 

 

 

1

 

-хук*

0 <

/ Z 7/2,

р (ч t)=,

с?! -/27

 

 

е—A-/2a|

 

 

1

7

7/2 Z / Z T.

 

 

атС/ 2

 

 

 

 

N

 

 

Если

при

расчете плотности распределения функции x(t),

О Z і

^ 7,

игнорировать нестационарность процесса, то соот­

ветствующая оценка при любом значении х представит собой про-

396

Глава 10

сто среднее значение плотностей распределения двух равных/. отрезков реализации при данном значении х:

р(х)--

_ L e-.v2/2a= + J _ fi-vV2a|

Н-----е

2-/2к

ст2

Пусть, например,а2 = 1 и сг2 = 16.. Соответствующая нестацио­ нарная плотность распределения представлена на рис. 10.2. За­

метим, что в функции- р(х) величина о = 2,9, так как о2 — = 1/2 (а2 + сі2) = 8,5. На рисунке показана также эквивалентная нормальная плотность распределения при а = 2,9.

~8

-7 -6

-5 - 4

- 3 - 2 - !

О

/

2

3

4

5

6

7

8

 

 

 

Амплит уда х

 

 

 

 

 

 

 

Р и с .

10.2.

Пример

плотности

распределения

 

нестационарного

про­

 

 

 

 

цесса.

 

 

 

 

 

 

 

 

А — н о р м а л ь н о е р а с п р е д е л е н и е п р и а = 1; Б — р е з у л ь т и р у ю щ е е р а с п р е д е л е н и е н е­

с т а ц и о н а р н о г о п р о ц е с с а п р и а = 2 ,9 ; В — с о о т в е т с т в у ю щ е е

н о р м а л ь н о е р а с п р е д е л е н и е

п р и а = 2 ,9 ; Г — н о р м а л ь н о е р а с п р е д е л е н и е

п р и <7 = 4.

Пример 10.1. Оценка плотности распределения, полученная осреднением по времени. Рассмотрим ускорения, возникаю­ щие при полете самолета в турбулентном воздушном потоке (см. пример 7.2 в подразд. 7.4.1). Исследуем показанный на рис. 7.1 1

частный

случай, когда входная функция времени — скорое^»

порывов

ветра — оказывается нестационарной. По-видимому,

при этом окажутся нестационарными возникающие в результате этих порывов ускорения самолета. Пренебрежем этим соображе­ нием и рассчитаем плотность распределения ускорений самолета

Нестационарные, переходные и многомерные процессы

397

осреднением по времени по всему изображенному на рис. 7.11 480-секундному интервалу наблюдений над скоростями порывов ветра. Полученная таким путем оценка плотности распределения показана на рис. 10.3 (сплошная линия). Как видно, эта оценка сильно отличается от нормальной как по форме, так и по величи-

Ускорение самолета, стандартные отклонения

Р и с. 10.3. Плотность распределения

ускорений самолета.

р а с ч е т п о в с е й р е а л и з а ц и и

( т 4 = 7 ,6 7 з Ц ;

° — р а с ч е т п о с т а ц и о н а р н ы м о т ­

р е з к а м р е а л и з а ц и и ;

-------------- н о р м ал ь н о е р а сп р е д е л е н и е .

не выборочного четвертого' центрального момента ml (в разд. 3.4 показано, что в случае гауссовского процесса ml = За4). Эти вы­ числения были проделаны по выборке, состоящей из более чем 104 ординат, так что в статистическом смысле отклонения оценки плотности распределения от нормальной весьма значимы.

Предположим теперь, что мы анализируем короткую реализа­ цию нестационарного процесса, которая внешне кажется ста­ ционарной. Согласно рис. 7.11, такие примерно стационарные свойства обнаруживаются у отрезка реализации, длина которого составляет около 200—260 с. Оценка плотности распределения, рассчитанная временным осреднением по 700 ординатам только этого отрезка, показана на рис. 10.3 кружками. Функция явно близка к нормальной. Значение критерия х2, вычисленное при уровне значимости а — 0,05, не противоречит гипотезе о нормаль­

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности