книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов
.pdf28 |
Глава 1 |
функции. К счастью, на практике случайные процессы, соответст вующие стационарным физическим явлениям, как правило, об ладают свойством эргодичности. Именно поэтому в большинстве случаев можно правильно определить характеристики стационар ного случайного процесса по одной выборочной реализации,
1.2.3.Нестационарные случайные процессы
Кнестационарным относятся все случайные процессы, не обладающие перечисленными в подразд. 1.2.1 свойствами ста ционарности. Характеристики нестационарного случайного про цесса в общем случае представляют собой функции времени, ко торые можно определить только осреднением мгновенных значе-' ний по ансамблю выборочных функций, формирующих процесс.
На практике зачастую невозможно получить достаточно большое число реализаций, необходимое для точного определения харак теристик осреднением по ансамблю. Это обстоятельство препятст вует развитию практических методов измерения и анализа не стационарных случайных процессов.
Во многих случаях в классе нестационарных случайных про цессов, соответствующих реальным физическим явлениям, можно выделить особые категории нестационарное™, для которых зада-' ча измерения и анализа упрощается. Например, некоторые явле ния случайного характера описываются нестационарным случай ным процессом (г/(/)}, каждая выборочная функция которого имеет вид y(t) = A{t)x(t). Здесь х(і) — выборочная функция ста
ционарного случайного процесса (x(0), A {t)— детерминированный множитель. Иными словами, такой процесс относится к не стационарным случайным процессам, выборочные функции кото рых обладают общим детерминированным трендом. Если неста ционарный процесс соответствует конкретной модели такого типа, то для его описания нет необходимости производить осред нение по ансамблю. Различные требуемые характеристики про цесса можно оценить по одной выборке, как и для эргодических процессов.
1.2.4. Стационарные реализации
Понятие стационарности, рассмотренное в подразд. 1.2.1, связано с осреднением по ансамблю характеристик случайного процесса. Однако на практике часто говорят о стационарности или нестационарности процесса, представленного всего однойі реализацией. Здесь используется несколько отличное от приве денного ранее понятие стационарности. Когда говорят о стацио нарности одной реализации, то это обычно означает, что характе ристики, рассчитанные по коротким отрезкам времени, не меня-
Основные характеристики физических процессов |
29 |
Щся значимо для различных отрезков. Слово «значимо» исполь зуется здесь для обозначения того факта, что наблюдаемые изме нения больше, чем можно ожидать за счет обычной выборочной статистической изменчивости.
Для разъяснения этого соображения рассмотрим реализацию xk(t), полученную по &-й выборочной функции случайного процесса >{х(^)|. Определим среднее значение и автокорреляционную функ цию осреднением по времени на коротком интервале продолжи
тельности Т при начальном моменте |
/х: |
|
|
|
іі + т |
|
|
fVOr- |
k)= ~f- J xk(t)dt, |
(1.12a) |
|
|
h |
|
|
|
il+T |
|
|
Rx (h, k + |
ß) = 4 “ [ |
xk (t)xk (t + x)dx, |
( 1. 126) |
В общем случае, когда выборочные характеристики, определен ные формулами (1.12), меняются значимо при изменении началь ного момента tlt отдельная реализация называется нестационар ной. В частном случае, когда выборочные характеристики, опре деленные формулами (1.12), не меняются значимо при изменении Нъ реализация называется стационарной1). Здесь нужно отметить Следующее важное обстоятельство. Реализация эргодического случайного процесса всегда стационарна. С другой стороны, реализации большинства физически важных нестационарных И^чайных процессов не обладают свойством стационарности. ■Следовательно, если предположение об эргодичности оправдано {как это и есть для большинства реальных стационарных физиче ских явлений), то подтверждение свойства стационарности одной реализации может служить достаточным основанием для допуще ния стационарности и эргодичности случайного процесса, к ко торому принадлежит данная реализация2).
1.3.Основные статистические характеристики случайных процессов
Для описания основных свойств случайных процессов исполь зуются четыре статистические функции: а) среднее значение квад рата случайного процесса; б) плотность распределения; в) авто-
*) Данное определение не является однозначным, поскольку не ясно, что называть «малым» значением Т и Jhto понимать под «значимыми» и
«незначимыми» изменениями.' Можно предложить следующее четко сфор мулированное условие: приТ-*- оо левые части (І.12а) и (1.126) сходятся к пределам равномерно относительно Ц,— оо < Ц < оо.— Прим. ред.
5)Последнее замечание может быть справедливо во многих п-рактиче-
Ал х ситуациях, но как общее утверждение оно бессмысленно. —. Прим,
ред.
30 |
Глава 1 |
корреляционная функция; г) спектральная плотность1*). Средне значение квадрата дает элементарное представление об интенсив ности процесса. Плотность распределения характеризует распре деление вероятностей процесса в фиксированных точках. Автокор реляционная функция и спектральная плотность дают аналогич ную информацию о процессе во временной и частотной областях соответственно. В гл. 3 будет показано, что формально функция спектральной плотности стационарного процесса не содержит дополнительной информации по сравнению с автокорреляционной функцией, поскольку эти функции связаны взаимным преобра зованием Фурье. Однако они дают информацию различного типа, причем для решения той или иной задачи получение информации одного типа может быть более желательно. ■'
В последующих подразделах перечисленные характеристики стационарных случайных процессов описываются более подробно. При этом предполагается, что рассматриваемые процессы обла дают свойством эргодичности, так что их характеристики могут быть найдены путем осреднения по времени отдельных реализа ций.
1.3.1.Моменты второго порядка (среднее значение квадрата и дисперсия)
Элементарное представление о суммарной интенсивности лю-4 бого случайного процесса дает среднее значение квадрата, которое представляет собой просто среднее из всех значений квадрата процесса в пределах данной реализации. Среднее значение ква4*Ч
рата |
данной реализации x(f) |
определяется в виде |
|
|
|
|
|
т |
|
|
Y * = l i m 4 - |
\x*(t)dt. |
(1.13) |
|
|
Г-»со |
1 |
J |
|
|
|
|
0 |
|
Абсолютная величина корня квадратного из среднего значения квадрата называется среднеквадратичным значением.
Зачастую удобно рассматривать физический процесс в виде суммы статической, т. е. не зависящей от времени, составляющей и динамической, или флуктуационной, составляющей. Статиче скую составляющую можно получить, вычисляя -среднее значе ние, которое представляет .собой просто среднее из всех значений процесса. Среднее значение
p.,=lim -Tjr |
(1 -ф |
Т —^ оо 1 |
|
і) Эта функция называется также спектральной плотностью энерги и или спектральной плотностью мощности.— Прим, перев.
Основные характеристики физических процессов |
31 |
Динамическая составляющая определяется |
дисперсией |
процес |
са — величиной, равной просто среднему |
квадрату отклонений |
|
его ординат от среднего значения. Дисперсия процесса: |
|
|
ol— lim^r- 1 [x(t) — px\2dt |
(1.15) |
|
Т->со 1 J |
|
|
Положительное значение корня квадратного из дисперсии назы вается среднеквадратичным отклонением.
Раскрывая скобки в подынтегральной функции (1.15), нахо
дим, что |
дисперсия равна разности между |
средним значением |
|
•квадрата |
и квадратом среднего |
значения |
|
|
о |= ¥ ! |
- |4 . |
(1.16) |
1.3.2. Плотность распределения
Плотность распределения случайного процесса определяет вероятность того, что значения процесса в произвольный момент времени будут заключены в определенном интервале. Рассмотрим
k
Tx~LAti
x(t)
1*1
Р и с . 1.11. Определение плотности распределения.
'некоторую реализацию как функцию времени, представленную на рис. 1.11. Вероятность того, что значения x(t) попадают в ин тервал от X до {х + Ах), можно найти, вычисляя отношение TJT, где Тх — суммарная продолжительность нахождения про цесса в интервале (х, х + Ах) за время наблюдения Т. При стрем- ^ении Т к бесконечности это отношение все точнее описывает
ероятность такого события. Это утверждение можно записать ■следующим образом:
С. % |
• - . ' Р[х < x (if) < х + Ах] = 1 і ш ^ . |
(1.17) |
■ ..................... |
. . Т-*х> і : |
. |
32 |
Глава 1 |
При малых Ах одномерная плотность распределения р(х) опреде*
ляется соотношением
Р [х < X(0 <5 X.+ Дх] ^ р (х)Ах. |
(Ы 8) |
|
Более строго |
Р [Х<] X(/) < У+ А.у| |
|
р (х)=1іт |
|
|
Ах |
|
|
Дл»0 |
|
|
Плотность распределения р(х)_есть всегда действительная неот рицательная функция. * <■
Вероятность того, что мгновенное значение x(t) не превышает некоторой величины х, характеризуется функцией Р{х), которая^ равна интегралу от плотности распределения в пределах от минус' бесконечности до х. Функция Р(х) называется функцией распре деления, или кумулятивной функцией распределения. Ее не сле дует путать с плотностью распределения. По определению1)
X |
|
Р (х )= Р [* (/)< * ]= |р ( |) # . |
(1.20) |
Функция распределения ограничена значениями нуль и единица, так как вероятность того, что x(t) меньше — сю, очевидно, равна нулю, а вероятность того, что x(t) меньше + сю , равна единице (достоверное событие). Вероятность попадания х(і) в некоторый интервал (хг, х2) составляет
*2 |
^ |
Р (х2)—Р (*!) = Р [х±< X (t) < хй]= J р (x)dx. |
(1-21) |
XI |
|
Среднее значение функции х(і) выражается через плотность распределения следующим образом:
СО |
|
ух= J xp(x)dx, |
(1.22) |
—00 |
|
т. е. среднее значение равно взвешенной сумме всех значений x(t). Аналогично среднее значение квадрата
СО |
|
j x 2p(x)dx, |
(1.23) |
—оо |
|
т. е. оно равно взвешенной сумме значений х2(і). |
-- |
2) В отечественной литературе в определении функции распределен ния Р(х) случайной величины | полагают Р(х) — Р(£ < дс), а не Р (5 < х)■? Если Р{х) непрерывна, то это одно и то же.—. Прим. ред.
Основные характеристики физических процессов |
33 |
П римеры . Для того чтобы пояснить, какое |
практическое |
значение имеет плотность распределения, рассмотрим четыре при мера реализаций, которые могут встретиться на практике:
Р и с . 1.12. |
Четыре примера функций времени. : |
а — гармонический процесс; |
б — сумма гармонического процесса н случайного^шума} |
« — узкополосный случайный шум; г — широкополосный случайный шум.
а) гармоническое колебание; б) гармоническое колебание плюс случайный шум; в) узкополосный случайный шум; г) широкопо лосный случайный шум. Типичные примеры перечисленных реали заций приведены на рис. 1.12. Во всех случаях для удобства- ^принято, что средние значения равны нулю (р,х = 0). '■> к Отметим, что гармоническое колебание обычно считается де терминированной функцией, так как соотношение -x(t) —
3— 2 2 «
34 |
Глава 1 |
— Хѣ\п(2ъfQt + 0) определяет точный ее вид. Однако гармоничен ское колебание можно рассматривать также как выборочную функ цию случайного процесса {*(/)} = |Хпп(2гг/0/ + ѲЛ)}, где на чальная фаза 0А каждой выборочной функции xk(t) есть случай ная величина. Такая интерпретация гармонического колебания принята и в настоящей работе для того, чтобы оправдать примене ние понятий теории вероятностей.
[Р п с. |
1.13. |
Графики |
плотности распределения. |
ш — гармонический процесс; |
б — сумма |
гармонического процесса и случайного шума; |
|
« — узкополосный |
случайный шум; г — широкополосный случайный шум. |
||
Типичные графики плотности распределения как функции непрерывного аргумента (зависимость р от х) для всех четырех примеров представлены на рис. 1.13. Кривая чашеобразной фор мы, характеризующая плотность распределения гармонического колебания (рис. 1.13, а), определяется формулой
|
|
1 при \ х \ < Х , |
(1.24) |
||
{ |
0 |
при |х I > |
X. |
||
|
|||||
Кривые колоколообразной формы |
(рис. 1.13, |
в и г ) |
характери |
||
зуют узкополосный |
и широкополосный случайные |
процессы. |
|||
В идеальном случае эти кривые плотности распределения опи
сываются классической формулой Гаусса |
|
* |
|
р (*)= (ах/ 2 я ) “1^ |
. |
' |
(1-25) |
|
|
|
7\» |
Плотность распределения суммы гармонического колебания й случайного шума обладает характерными чертами плотностей распределения обоих этих процессов, как это видно из рис. 1.13, б.* Приведенные на рис. 1.13 примеры показывают, как меняется вид
Основные характеристики физических процессов |
35 |
-фривой плотности распределения при переходе от гармонического процесса к широкополосному случайному процессу.
Применение. Основная цель получения плотности распре деления физического процесса состоит в установлении вероят? ностных законов для его мгновенных значений. Однако из рис. 1.13 видно, что эту функцию можно использовать также и для того, чтобы отличить гармонический процесс от случайного. Кроме того, плотность распределения позволяет опытному специалисту выявить нелинейные физические эффекты,
1.3.3.Автокорреляционная функция
*Автокорреляционная функция случайного npöiièPPä характе ризует общую зависимость значений процесса в некоторый дан ный момент времени от значений в другой момент. Рассмотрим реализацию x(t), приведенную на рис. 1.14. Оценку величины
автокорреляционной функции, связывающей значения x(t) в мо менты времени / и t т, можно получить, вычисляя произведе ние этих ординат и осредняя величину произведения в пределах времени наблюдения Т. Найденное среднее значение произведе ния приближается к точному значению автокорреляционной функ ции при стремлении Т к бесконечности:
|
т |
|
Rx(x) = lm — |
Г X(t)x (t + x)dt. |
Г(1.26) |
Г-мо 1 |
J |
|
|
О |
|
Величина Rx(т) — всегда действительная четная функция с мак- ?мумом в точке т = 0; она может быть как положительной, так отрицательной. Запишем эти утверждения в виде формул
Я ,(-* )= £ * (* ). |
(1.27) |
Rx(0) ^ I Rx(т) I при любых X. |
(1.28) |
3«
36 |
Глава 1 |
Среднее значение функции x(t) выражается через автокоррд^ ляционную функцию (исключая некоторые особые случаи, как, например, гармоническое колебание) равенством1)
\іх= Ѵ Rx {оо). |
(1.29) |
Таким образом, среднее значение функции x(t) равно положи тельному значению корня квадратного из автокорреляционной функции, взятой при очень большом сдвиге. Аналогично среднее значение квадрата функции
¥ * = £ ,(0 ), |
(1-30) |
т. е. среднее значение квадрата равно значению автокорреляциов^ ной функции при нулевом сдвиге.
Примеры. На рис. 1.15 показаны типичные графики авто корреляционных функций (зависимости R от сдвига т) для всех четырех функций времени, приведенных на рис. 1.12. Эти гра фики называются автокоррелограммами. Имеющая вид косину соиды автокоррелограмма гармонического колебания (рис. 1.15,а) описывается соотношением
Rx (т) = |
cos 2л/0т. |
(1.31) |
Важная особенность этой автокоррелограммы заключается в том, что форма ее периодически повторяется во времени с тем же пе риодом, что и период рассматриваемого гармонического колеба ния, но информация о фазе теряется.
Автокоррелограмма, имеющая вид крутого пика с быстры* спаданием к нулю (рис. 1.15, г), типична для широкополосного случайного процесса с нулевым средним значением (если сред нее значение не равно нулю, автокорреляционная функция стре мится к величине р.|). В предельном гипотетическом случае бело го, шума (случайный процесс, энергия которого равномерно рас пределена по всем частотам) автокоррелограмма имеет вид дельта функции Дирака при нулевом значении сдвига (т = 0).
Автокоррелограмма суммы гармонического колебания и слу чайного шума представляет собой просто сумму автокоррелограмм гармонического колебания и случайного шума (рис. 1.15, б). С дру гой стороны, автокоррелограмма узкополосного случайного шума (рис. 1.15, в) напоминает автокоррелограмму гармонического ко лебания с затухающей амплитудой. Важной ее особенностью яв ляется то, что^она стремится к нулю при больших значениях
1)*Это равенство'можно объяснить так. Известно, что если X и Y незой
висимы, то M[XY] = M[X]!A[Y}. Если предположить, |
что Х(і) и Х(*. + |
||
-Р т) при т -t- со в пределе |
независимы, то естественно |
предположить |
|
также, что^M[X(t)X(t + |
т)] — M[ X( t ) \ M[ X( t + т)] |
= |
{ М В Д 1 } * .- |
Прим. ред. |
|
|
|
Основные характеристики физических процессов |
37 |
щрига (если цх = 0). Четыре графика на рис. 1.15 показывают, KäK меняется вид автокоррелограмм при переходе от гармониче ского процесса к широкополосному случайному процессу.
Р и с . |
1.15. Графики автокорреляционных функций (автокоррелограммы). |
|
а — гармонический процесс; б — сумма |
гармонического процесса и случайного шума; |
|
в |
— узкополосный случайный шум; |
г — широкополосный случайный шум. |
П рименение. Автокорреляционная функция физического процесса применяется прежде всего для исследования зависи мости значений процесса в некоторый данный момент от значений процесса в некоторый момент в прошлом. Автокорреляционная функция гармонического колебания или любого другого детерми нированного процесса, вообще говоря, отлична от нуля при всех значениях аргумента, тогда как автокорреляционная функция