Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1301 вуз, 5075 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов

.pdf
Скачиваний:
71
Добавлен:
25.10.2023
Размер:
16.48 Mб
Скачать
☆

378 .

Глава 9

Таким образом получается нормированная взаимная корреляцион-'-' ная функция

 

9хи Ш

Rxy jrh)

Г = о, 1, 2 ,..., m,

(9.157)

 

=

 

 

Ѵ ь х ®) Vßj,(0 )

 

 

которая

теоретически должна

удовлетворять неравенству

—1 < pXy(rh) <

1. Аналогичным образом определяется

функция

Pyx(fh)•

последующего определения стандартным способом оценки

Для

GXy(f) взаимной спектральной плотности Gxy(f), связывающей реа­

лизации x(t) и y(t), для г =

0 , 1 , 2 ,

т находят функции

 

К = K w =

4 - ^

W+ Ху*»

(9- 158)

Br = Bxy(г/i) = -L [Rxu(rh)— Ryxm ,

(9.159)

представляющие собой соответственно четную и нечетную части взаимной корреляционной функции. Эти функции необходимы лишь в том случае, когда взаимную спектральную плотность вы­ числяют по автокорреляционной функции. В новом методе рас­ чета при помощи БПФ они не применяются. Иногда при исполь­ зовании старого способа расчета выполняется специальная опера­

ция, которая заключается в переносе величин Аг и Вг вдоль оси сдвигов в точку, где взаимные корреляционные функции дости­ гают максимума. Эта операция равнозначна простой форме при­ ведения взаимного спектра к белому шуму по двум переменным, ѵ и по окончании расчетов на нее следует ввести поправку, учиты­ вающую потерю спектральной энергии вследствие просачивания через лепестки сглаживающих функций.

Вычисление при помощи БПФ. Для получения взаимной корреляционной функции при помощи БПФ, как и в подразд. 9.5.2, можно рекомендовать следующую последовательность вычис­ лений. Пусть объем каждой выборки из реализаций x(t) и y{t) со­ ставляет N = 2р чисел. Взаимную корреляционную функцию в этом варианте находят по спектральной плотности процесса, для чего дважды применяют БПФ — к функции x{f) и к функции y(t). Оба преобразования можно находить одновременно, ибпользуя метод, описанный в подразд. 9.3.4. Последовательность вычисле­ ний:

и

1. Вводят в память машины значения хп как действительную

значения уп как мнимую части комплексной функции zn

У.

=

хп + jyn, п = 0, 1....... N — 1.

2. Дополняют действительную и мнимую части N нулевыми точками и получают в результате последовательность zn из 2N членов.

 

Цифровые методы анализа

379'

3.

По формуле

(9.8.1) вычисляют 2N коэффициентов Фурье

Zk для k = 0, 1, ...,

2N — 1.

 

О,

4.

По формуле (9.84) вычисляют величины Xk и Yk для k =

1, ....

2N — 1.

 

 

 

5.

По формуле (9.175) находят первичную оценку взаимной

спектральной плотности Gxy{fJ

для k = 0, 1, ..., 2N —■1.

 

6 .

Находят обратное БПФ

оценки Gxy(k) и, умножая резуль-.

тат на масштабный множитель N/N — г, получают оценку Rxy(rh)

для г = —N, —N + 1, ..., О, 1, ..., N — 1. Масштабный множи­ тель необходим потому, что полученная взаимная оценка корре­ ляционной функции является циклической [см. формулу (9.103)]..

9.7.3. Взаимные спектральные плотности

Рассматриваемые здесь способы вычисления взаимных спект­ ральных'функций представляют собой обобщения способов вы­ числения, рассмотренных в разд. 9.6. Взаимная спектральная функция есть комплексная величина

 

 

Gxy(f)=Cxy(f)-jQ xy(f),

(9.160).

где

Cxy(f) — синфазная, а

Qxy(f) —[квадратурная составляющие.

Эквивалентное

представление этой функции имеет вид

 

 

 

Gxy(f) = \Gxy(n\e-ie*y(f),

(9.161).

где

I Gxy{f) I — модуль величины Gxy(f), а Qxy(f) — ее

фазовый

*угол. Отсюда

вытекают соотношения

 

 

 

I Gxy (/) \=[С%у (/) + Qxy (/)]1/2,

(9.162) .

 

 

®ху (/)

\0*ѵЖ\

(9.163),

 

 

arc tg р х у (f)J *

 

Вычисление через взаимные корреляционные функции..

Первичные оценки синфазной и квадратурной составляющих взаимной спектральной функции можно найти по реализациям случайных процессов следующим образом. (В приводимых нижеформулах фигурируют односторонние спектры, отличные от нуля только при / ^ 0 .)

При произвольной частоте f в интервале 0 < / < /е первичные

оценки Cxy(f) и Qxy(f)

имеют вид

 

 

 

пг—\

 

 

Сху (f)=2h [Â0+ 2 2 Âr cos ( ^ ) + ÂmcosҢT tm f

. (9.164)

ж.

r=I

с

 

V

 

 

 

m—1

+ Bmsin ^ itm f

 

Qx„(/)=2A

2 £ è , sin

(9.165),

c

.-380

 

 

Глава 9

 

 

где величины Âr и Вг

определяются

соотношениями

(9.158)

и (9.159). Как и ранее,

значения рассматриваемых функций сле­

дует вычислять для (т +

 

1) дискретных частот

 

f--

kfc

k— 0, 1,..., т,

(9.166)

\т

 

-гдег& — номер гармоники. На этих дискретных частотах

 

 

 

 

m—1

 

 

А = сху ( $ t ) = 2h [Л„ + 2 2 К cos ( ^

) + (-!)* „

(9.167)

 

 

 

Г=1

 

 

 

 

 

ш—1

 

 

 

 

 

 

 

(9.168)

 

 

 

/■—1

 

 

Сглаженные оценки величин Ск и Qk, соответствующие номеру гармоники k, можно вычислить с использованием весовой функ­ ции Ханна (9.115):

С0— О.бСо + О.бСі,

 

Qo=0,5Qo + O.öQx,

 

 

(9.169)

 

 

 

 

0,25Cé_ ! +

0,5Cft + 0,25Cft+1,

k — 1,

2

— 1,

Qk=

-- 0,5Qa+ 0,25Qft+1,

(9.170)

t

 

Cm=0,5C ,„_1 + 0,5Cm,

 

 

(9.171)

 

Qm= 0,5Qm_ 1 + 0,5Qm.

 

 

 

 

 

 

Сглаженные оценки взаимной спектральной

плотности на т + 1

дискретных частотах

/ = kfjm, k = 0 ,

1,

2 ,

...,

т, имеют вид

 

 

 

 

 

(9.172)

где

(9.173)

(9.17&

Вычисление мет одомБПФ . Как и в подразд. 9.6.2, вычисле­ ния взаимной спектральной функции методом БПФ рекомендует­ ся выполнять в следующей последовательности. (Предполагается,

__________________ ___ЦифрдвЫё Мётоды анализа_____

381

ST

"

хп и уп

'

~~~

Г

что исходные выборки

имеют некоторый произвольный

-объем

N.)

 

 

либо добав­

1.

Последовательности хп и уп либо укорачивают,

ляют к ним такое число нулей, чтобы каждая последователь­ ность содержала N = 2р чисел.

I 2. Концевые участки полученных последовательностей сгла­ живают с помощью косинусоидальной функции, изображенной на

рис.

9.13, или другой сглаживающей функции.

 

3.

Вводят в память машины сглаженную на концевых участ­

ках

последовательность хп в качестве

действительной части, а

сглаженную

последовательность

уп — в

качестве мнимой части

»функции zn =

хп +

іуп, п = 0,

1, ..., N — 1.

 

4.

Вычисляют, используя процедуру БПФ (9.75), величины

для N значений частоты k = 0, 1,

..., N — 1.

Yk при k =

5.

По формуле (9.84) вычисляют значения X k и

= 0,

1, 2 , ..., N -

1.

 

 

 

6 . Вычисляют первичные оценки GxtJ(fk) взаимной спектраль­

ной

плотности для

k = 0, 1, ...,

N — 1

и fk = klNh по формуле

 

 

 

Gxy{fk) = ^ - \ X W k\,

(9.175)

тде XI — величина, комплексно сопряженная с X k.

связанный

7.

В эти оценки

вводят масштабный множитель,

соперацией сглаживания на концевых отрезках. Если, например,

^пользуется косинусоидальная сглаживающая функция, изобра­

женная на рис. 9.13, то величина Gxy(fJ заменяется величиной

<1/0,875)

GJJ,y

8 . В

заключение получают сглаженные оценки, используя

сглаживание либо по частотам, либо по отрезкам, либо комби­ нируя оба способа [см. формулы (9.139) и (9.143)].

Коэффициент ускорения вычислений д ля двух реализаций. Основная формула, определяющая общее уско­ рение вычислений при оценке спектров и взаимных спектров двух

реализаций не

через корреляционные

функции, а при помощи

•БПФ, имеет

вид

4Ntn

т

 

 

к.у.в.

(9.176)

 

4Np

Т

 

 

 

При выводе соотношения (9.176) предполагалось, что: 1) вычис­ ляются оценки как спектральных плотностей каждой из реали- 3»щий, так и взаимных спектральных плотностей; 2 ) для вычисле­ ния четырех корреляционных функций (Rxx, Ryy, Rxy, Ryx) необходимо выполнить 4tNm операций умножения и сложения дейст-

См. формулу (9.81).— Прим, перев.

382

Глава 9

вительных чисел; 3) N = 2р и 4) процедура БПФ выполняетсятолько один раз, и при этом необходимо примерно ANp операций умножения и сложения действительных чисел. Если, например, N = 213 = 8192 и т = О, IN = 819, то общий коэффициент уско­ рения вычислений при анализе двух реализаций составит

(819/13) « 63.

Таблица 9.1

Сравнение числа операций умножения и сложения действительных чисел при расчетах обычным методом и методом БПФ

(N— 2р, т—максимальное число шагов)

В ы ч и с л я е м а я х а р а к т е р и с т и к а

О б ы ч н ы й

М е т о д Б П Ф

К о э ф ф и ц и е н т

у с к о р е н и я

 

 

м е т о д

 

в ы ч и сл ен и й

Дискретное преобразование Фурье

N2

4Np

N

Ар

 

 

 

 

Корреляционные функции

Nm

8Np

т

~8р~

 

 

 

 

Спектральные плотности

Nm

ANp

т

~4р~

Корреляционные

функции и спектраль­

ANm

ANp

т

ные плотности

двух реализаций (ча­

~

стотные характеристики и функции

 

 

 

 

 

когерентности)

Сведения о коэффициентах ускорения вычислений при исполь-^ зовании метода БПФ приведены в табл. 9.1 С помощью специаль­ ных программ в некоторых случаях можно добиться ускорения вычислений еще вдвое.

9.8.Частотные характеристики и функции когерентности

9.8.1.Линейные системы с одним входным процессом

І^ак уже указывалось в гл. 2 , частотная характеристика

#(/)

линейной системы с

постоянными параметрами есть

комп­

лексная функция вида

 

 

 

Н (/) = IЯ (/) I ег-№1\

(9.177)

где

I H(f) I — амплитудная

частотная характеристика,

</>(/) —

фазовая частотная характеристика системы. Согласно формуде

(5.8),

если на

вход системы поступает

стационарный процесс

x(t),

а на выходе наблюдается процесс y(t), то оценку амплитуд­

ной частотной

характеристики находят

из соотношения

 

 

|Я ( / ) |=

Gy(f) 1/2

(9.178)

 

 

Gx (f)

 

 

 

 

 

Цифровые методы, анализа

 

 

383

^Следовательно, на дискретных

частотах

/

= kfjm,

k = О, 1,

2 ,

m, численная оценка амплитудной частотной характеристи­

ки может быть найдена в виде

 

 

 

 

 

№ 1= І й ( т

) і = ( ^

Г

'

(9' 179)

где Gk>x и 6kt!/ — сглаженные численные оценки энергетических

спектров процессов x(t) и y(t) соответственно для гармоник по­ рядка k. Отметим, что формула (9.178) дает несмещенную оценку функции I H(f) I только для идеального случая, когда посторон­ ние шумы на входе и выходе отсутствуют и выходной процесс y(t) определяется только одним входом. Дискретные значения частот в формуле (9.179) появляются при использовании старого способа расчета спектральных плотностей через автокорреля­ ционную функцию; параметр m здесь обозначает максимальное число шагов.

При вычислении методом БПФ дискретные значения частот'

fk = -mr> * =

(9.180)

Так как / с = 1/2/:, то получаемые при вычислении БПФ дискрет­ ные значения частот совпадают с дискретными значениями k только в том случае, когда N — 2т. При нахождении частотных

характеристик сглаженные оценки Gx(f^ и 0 у(/Д следует нахо­ дить методом БПФ до подстановки их в формулу (9.178). Тогда

\Ök\ = \Ü I, Ä=0, 1, — 1. (9.181)

Заметим, что в общем случае формулы (9.179) и (9.181) дают раз­ личные величины для одинаковых значений k.

Для случая системы с одним входом и одним выходом при наличии постороннего шума только на выходе либо для случая системы со многими входами и одним выходом при некоррелиро­ ванных входах следует использовать другой, более общий метод получения оценок частотной характеристики (как амплитудной, так и фазовой) согласно формуле (5.9):

Я ( / ) = - |^ - .

(9.182)

Очевидно,

(9.183)

\н (іп— bx (f)

384 Глава 9

Следовательно, численные оценки амплитудной и фазовой частот­

ных характеристик для дискретных частот / =

kfjm, k = О, 1,

2 ........ т,

находятся по формулам

 

 

 

(С\ + Q lf2

 

(9.184)

 

|Я * |=

 

 

J k , x

 

 

 

— arc tg (- ^ Л ,

 

(9.185)

где Gkx — численная оценка энергетического

спектра

процес­

са x(t) для

гармоники порядка k, Ck и Qk — численные

оценки^

синфазного и квадратурного спектров процессов x(t) и y{t) для гармоник порядка k. Как уже отмечалось, приведенные выше ди­

скретные значения частоты / = kfjm, k =

0 , 1, 2 , ...,

т, не сле­

дует путать

с

обычными

дискретными

значениями

/ А= k/Nh,

k — 0, 1, 2,

...,

N — 1,

получаемыми методом БПФ.

Если для

нахождения сглаженных спектральных оценок GK(/J и Gxy(fk) используется этот метод, то, как вытекает из соотношения (9.183),

* = 0 , 1, 2 , . . . , * - ! .

(9.186)

Согласно изложенному в разд. 5.2, функция обычной когерент-'

ности yly(f), связывающая два стационарных процесса x(t)

и y(t),

имеет вид

 

\ G x U ( f ) \ 2

(9.187)

у і у І П = G x ( f ) \ G y ( f ) ’

 

где Gx(f) и Gy{f) — спектральные плотности процессов x{t)

и y(t)

соответственно, а Gxy(f) — взаимная спектральная плотность

процессов x(t)

и y(t). Теоретически функция когерентности должна

удовлетворять

неравенству 0 < y2xy{f) <

1 при

всех /.

При численном расчете оценки функции когерентности на

дискретных частотах / = kfjm,

k =

0 ,

1, 2 , ....

т, находятся по

формуле

 

 

 

 

./

 

 

C I +

Q I

 

 

УІ--

 

(9.18$

 

G k , x G,к,У

 

2/

где Gk x и Gkyy — численные

оценки

энергетических спектров

процессов x(t) и y(t) соответственно, а Ск и Qk — численные оцен­ ки синфазного и квадратурного спектров процессов x(t) и y(t)

Цифровые методы анализа

385

■для гармоник порядка к. Если для нахождения сглаженных спект­ ральных оценок Gx(f), Gy(f) и Gxy(f) на частотах fk = ktNh, k = = 0, 1, 2, N — 1, используется метод БПФ, то, согласно соот­ ношению (9.187),

__ 1Gjry(fk)\2

(9.189)

(fk) бу (fk)

 

Как отмечалось выше, индексы k в формулах (9.188) и (9.189) в общем случае соответствуют различным частотам. При расчетах по формуле (9.189) обязательно следует использовать только сгла­ женные оценки спектральных плотностей. В случае замены их на первичные оценки всегда будут получены равные единице пер­ вичные оценки функции обычной когерентности (см. разд. 6 .6 ).

9.8.2. Линейные системы со многими входами

Схема рассматриваемой здесь линейной системы со многими входами приведена на рис. 5.6 в разд. 5.3. Та же схема изображена и на рис. 6.5 в разд. 6 .8 , где обсуждаются статистические крите­ рии, используемые для получения «хороших» оценок. Как следует из соотношения (6.149), q частотных характеристик системы со многими входами, обозначенных индексами і = 1, 2 , ..., q, зави­ сят от следующих величин:

1) сглаженных оценок спектральных плотностей для всех ^входных процессов;

2 ) сглаженных оценок взаимных спектральных плотностей, связывающих все входные процессы;

3) сглаженных оценок взаимных спектральных плотностей, связывающих все входные процессы и процесс на выходе.

Перечисленные спектральные функции можно вычислить либо через корреляционные функции, либо методом БПФ (см. разд. 9.6 и подразд. 9.7.3). Для представления данных в виде набора матриц спектральных плотностей на фиксированных дискретных значениях частоты синдексом& = 0 , 1, 2 , ... необходимо составить специальную программу. Затем следует найти матрицы, обратные матрицам спектральных плотностей, и получить с их помощью набор частотных характеристик (с индексами і и к) системы со многими входами. Для проведения всех этих расчетов в библио­ теке программ ЦВМ должны иметься комплексная арифметика ій процедуры операций над матрицами.

* Наиболее экономичный способ вычисления искомых элементов спектральных іуатриц заключается в следующем. С помощью мето­ да БПФ находят преобразования Фурье всех входных процессов и процесса на выходе (спектральные и взаимные спектральные

25— 2244

386 Глава 9

функции указанных процессов на этом этапе не вычисляют). Приналичии q входов и одного выхода для этого требуется выполнить (q/2) + 1 обращений к процедуре БПФ при условии одновремен­ ного вычисления преобразований Фурье двух временных рядов. Сохраняя в памяти машины все преобразования Фурье, следует вычислить произведения всех возможных пар этих преобразова­ ний, одно из которых каждый раз является комплексно-сопряжен­ ной величиной. Далее эти произведения следует сгладить, чтобы получить искомые спектральные и взаимные спектральные плот­ ности. При использовании описываемого метода обращения к процедуре БПФ больше не требуется. В итоге для q функций вре­ мени получают q(q + 1 )/2 различных спектров и взаимных спект­ ров. При вычислении этих q(q + 1)/2 спектров и взаимных спект­ ров обычным способом — путем рассмотрения одновременно двух функций времени — число обращений к процедуре БПФ составит не q!2 , а примерно q2/2 .

Функции множественной когерентности, связывающие процесс на выходе и все измеряемые процессы на входе, получают на ос­ нове тех же сглаженных спектральных функций, которые исполь­ зуются при вычислении частотных характеристик системы со многими входами. Согласно формуле (5.126), оценка функции множественной когерентности на дискретных частотах с индек­

сом k =

0 , 1, 2 , ... выражается через сглаженные спектральные

оценки

в виде

 

 

 

Y j.,(/)= 1

J y x X (Я

(9.190)^

 

Gyy(Я I ^XX(Я I

 

 

Таким образом, для построения функции множественной когерент­

ности помимо оценки спектральной плотности Gyy{f) процесса на выходе необходимо найти надежные оценки следующих двух определителей:

1) определителя | Gxx(f) | спектральной матрицы входов (раз­ мерность q X q);

2) определителя | Gyxx(f) | пополненной матрицы взаимных спектральных плотностей процесса на выходе и всех процессов на входе [размерность (q + 1) X (<7 + 1)].

Программа расчета на ЦВМ должна быть составлена таким образом, чтобы можно было с минимальными затратами временивычислять эти определители для дискретных частот с индексами

k. Отношение определителей | Gyxx(f) |/| Gxx([) j представляет србой условную, или остаточную, спектральную плотность выходного процесса (на частоте /) после исключения той части спектральных плотностей,, которую можно объяснить наличием линейных свя­

зей. Это отношение, деленное на функцию Guy{f), определяет долю

Цифровые методы анализа

387

спектральной плотности выхода (на частоте /), которую нельзя объяснить наличием линейных связей. Следовательно, оценка функции множественной когерентности [формула (9.190)] ха­ рактеризует долю спектральной плотности выхода (на частоте /), которую можно связать с существованием линейной связи в мо­ дели, изображенной на рис. 6.5. Аналогичные формулы и выводы применимы и к соответствующим функциям частной когерент­ ности (см. подразд. 5.4.2).

После нахождения оценок частотной характеристики системы со многими входами можно получить доверительные интервалы для истинных значений амплитудной | #,•(/) | и фазовой Фг (/) ча­ стотных характеристик для всех і — 1, 2 ....... q на дискретных значениях частот с индексами k = 0, 1, 2, ..., N — 1. В случае когерентных входных процессов доверительные интервалы опре­

деляют по формулам (6.150)—(6.153). Положив y*.x(f) = 0 для всех і = 1, 2 , ..., <7, можно использовать эти же формулы и для некогерентных входных процессов. Для системы с одним вход­ ным процессом доверительные интервалы получают при q — 1. Для нахождения всех этих интервалов необходимы сл едующие величины:

1) сглаженные оценки амплитудных частотных характеристик всех систем;

2 ) сглаженные оценки фазовых частотных характеристик всех систем;

3)сглаженные оценки спектральных плотностей всех входных процессов;

4)сглаженные оценки спектральной плотности процесса на выходе;

5)сглаженные оценки функции множественной когерентности, связывающей процесс на выходе и все процессы на входе;

6) сглаженные оценки функций множественной когерентности,

связывающих каждый процесс на входе со всеми остальными входами;

7) вычисленные или затабулированные значения процентных точек Д-распределения при заданных его параметрах. Найден­ ные доверительные интервалы обозначают индексами, соответст­ вующими тракту системы (і) и дискретному значению частоты (k). Блок-схема расчета функций, характеризующих линейную си­ стему со многими входами, приведена на рис. 9.17.

^Упражнения

1.Покажите, что в том случае, когда амплитудная частотна

характеристика | #(/)

| идеального фильтра,

изображенного

на

рис. 9.4, постоянна,

а фазовая частотная

характеристика

Ф(/)

25*

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности