Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1304 вуза, 5157 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов

.pdf
Скачиваний:
74
Добавлен:
25.10.2023
Размер:
16.48 Mб
Скачать
☆

368 Глава 9

в)

Пусть задана разрешающая способность

Ве = 25 Гц пр

fc =

500 Гц и Тг = 20 с. Найти величины h, in, N,

гг,

 

ft= -öT -= 1.0 мс,

 

 

 

*tc

'

 

 

 

1

-40

 

 

 

BJi

 

 

 

 

 

 

N -

Tr

2 0 0 0 ,

 

 

h

 

 

 

 

 

 

Ъг=

 

«0,14.

 

9.6.2.Вычисление спектральной плотности методом БПФ

Воспользуемся теперь алгоритмом быстрого преобразования Фурье, описанным в подразд. 9.3.2, для непосредственной оцен­ ки спектральных плотностей по исследуемым реализациям. В принципе расчет можно проводить по реализации произволь­ ного объема N, но, как правило, программы строятся для слу­ чая N = 2р. Поэтому для получения нужного числа ординат ис­ ходные реализации приходится либо укорачивать, либо допол­ нять нулями. Кроме того, по указанным в предыдущем разделе соображениям, желательно преобразовать исходную реализа­ цию, производя сглаживание либо во временной, либо в частот­ ной области; эта операция позволяет уменьшить просачивание энергии через большие боковые лепестки фильтра, используемого при получении несглаженной оценки спектральной плотности. Наконец, следует выбрать расчетные параметры таким образом, чтобы ошибка смещения и дисперсия оценок находились в задан­ ных пределах.

Для удобства выкладок в последующем принято, что реали­ зация х(і) задана в диапазоне (—7/2, 772), а не (0, 7). Тогда фор­ мулу (9.43) преобразования Фурье в конечном диапазоне можно рассматривать как формулу преобразования для бесконечного интервала задания реализации y(t), умноженной на прямоуголь­

ную функцию ит/2(0 . отличную от

нуля только на

интервале

(—Т/2 , 7/2):

со

 

 

Т/2

 

 

X (/, Т ) = ^ х (/) e~2nilt dt = ^ у it) ut/2 (t) er-Wf* dt,

(9.129)

- Т / 2

- с о

 

 

причем на интервале (—7/2,

7/2) функции y(t) и x(t) совпадают, и

f 0 при t <

—7/2,

 

urn ( 0 = 1

при —7/2 < t < 7/2,

(9.130)

[ 0

при t >

7/2.

 

Цифровые методы анализа

369

отличие от функции иХп(т), изображенной на рис. 9.9, прямо­ угольная функция UTß{t) имеет длину Т , а не 2тт . Ее преобразо­

вание Фурье

 

ѴтМП = Т

(9.131)

впервые обращается в нуль при f =

± 1 IT и представляет собой

эффективный несглаженный фильтр для оценок, полученных мето­ дом БПФ (рис. 9.12). Заметим, что для этого фильтра характерно большое просачивание энергии через боковые лепестки.

Уменьшение просачивания энергии. Чтобы получить для БПФ-оценки гладкую частотную характеристику, которая позволит уменьшить просачивание энергии, следует произвести

•сглаживание концов исходной реализации процесса. В работе [4] предлагается использовать для этой цели вместо функции (9.130) фильтр косинусоидальной формы, заданный на интервале, дли­ на которого на каждом конце реализации составляет 1 /1 0 длины ■реализации. Такое сглаживание косинусоидальной функцией изо­ бражено на рис. 9.13, а сама сглаживающая функция обозначена символом CTß(t). В результате этой операции дисперсия сглажен­ ной реализации становится меньше, чем дисперсия исходной реализации. Уменьшение дисперсии, выраженное через отноше­ ние площадей, ограниченных кривыми функций «г/г( 0 и стрЦ), составляет 1/0,875. При использовании функции Ст/г(0 на эту величину следует умножить оценки спектральной плотности сгла­ женного спектра, чтобы внести поправку на уменьшение дисперсии Ъ результате сглаживания.

Соответствующий сглаживающий фильтр для БПФ-оценок имеет приблизительно треугольную форму (рис. 9.14). Эту функ­ цию, обозначаемую символом C r ß ( f ) , можно найти путем преобра­ зования Фурье функции CTß(t), изображенной на рис. 9.13. Заме­ тим, что ширина главного лепестка функции C r ß ( f ) больше, чем у функции U T ß ( f ) (рис. 9.12). Кроме того, ширина полосы пропу­ скания этой функции по уровню половинной энергии составляет приблизительно В е = М Т , а через боковые лепестки происходит меньшее просачивание спектральной энергии, чем при использо­ вании фильтра UT ß i f ) •

Влияние добавления нулевы х точек. При оценивании ѵфункции X(f, Т) на дискретных частотах (9.46) частотный интер­ вал обычно составляет

4 < 9 - 1 3 2 >

Этот интервал равен расстоянию от нулевой частоты до первого перехода через нуль функции Urß(f). Когда ряд наблюдений до­ полняется некоторым числом нулевых точек, форма фильтра

Р и с . 9.12. Фильтр для оценок, полученных методом^БПФ.

c*<f)

Р]и с. 9.14. Сглаживающий фильтр для БПФ-оценок.

Цифровые методы анализа

371

tUrßif) не меняется.^Однако при расчете,спектральной плотности методом БПФ частотный интервал определяется суммарной дли­ ной реализации и поэтому

(9.133)

где^іѴ2 — число дополнительных нулевых точек. Так, например, при Nz — N частотный интервал уменьшается вдвое и при дан-

а

ö

Р и с. 9.15. Влияние добавления N нулей на разрешающую способность спектра.

а — исходная реализация, содержащая N членов; б — реализация, содержащая 2N чле* нов, в том числе N нулей.

ной длине реализации число оценок спектральной плотности %|ваивается. Подобный эффект иллюстрируется рис. 9.15. Однапри этом может усиливаться влияние боковых лепестков (на

рисунке не показаны).

Оценка спектральной плотности. Полученные в под-

разд. 3 .2 .3 результаты показывают, что первичная оценка спек-

372

Глава 9

тральной плотности для отдельной реализации x(t) на частоте имеет вид

Gx ( f ) = ~ \ X ( f , T ) I2.

(9.134)

Так как Т = Nh, то, согласно обозначению (9.45),

N - 1

X ( f ,T ) = h '£

*„ехр(—2я//лА).

(9.135)

п=0

 

 

На стандартных дискретных значениях частоты

 

fk = -J~ = l k '

/г = °> 1 .....N ~ U

(9Л36>'’

которые получают при использовании метода БПФ, коэффициен­ ты ряда Фурье определяются формулой (9.47):

Х , = А % 1 1 = 2 х пехр

(9.137)

л=0

 

Таким образом, как вытекает из соотношений (9.134) и (9.137), оценка спектральной плотности принимает вид

Gk=Gx (/*) = ■-А-1X (/*, 7)

IX, |».

(9.138)

Следует подчеркнуть, что, за исключением случая N = 2пг, диС* скретные значения частоты в формуле (9.136) не совпадают с частотами, которые фигурируют в формуле (9.112). Это означает, что при одинаковых значениях /г формулы (9.138) и (9.113) в об­ щем случае определяют оценки спектральной плотности на раз­ личных частотах.

Этапы расчета. Оценивание спектральной плотности мето­ дом БПФ рекомендуется проводить, используя следующую по­ следовательность вычислений. Предположим, что исходный ряд наблюденных значений хп имеет произвольную длину N.

1. Ряд наблюденных значений следует либо сократить, либо добавить нулевые точки с тем, чтобы удовлетворить равенству

N = 2р.

2. Полученную последовательность сгладить на концах с по­ мощью изображенной на рис. 9.13 косинусоидальной или другой

подходящей

сглаживающей

функции.

^

...,

3.

Вычислить'величины

X k [формула (9.137)] для k = 0,

1?,..

N — 1,

применяя БПФ

[формула (9.75)].

 

 

4.

Вычислить по формуле (9.138) оценки Gk для k = 0,

1,...

....

N

- 1.

 

 

 

Цифровые методы анализа

373

1 5. Ввести в эти оценки масштабный множитель, чтобы учестьсглаживание последовательности на концах. Если, например,, используется косинусоидальная сглаживающая функция,

(рис. 9.13), то вместо оценок Gk следует взять величины.

(1/0,875) Gk.

Эти исправленные величины и есть первичные оценки спект­ ральной плотности при Ве = \/Т, и они подчиняются, очевидно, распределению х3 с 2 степенями свободы. Для получения окон­ чательных сглаженных оценок, обладающих меньшей статисти­ ческой изменчивостью и пригодных для практического исполь­ зования, следует произвести дальнейшее сглаживание.

Сглаживание по частотам. Если найденный спектр'

близок к спектру ограниченного по частоте белого шума, то его> оценки на частотах, разделенных промежутками 1 !Тп будут в. сущности некоррелированными. Поэтому если осреднить пер­ вичные оценки спектральной плотности на I смежных частотах, то полученная таким образом окончательная сглаженная оценка,

спектральной плотности Gk, где вместо значка ~

используется

значок А , запишется в виде

 

 

öfe=— (Gfe +

GÉ+1+ • •• +Gk+l_i).

(9.139)-

Как вытекает из теоремы о распределении суммы независимых

случайных величин, оценка Gk подчиняется распределению х2 примерно с п = 21 степенями свободы. Таким образом, эффек­ тивная разрешающая способность оценки составляет теперьприблизительно В'е = 1Ве, гдеВе = \/Тг. Следовательно, при опи­ санном выше способе сглаживания по частотам

 

=іве= 4 - ,

 

 

(9.140)

 

■■2В'еТ=21.

 

 

(9.141)

 

ошибка

 

 

 

е = -

B'eTr У

1

■

(9.142).

 

 

В том случае, когда фильтр для полосы Ве имеет треугольную форму, фильтр для полосы В'е принимает после сглаживания тра­

пецеидальную форму (рис. 9.16). Можно считать, что оценка G^ Относится к центральной точке интервала частот с границами tiJk+1-v Общее число таких возможных оценок составляет N/1.

Осреднение по от резкам реализации. Второй способ заключается в осреднении оценок спектральной плотности, полу­ ченных по отдельным отрезкам реализации длиной Т'г каждый

374

Глава 9

(общая длина реализации Tr = qT'r). Окончательная сглаженная^ оценка спектральной плотности имеет вид

Gk=— (Ga,i + G*,2 + • *'

>?),

(9.143)

где Gk>q — первичная оценка спектральной

плотности

на часто­

те /А, полученная по q-му отрезку реализации. Величина Gk подчи­ няется распределению х2 примерно с 2q степенями свободы. Эф-

Исходное треугольное

Р и с. 9.16. Форма фильтра до и после сглаживания по частоте.

фективная разрешающая способность составляет приблизитель-

.но ІІТ'г. Итак, при осреднении по отдельным отрезкам

 

(9.144)

n=2B"eT = 2 q ,

(9.145)

z = V \ f q .

(9.146)

Фильтр, соответствующий полосе пропускания В"е, имеет тре­ угольную форму, как и фильтр, изображенный на рис. 9.14, одна­ ко в результате замены величины ± \ / Т г на ±q/Tr ширина его • полосы возрастает. Форма этого фильтра для каждого из от­ резков такая же, как и для среднего, полученного по q от­ резкам, поскольку при осреднении по отрезкам величина Т'

не меняется. Оценку Ьк можно отнести к центральной точке частот­ ного интервала В"е. Общее число оценок такого рода составляет

Nlq.

Для того чтобы можно было применить описанный способ осреднения в алгоритме Кули и Тьюки, необходима выборка об* щим объемом N = q-2P. Таким образом, длина каждого участка составляет 2 р . Ч и с л о q не обязательно должно быть равно цело£ степени числа'2. Если для доведения объема выборки до числа N необходимо добавить некоторое число нулей, то для того, чтобы обеспечить прежнее число степеней свободы для каждого из этих

Цифровые методы анализа

375

отрезков, к каждому из них следует добавить соответствующее число нулевых точек.

Комбинированный способ осреднения. При исполь­ зовании этого способа (осреднение и по частотам, и по отрез­ кам) окончательная эффективная разрешающая способность рав­ на примерно

(9.147)

а полученная таким путем оценка Gk подчиняется распределению X2 с числом степеней свободы

n=2B"e'Tr= 2lq.

(9.148)

Нормированная стандартная ошибка этой оценки

(9.149)

Коэффициент ускорения вычислений. Для получе­ ния оценок спектральной плотности в дискретном числе точек по отдельной реализации через автокорреляционную функцию (см. подразд. 9.6.1) необходимо выполнить Nm операций умножения и сложения, чем и определяется продолжительность вычислений. Значительная часть времени уходит при этом на вычисление авто­

корреляционной функции, а время, затрачиваемое на ее преобра­ зование Фурье, невелико, потому что максимальный сдвиг обыч­

но мал по сравнению с длиной реализации.

При получении оценок спектральной плотности в дискретном числе точек по отдельной реализации методом БПФ (см. под­ разд. 9.6.2) продолжительность вычислений определяется главным, образом затратами времени на вычисление преобразований Фурье, для чего необходимо выполнить 4Np операций умножения и сло­ жения действительных чисел. Следовательно, коэффициент уско­ рения вычислений при оценке спектральной плотности методом БПФ по сравнению с обычным способом составляет приблизи­ тельно

 

к.у.в

Nm

т

(9.150)

 

4Np

4/Г'

 

 

 

Цели, например,

N = 213 = 8192 и т = 0,lN — 819, то коэффи­

циент ускорения

вычислений будет

равен 819/52 ^ 16.

 

Пример 9.5. Расчет параметров, входящих в формулу для

вычисления спектральной плотности методом БПФ.

а) Пусть при вычислении оценки спектральной плотност (9.139), т. е. путем сглаживания по частотам, желательно, чтобы

■376

 

Глава 9

гг — 0,10 при N = 5000, fc =

2000 Гц. Определим числовые зна-^

чения параметров /г, I,

Тг и В'е.

 

h = 4 ~ = 0 ,2 b мс,

/ = - і - = 1 0 0 ,

*ІС

 

 

ьг

T = N h =

1,25 с,

 

В'е= -^—— 80 Гц.

 

 

 

* Г

б) Пусть при вычислении оценки спектральной плотно >(9.143), т. е. путем сглаживания по отдельным отрезкам, жела­ тельно, чтобы разрешающая способность В"е = 50 Гц при fc — = 10 000 Гц и гг — 0,20. Определим числовые значения парамет­ ров h, q, Tr и N.

h = -%£ =0,05 мс,

q = - ^ -= 25,

T = JL- = 0,50 c,

N

= 10 000.

-9.7. Расчеты для двух реализаций

 

В последующих выкладках

предполагается, что реализации

■u(t) и v(t) принадлежат стационарным11 случайным процессам и

заданы на конечном интервале времени / 0 <

t < tQ+ Тг, где

i 0 — произвольное начало отсчета (в частности,

например, нуль).

Пусть интервал дискретности Аt — h и, следовательно, частота

среза fc = 1/2h. Реализации u(t)

и u(t) представлены дискретны-/-

ми

последовательностями

 

 

 

 

 

ип =

“ 0‘о + пЛ),

п = \,

2 ,..., N,

(9.151)

 

 

v„=v(t0 + nh),

T = N h .

 

 

 

Прежде всего рассчитываются средние значения

 

 

 

 

N

 

N

 

 

 

 

п=»1

 

л=-1

(9.152)

 

 

 

 

 

я затем

производится центрирование

 

 

 

 

хп = ип

и, Уп~ѵп

V, П'=1, 2,...,N ,

(9.153)

так

что

полученные последовательности

соответствуют

новым

реализациям x(t) = u(t) — и и y(t) = v(t) — ѵ с нулевыми сре£г ними значениями. Если реализации содержат тренд, то его сле­ дует исключить одним из методов, описанных в подразд. 9.1.3.

И стационарно связанным.— Прим, перев.

Цифровые методы анализа

377

9.7.1. Совместная плотность распределения

Как следует из соотношения (6.61), оценку совместной плот­ ности распределения двух стационарных реализаций х(і) и y(t)> можно найти по дискретным выборкам из этих реализаций в виде-

=

(9 Л 5 4 )‘

где Wx и Wy — узкие интервалы с центральными значениями х- и у соответственно, а Nxy— число пар отсчетов, которые одновре­

менно попадают в эти интервалы. Таким образом, оценку р(х, у) получают следующим образом. Прежде всего разбивают диапазо­ ны изменения переменных х и у на разряды равной ширины, обра­ зующие в совокупности таблицу с двумя входами. Затем подсчи­ тывают число точек, попадающих в каждую клетку таблицы, и. это число делят на площадь клетки WxWe и объем выборки N. Машинная программа для рассортировки данных по соответст­ вующим клеткам аналогична программе, используемой для полу­ чения оценок плотности распределения (см. разд. 9.4).

9.7.2. Взаимные корреляционные функции

Оценки взаимных корреляционных функций, так же как ц оценки автокорреляционных функций, могут быть получены двумя основными способами: непосредственным вычислением и с исполь- ( зованием БПФ. Ниже рассмотрены оба этих способа.

5 Непосредственное вычисление. Несмещенные оценки взаимных корреляционных функций при шагах г = 0 , 1 , 2 , ..., т находятся в виде

N—r

Rxy(fh) ==yy_у

^пУп+г’

(9.155).

П—\

 

N—г

 

Ryx(rh)— л __у S

УпХп-+г■

(9.156).

п—I

Заметим, что взаимные корреляционные функции Rxy(rh) и Ryx(rh) различаются порядком сомножителей хп и уп. Иногда при N > т вместо делителя (N — г) в формулах (9.155) и (9.156) удобнее Пользоваться делителем N, как в формуле (9.98).

Выборочную взаимную корреляционную функцию Rxy(rh) мож­ но нормировать так, что значения ее будут находиться между — 1

и + 1 , для чего нужно разделить ее на величину V X (Ö ) V r v(0).

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности