книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов

3)по уравнению (9.138) вычисляются первичные оценки спек­ тральной плотности Gk, k = 0, 1, ..., 2N — 1;

4)находится обратное БПФ последовательности Gk, и значе­

ния Rr, г = 0 , 1 , ..., 2 ІѴ|— 1 , определяются умножением полу­ ченных в результате обратного преобразования величин на мас-

Р и с . 9.8. Влияние добавления ]N нулей на циклическую корреляцион­ ную функцию.

штабный множитель N/(N — г), необходимость введения которого1^ видна из формулы (9.103).

5) отбрасывается вторая половина Rr, чтобы получить резу таты для г = 0, 1, ..., N — 1.

9.6. Спектральная плотность

При численной оценке спектральной плотности стационарного процесса чаще всего применяются два метода: 1) стандартный метод (метод Блэкмана и Тьюки), при использовании которого спектральная плотность выражается через преобразование Фурье автокорреляционной функции, 2 ) метод прямого преобразования Фурье (метод Кули и Тьюки), который предполагает расчет спект­ ральной плотности прямым преобразованием Фурье исходной реализации с использованием алгоритма БПФ. Хотя с точ#я зрения эффективности расчетов предпочтительно непосредственно использовать преобразование Фурье, иногда применяется и бо­ лее традиционный стандартный метод. Поэтому для полноты изг ложения здесь описан и этот прием.

360 Глава §

называется спектральным окном. Спектральное окно UXm{f) есть' четная функция частоты /, и поэтому на рис. 9.10 функция UXm(f) изображена лишь при неотрицательных значениях частоты.

чТ (г)

€т

Р и с . 9.9. Прямоугольная функция иХт (т).

Первичная оценка Gx(f) есть свертка истинной спектральной плотности Gx(f) со спектральным окном UXm(f). В общем роль сверт­

ки при расчете оценки Gx(f0) на частоте / 0 сводится к смещению главного максимума спектрального окна на эту частоту, умноже­ нию истинной спектральной плотности на такое смещенное спек­ тральное окно и интегрированию произведения по всем частотам;

Таким образом, использование прямоугольной весовой функции ведет к просачиванию энергии за счет расширения главного ле­ пестка истинной спектральной плотности и добавления бесконеч­ ного числа сравнительно малых боковых лепестков, возникающих в результате усечения прямоугольной функции в точке тт1). Поло­ вина этих боковых лепестков отрицательна. Отсюда возникает возможность получения ошибочной, отрицательной оценки спект­ ральной плотности (в особенности если учесть, что экстремальные

^ Этому эффекту можно дать следующее простое объяснение. Выражен­ ная формулой (9.110) оценка спектральной плотности на частоте /0 содержит, помимо истинного значения спектральной плотности на этой частоте, вкл^ьд от всех других частот, причем величина этого вклада определяется значения­

представляет собой дельта-функцию и оценка Gx(f0) совпадает с истинной спектральной плотностью Gx(ft) на частоте f0.— Прим, перев.

^Другой, эквивалентный способ получения оценок (9.115) заклю­ чается в использовании корреляционной весовой функции Ханна

получается формула для сглаженных оценок спектральной плот­

ir-ц

причем величины Rr определены уравнениями (9.95) или (9.98).

Когда основная задача состоит в расчете частотных характе-- ристик и соответствующих функций когерентности, имеет смысл иногда внести некоторые изменения в приведенные выше форму­ лы. В частности, в некоторых случаях может оказаться полезным сглаживание корреляционной функции весовой функцией Парзена. Эта корреляционная весовая функция имеет вид

т

Т •

(9.118)

Обозначение весовой функции символом D'r используется только для того, чтобы отличить формулы (9.116) и (9.118). Заметим, что Do = 1 и D'm = 0. Использование функции Парзена позволяет получать не противоречащие теории выборочные оценки функции, когерентности, лежащие в интервале [0 , 1], что не всегда бывает при использовании функции Ханна, которая дает оценки функ­ ции когерентности, лежащие в более широком интервале, зави­ сящем от вида энергетического спектра. Окончательная формула, для сглаженной оценки спектральной плотности гармоники по­ рядка k имеет такой же вид, как и формула (9.117):

Здесь величины D'r определяются формулой (9.118).

В заключение этих рассуждений об уменьшении просачивания энергии рассмотрим вновь корреляционную весовую функцию' Ханна, переписав формулу (9.116) в виде, удобном для сопостав­ ления с двусторонней прямоугольной функцией иХт(т), представ­

ленной формулой (9.108). Если принять для положительных и отрицательных значений т обозначения т = rh и %т — mh, то функция DT примет вид

0 при т < —т„

О при т >

Ее преобразование Фурье есть спектральная весовая функции Ханна

2т„ + т Ч (/) + т М / + -5Ь)'(9Л21>

Заметим, что коэффициенты Ѵ4, Ѵ2, Ѵ4 те же, что и в формулах (9.115). Правая часть равенства (9.121) есть сумма трех функций типа sin/// [см. формулу (9.109)]. Как видно из рис. 9.11, спек-

Р и с. 9.11. Сопоставление функций Uxm(f) и Dxm(f).

тральная весовая функция Ханна DXm(f) дает значительно мень­ шее просачивание энергии, чем функция Uxm{f). Можно произвести аналогичное сопоставление спектральных весовых функций Хан­ на и Парзена.

Некоторые соображения о выборе параметров. Ниже приводятся соотношения между различными параметрами, исполь­ зуемыми при расчете оценок спектральной плотности через оценки автокорреляционной функции. Даны правила, которыми следует руководствоваться при выборе интервала дискретности h, объема выборки N и других параметров для того, чтобы результаты вы­ числений были статистически эквивалентны соответствующим

где /с — частота Найквиста [формула (9.1)] и /d < /с — наиболее высокая частота, присутствие которой возможно в анализируе­ мом процессе. Как уже указывалось в подразд. 7.3.1, наилучший

366 Глава 9

способ исключения колебаний с более высокими частотами, чем fd, заключается в низкочастотной фильтрации исходной реали­ зации с непрерывным временем (т. е. до ее представления в ди­ скретной форме), причем частота среза фильтра выбирается рав­ ной fd. Установив таким образом верхнюю границу частотного диапазона fd, следует, согласно формуле (9.122), выбрать интервал дискретности h таким образом, чтобы частота Найквиста /с была несколько больше частоты fd. Здесь представляют интерес два случая. Если'задача состоит только в оценке автокорреляцион­ ных функций, то нужно положить /с = 2 fd, что соответствует ин­ тервалу дискретности h = 1/4 /dx). Если же конечной целью яв­ ляется оценка спектральной плотности, то достаточно выбрать интервал дискретности h = 2/5 fd. Понятно, что из соображений экономии желательно принимать интервал дискретности по воз­ можности более близким к 1 /2 fd.

Число шагов для корреляционной функции. Выберем макси­ мальное число шагов т для корреляционной функции таким об­ разом, что

Таким образом, при постоянном h величина Ве будет уменьшаться с ростом т.

Объем выборки N и длина реализации Тг. Примем объем выбор­

') Трудно согласиться с тем, что для получения точной оценки корре­ ляционной функции по алгоритму дискретного умножения следует выбирать шаг измерения h = 1/4fd (fa — верхняя граничная частота). При таком шаге

погрешность определения функции корреляции может получаться весьма значительной. Как показывают исследования, для получения приемлемых величин погрешности аппроксимации необходимо выполнение условия h — 1/(7—10)/d. В то же время для уменьшения избыточности вычислитель- .

ных операций во многих случаях можно определять ординату "функции ■ корреляции, соответствующую аргументу т = ііі, как среднее значение произ­

ведений пар выборок, сдвинутых относительно друг друга на время т = і/і, устанавливая при этом интервалы между соседними парами выборок зна­ чительно большими ііі. — Прим. Г. Я. Мирского.