книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов
.pdf
348 Глава 9
получим
К (ft., f t * ... , |
r p ~ l |
|
. 71(*oV.«.) (^ |
|
- |
7 |
X |
|
ftp_ x ) = 2. |
|
|||||||
|
no»=0 |
|
|
|
|
|
|
|
X |
(ft0,''fti,...,"ftj |
■ |
j |
y |
X. . . X |
|
|
|
/il=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
____ |
kinp.tN j |
^ |
|
|
|
|
|
x ^ r ( f t 0) ^ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
'l—i |
|
|
|
крПр-iN |
|
(9.66) |
||
X £ |
x (no>Лі.....nM ' V i ) ^ |
|
||||||
. ''I |
)• |
|
||||||
|
|
|||||||
Таким образом, согласно формуле"(9.66), искомое преобразова ние Фурье может быть построено за р итераций. Теперь следует остановиться на этом итеративном методе более подробно.
Рассмотрим последнюю, внутреннюю сумму в формуле (9.66). Пусть
г 1 -1 |
Пр_2, ^р_і) ^ ^ k0np_xN l.(9.67) |
р4і (ft., П., rZj,..., Лр_2) -- (л0, |
п р - і “ °
Имея в виду все возможные значения, которые~могут принимать величины /г0, «і, ..., лр_4, найдем, что уравнение (9.67) дает N!rx преобразований Фурье функции х(пр_1), каждое из которых тре бует г\ операций. Рассмотрим теперь следующую внутреннюю сум му в формуле (9.66). Пусть
А%ІК К ,п0,пг,...,пр_3) = |
|
Г2—1 |
А. |
= 2 л (ft0, п0, nlf..., Пр_2) Г (ft0) ^ |
(9.68) |
Тогда, имея в виду все возможные значения, которые могут при-^ нимать величины ft„, /г„, пх, ..., лр_3, найдем, что уравнение (9.68-I"'- дает Nlrt преобразований Фурье фѵнкиии x(np_j, каждое из ко-
Цифровые методы анализа |
349 |
вторых требует г! операций. |
Продолжая эти рассуждения до ѵ-го |
|||
шага, где ѵ = |
2 , 3, |
р — |
1, положим |
|
АЧ 0>^1»*•*» |
1»П0’ |
>ftp—V—l)-- |
|
|
|
|
|
п0, пѵ., пр-ч) X |
|
|
|
|
■) xW (' К -\ 'Ѵ-ѵ |
(9.69) |
; И опять, имея в виду все возможные значения, которые могут принимать величины kn, k lt ..., kv_2, n0, пи ..., np_v_lt получим Nlrv преобразований Фурье функции х(пр_ѵ), каждое из которых требует г% операций. На последнем шаге формула (9.66) дает
е д , |
^p_i)—Ар {k§, |
kp_i) • |
|
|
rp~ 1 |
|
|
|
== Ap-\ (^o> |
kp-2> no) T (^o’ |
^р-г) X |
|
no=0 |
|
|
|
|
X № |
(9.70) |
откуда, |
имея в виду все возможные значения |
величин k 0, k u ... |
|
..., kp_o, получаем N/rp преобразований Фурье функции х(п0), каждое из которых требует г%операций. Последовательность дей ствий, определенная равенствами (9.67)—(9.70), приводит к ре зультату, постулированному в (9.53), причем комплексные числа теперь заменены действительными.
Выражение (9.69) и есть алгоритм быстрого преобразования Фурье; оно служит основой для различных численных методов расчета преобразования Фурье, рассмотренных, в частности, в
работах [3, 4, 8 , 17, 19].
9.3.3. Метод Кули и Тьюки
Описанный в работе [8 ] метод Кули и Тьюки представляет со бой вариант алгоритма (9.69); этот метод особенно удобен для реализации на ЦВМ с двоичной системой счисления. В част ности, он применим в случаях, когда число анализируемых орди нат
^ |
N = 2р, где р —целое число. |
(9.71) |
Чтобы удовлетворить этому требованию, можно при необходи мости дополнить последовательность нужным числом нулей. Определяющая итеративную процедуру формула (9.66) содержит
Цифровые методы анализа |
351 |
К
ѵ-ом шаге (при ѵ = 2, 3, р — 1) уравнение (9.69) запи шется следующим образом:
(^о> |
к ѵ-і> |
п 0, /І і,..., Пр _ ѵ ..і) = |
|
|
1 |
А ѵ - 1 ( / г 0 . |
* V _ 2 > « 0 . П Ь — >П Р-У>) Х |
|
= 2 |
||
|
л р - ѵ = ° |
|
|
|
|
X Т (£ „ , |
/гѵ_2) exp ( — /я/?ѵ_і/Ѵѵ). (9.78) |
Это и есть алгоритм быстрого преобразования Фурье по Кули и Тыоки. Последняя итерация [уравнение (9.70)J, принимающая
;вид
X (*о> *і.....Ѵ і ) = Лр(/го. fti.-. Ѵ і ) =
= |
.....Ѵ И о ) X |
п0=0 |
|
X Т (/г0, |
/гр_2) exp (—/ я ^ / д , (9.79) |
завершает последовательность действий для этого частного слу чая. Более подробное обсуждение метода содержится в работах
[3, 4, 8 , 17, 19J.
^.3.4. Некоторые другие важные формулы
Если даны две действительные реализации х(гі) и у(п), то их преобразование Фурье можно вычислять одновременно, прирав няв одну реализацию действительной, а другую — мнимой частям некоторой комплексной реализации
|
z(n)—x(n) + jy(n), |
n=Q,l,..:,N— 1. |
(9.80) |
||
Согласно |
формуле (9.47), |
преобразование Фурье функции z(n) |
|||
имеет вид |
|
|
|
||
N - |
1 |
2Ttkn |
|
|
|
* 2 (*) = 2 |
[X (гг) + іу (гг)] ехр |
, Ä = 0 ,l,2 ,...,tf — 1, |
(9.81) |
||
—/ ~N |
|||||
п—0
сможет быть рассчитано по алгоритму БПФ. В уравнениях (9.80) и7І'(9.81) обычно предполагается, что N ординатам реализаций х(п) и у(п) соответствует N значений частот, отстоящих друг от
;друга на величину МТ. При этом частоте Найквиста соответствует значение k = N12. Поэтому при N четном однозначные резуль-
352 Глава 9
тэты получаются только для значений k |
— 0 , 1 , 2 , .... |
{N12) — I f |
||||||||
Для получения |
функций |
Х(к) |
и |
Y{k) |
заметим, |
что |
|
|||
|
2-л г/Ѵ — k) |
= |
exp |
. |
2mk |
|
(9.82) |
|||
ехр / |
N |
|
} |
N |
|
|||||
поскольку expt/27tn] = 1 |
при любых л. Следовательно, |
комплеко |
||||||||
но-сопряженная |
фу нкция |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
N- |
1 |
|
|
|
|
; 2TZtlk |
(9.83) |
||
z* (N —/г ) = ^ |
[ X (п) — І У (л)] ехр |
1 ~N~ |
||||||||
|
ПвоО |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из равенств (9.81) и (9.83) следует, |
что |
|
|
|
|
|||||
|
|
N - |
1 |
|
|
|
2ü.nk |
|
|
|
Z (k) -f Z* (N—k)=2 |
X(п) exp |
|
= 2X(k), |
|||||||
|
|
л*=0 |
|
|
|
~N |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
N — 1 |
|
|
|
2Ttnk |
|
|
||
Z (k) —Z* (N —k) = 2/ ^ |
|
|
|
|
= 2jY(k). |
|||||
у (л) exp — i ~N~~ |
||||||||||
|
|
л = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
преобразования Фурье Х{к) и Y{k) двух действи |
|||||||||
тельных реализаций х(п) |
и у{п) |
имеют вид |
|
|
|
|||||
Х(к) |
Z (k) + Z*(N — k) |
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
k —0,1,..., N — 1. |
(9.84) |
|||||
|
|
|
|
|||||||
Y (к) |
Z {k)— Z* (N— k) |
|||||||||
|
|
|
|
гг |
||||||
|
2/ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В заключение этого подраздела рассмотрим вычисление обрат ного преобразования Фурье. Согласно формуле (9.42), обратное преобразование Фурье функции X(f) есть
СО |
|
х ( /) = |х ( /) е а д м / . |
(9.85)' |
— СО
Отсюда следует формула дискретного обратного преобразования Фурье
N - |
1 |
2nknN -j, п = 0,1,2,..., N — 1, |
|
л»= і г Е |
х *ехр |
(9.86) |
k=o
в которую входят компоненты Фурье Xk [уравнение (9.47)], вычисляемые при помощи БПФ. В равенстве (9.86) постоянная 1/N есть просто масштабный коэффициент. Это обратное преобра зование Фурье может быть выполнено при помощи того же алго ритма БПФ путем взаимной подстановки хп и Хк и замены W{kn) на W{—kn) и к на л.
354 |
Глава 9 |
В результате N значений последовательности {я} будут отсорти рованы таким образом, что последовательность чисел {Л^г} будет удовлетворять условию
•К-И |
|
^ = 2 ^ , . |
(9.91) |
г~о |
|
Один из способов выполнения этой сортировки на ЦВМ состоит
в рассмотрении последовательных значений хп, п = 1, 2 , |
N, |
|||||
следующим |
образом: |
|
N0. |
|
||
1. |
Если |
хп < |
а, то прибавить единицу к |
Затем |
||
2. |
Если |
а < |
л' < Ь, то вычислить |
I = |
(хп — a)/W. |
|
выбрать і как наибольшее целое число, |
меньшее или равное /, |
|||||
и прибавить единицу к Nt. |
|
|
|
|||
3. |
Если хп > |
Ь, прибавить единицу к Nk+1. |
|
|||
. Можно пользоваться четырьмя различными итоговыми фор мами последовательности (Мг). Первая форма представляет со бой гистограмму, т. е. просто последовательность {Мг} без вся ких изменений. Вторая форма — выборочные процентные значе
ния процесса в каждом разряде, определяемые для |
/ = 0 , 1, 2 , |
|
..., К + 1 в виде |
|
|
А = Р [^ _ х < * < |
= 4 - . |
(9.92) |
Третья форма — последовательность выборочных значений плот
ности распределения |
{рг}, |
определенных |
для |
середин |
каждогр. |
||||||||||
из К разрядов |
интервала |
[а, |
Ь\ |
|
в виде |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Л = - |
|
Г |
|
- |
|
= |
|
- |
Т |
- |
(9.93) |
|
Четвертая |
форма — последовательность |
выборочных |
|
значений |
|||||||||||
функции распределения |
{Pj}, определенных для концевых точек |
||||||||||||||
разрядов в |
виде |
< |
|
i2 |
|
= |
|
2 |
|
|
|
|
^ |
||
р |
( 0 = Р I — 1 < |
X |
d t] = |
P j |
w |
P j, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
-o |
|
|
f-o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ -0 ,l,2 ,...,iC + l.- |
|
‘ (9.94) |
|||
9.5. Автокорреляционная функция
У-
В этом разделе будут рассмотрены два метода оценивания авто корреляционной функции. Первый, стандартный метод заклю чается в нахождении оценки корреляционной функции путемнепосредственного вычисления среднего значения произведения
356 Глава у
корреляционная функция находится делением значений |
Rr на |
Rq, где |
|
N |
|
R0 = Rx ( 0 ) = 1 J W = *2- |
(9.99) |
П=1 |
|
Заметим, что величина R 0 есть не что иное, как оценка истинного ■среднего значения квадрата рассматриваемого процесса. Величи на R 0 связана с выборочной дисперсией s2 соотношением
R0= |
^ ± s \ |
(9.100) |
Таким образом, при больших |
N разностьмежду величинами R 0 |
|
И s2 пренебрежимо мала. Для нормированной корреляционной функции Rr/R0 теоретически справедливо неравенство
— 1 < - 4 - < 1. (9.Г01)
Ro
9.5.2. Оценка автокорреляционной функции методом быстрого преобразования Фурье
Косвенный метод оценивания автокорреляционной функции заключается в вычислении при помощи быстрого преобразования Фурье оценки спектральной плотности и построении ее обрат-' ного преобразования Фурье. Процедура быстрого преобразова ния Фурье используется дважды: для расчета оценок спектраль ной плотности и корреляционной функции, и поэтому в зависи мости от величины максимального шага такой метод может ока заться более эффективным, чем непосредственный расчет. В част ности, непосредственное вычисление т оценок автокорреляцион ной функции по формуле (9.95) требует выполнения примерно Nm операций умножения и сложения действительных чисел. Если же N = 2р, т о косвенный метод с использованием БПФ поз воляет произвести этот расчет за 8Np операций. Следовательно, коэффициент ускорения вычислений
|
|
к.у■В’ |
__ Nm |
т |
(9.102). |
|
|
~ЩГ |
~8р~" |
||
Например, |
при |
N = 213 = |
8192 и |
т = 0,Ш |
= 819 получаем |
8 р = 104, |
т. е. |
использование БПФ |
позволяет |
ускорить расчет |
|
примерно в 8 раз. |
|
плотности |
методом БПФ с |
||
Вычисление оценок спектральной |
|||||
последующим нахождением оценок корреляционных функций при
Цифровые методы анализа |
357 |
помощи обратного БПФ рассмотрено в подразд. 9.6.2. Однако при использовании такого косвенного метода следует проявлять известную осторожность. Оказывается, что при этом мы получаем не обычную, а «циклическую» оценку корреляционной функции
RcA r h ) |
= ^ - {Rx (rh) + Rx [ (N - l- r )h } ), |
(9.103) |
|
где величина Rx(rh) |
определена формулой (9.95) и |
|
|
Rx [ ( N - l - r ) h ] = R x (rh), |
г — 0,1,2,..., т. |
(9.104) |
|
Обе части уравнения (9.103) иллюстрируются рисунком 9.7. На практике для быстро затухающих корреляционных функций
от
Р и с. 9.7. Пример циклической корреляционной функции.
этот эффект несуществен, если только т меньше, скажем, 0 ,2 N. Во всяком случае, этого осложнения можно избежать, дополняя исходные значения нулями. В результате этого происходит разъединение обеих частей циклической оценки корреляционной функции. В частности, если добавлено N нулей, то происходит
" .полное разделение |
(рис. 9.8). Этот вопрос рассмотрен детально |
||
в |
работе |
[47]. |
расчет автокорреляционной функции при |
. |
Таким |
образом, |
|
йэмощи БПФ требует выполнения следующих операций (предпо лагается, что размер выборки N = 2р):
1) исходная последовательность хп, п = 0, 1, 2, ..., N — дополняется N нулями, в результате чего новая последователь ность хп содержит 2 N членов;