Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

16.48 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 4735 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 > Следующая >>>

338

Глава 9

всплеске амплитудной частотной характеристики вблизи частой ты среза. На этом пример 9.1 заканчивается.

Известны и другие типы нерекурсивных фильтров (см., на пример, [381), для которых ошибки усечения уменьшены за счет сравнительно более медленного, чем в функции (9.26), измене ния частотной характеристики от нуля к единице. Применение этих фильтров связано с введением довольно большого числа весо вых коэффициентов. Рассмотренные в следующем подразделе рекурсивные фильтры позволяют получить удовлетворительные результаты при очень малом числе весов.

9.2.2. Рекурсивные цифровые фильтры

Рекурсивным называется цифровой'фильтр, для которого значение процесса на выходе определяется не только конечным числом значений входного процесса, но также и предшествую-

Р и с. 9.6. Схема простого рекурсивного фильтра.

щими величинами выходного процесса. В технике такое свойство называется обратной связью. Простейшее выражение рекурсив ного фильтра имеет вид

м
y,i = cxn+ J ] h kyn_k,	(9.28)

А=1

т. е. фильтр использует М значений выходного процесса и только одно — входного. В более общем случае число значений выход ного процесса не меняется, а число значений входного процесса возрастает. Уравнение (9.28) иллюстрируется рис. 9.6, где тре-. угольники обозначают операцию умножения на соответствующие величины, прямоугольники — задержку по времени на At между смежными точками и, наконец, окружность соответствует опера ции суммирования. ^

Преобразование Фурье равенства (9.28) дает

Y (П= сХ (/) + У (/) 2 hke-2nmt,	(9.29)
* ft=i

).еЛ		Цифровые	методы анализа		339
	ричем сумма	содержит	многочлен	по степеням	экспоненты

ехр [• —2іт//ДЛ.		Обозначая	последнее	выражение	символом z,

можно воспользоваться для изучения свойств цифровых фильтров

теорией z -преобразований11.			Как следует из формулы (9.29), ча
стотная характеристика		всей ристемы		имеет вид
	Я (Я =	Т Т 7 Г = ------- і Н		--------------■		(9-30)
			1 _ 2	кке-**ПШ
			/г=1
»Таким образом,	изучение		свойств	частотной	характеристики
?#(/) сводится к	определению положения и характера					полюсов
в знаменателе последнего выражения.					цифровой фильтр.
Пример 9.2.	Рекурсивный низкочастотный
Рассмотрим в качестве примера рекурсивный					цифровой фильтр
	Уп= (1 —а) хп+ ауп_ъ					(9.31)

где а = ’ехр(—АHRC). В непрерывном случае это выражение эквивалентно низкочастотному КС-фильтру. Чтобы убедиться в этом, заметим, что, согласно формуле (9.30),

(9-32)

Здесь квадрат амплитудной частотной характеристики

^ І Ж Я І г ? ! 2 „ д г (9-33)

Отметим, что если RC Аt, то а — ехр(—АtlRC) ^ 1—(Аt/RC)

и (1—а) Аt/RC.		Если, кроме того, 2-к/Аі <g				1, то справедливо
приближенное равенство е~-лУл‘ ~					1 — 2тс//ДС	В этом случае
		Н У) ~	1	+	2TtjfRC
и
j		\ H (f) l ' ~	I	+	(2тzfRC)*'
I	соответствует	обычному низкочастотному КС-фильтру. На
W o	соответствует	обычному низкочастотному КС-фильтру. На
этом	пример 9.2	заканчивается.

Синтез рекурсивных цифровых фильтров, дающих хорошее приближение к фильтрам Баттеруорта, может быть выполнен при помощи форм>лы (9.30) путем нахождения последовательности

Более подробно о z-преобразованиях при изучении свойств случайных процессов см., например, в монографии Г. Дженкинса и Д. Уоттса «Спектраль ный анализ и его применение», изд-во «Мир», т. 1, 1971.— Прим, перев.

22*

340 Глава 9

весов \hk] и коэффициента с, таких, что соответствующая им ве личина I H(f) I2 ймеет вид

(9.34)

Заметим, что при / = 0 значение | Я(/) |2 = 1, а при / = /„ квад рат модуля частотной характеристики равен 1/2. На частоте Найк

виста / =	(1/2А/) величина	\| / / ( ) ) \| 2 при больших	М стремится к
единице.	Таким образом, в	интервале [0, (1/2Л/)],	наиболее важ

ном в дискретном случае, фильтр, описываемый уравнением (9.34), ведет себя как низкочастотный фильтр Баттеруорта

(9.35)

где f о — частота, соответствующая половинной энергии, а ве личина К определяет наклон кривой |# ( /) |2. Более детальное описание математических основ синтеза рекурсивных цифровых фильтров содержится в работах [17, 25, 391.

Низкочастотные фильтры используются для сокращения объема выборки, что позволяет уменьшить длину анализируемых реализаций. По определению сокращение порядка г дискретной

реализации заключается в	сохранении лишь каждого r-го наблю
дения. Предположим, как	обычно, что наблюдения отстоят друг
от друга на интервал At	и произведено сокращение порядка

Тогда новый интервал дискретности будет составлять At' = rAt * а частота Найквиста станет равной 1/2 rAt. Следовательно, все частоты, большие 1/2 rAt, будут замаскированы (свернуты) в ин тервал [0, (1/2 гД/)]. Чтобы избежать маскировки, исходную реали зацию следует отфильтровать при помощи соответствующего

аналогового	низкочастотного фильтра, исключив составляющие
с частотами	выше (1/2 rAt).

9.3. Ряд Фурье и быстрое преобразование Фурье

Построение ряда и преобразования Фурье теоретически пред ставляют собой различные операции, но в большинстве практи ческих приложений численная реализация этих операций осу ществляется одинаковым образом. Это объясняется тем, что для дискретной реализации можно построить ряд или преобразование Фурье только в конечном диапазоне частот, и этот диапазон onjfÉделяется величиной основного периода при вычислении соответст вующего ряда Фурье. Как уже отмечалось в подразд. 3.2.3, одна из основных причин использования быстрого преобразова ния Фурье состоит в том, что оно позволяет получить оценки

Цифровые методы анализа

341

^спектральной плотности и корреляционной функции. Прежде чем излагать алгоритм быстрого преобразования Фурье, полезно рассмотреть, каким образом вычисляется обычный ряд Фурье.

9.3.1. Ряд Фурье

Если предположить, что реализация x(t) обладает периодич ностью и период ее равен Тр, а основная частота / х = 1 !Тр, то реа лизация может быть представлена рядом Фурье

	СО
X (/) = -^-4- ][] (aq cos			+ bqsin 2то7Д0,		(9.36)
т
а? = Т~ j*	^ (0	cos2 r.qfjidt,		q = 0 , 1,2 ,...,
ö					(9.37)
					(9.37)
	T
= - \|r J	* (0 sin 2r,qf1idt,			q= 1,2,3......
о
Пусть реализация	x(t)	имеет конечную длину Tr =			7’р, рав

ную основному периоду. Предположим также, что она состоит чиз четного числа N эквидистантных наблюдений с интервалом дискретности Л, который выбран таким образом, что частота среза [с = 1/2h достаточно высока. Будем считать, что нулевая ордината реализации равна нулю, и обозначим, как и прежде,

преобразованную последовательность в виде

xn=x(nh), n=l,2,...,N . (9.38)

Вычислим теперь по всем N значениям реализации конечный ряд Фурье. Для любой точки t, принадлежащей интервалу (0, Тр), этот ряд имеет вид

N/2 (ЛУ2)—1

* ( 0 = Л + Х V	o	s ( - ^ ) +		£ ß	9 s m ( - r f ) .	(9-39)
9=1			9“ 1
точках t = nh, п = 1,	2,	..., N,	где	Тр = Nh,
N/2				(ЛУ2)-1
хп= х (Щ А0 + 2	Aqcos			+ 2	в , sin p J P - j .	(9.40)

9=1

342 Глава 9

Коэффициенты	Aq и		Bq определяются				выражениями
				N
			Л = “ д Г ^		I Х п =	X =	О ,
				п= 1
Ач = - jr Y ix«C0S Т					" ’	<7 = 1»2- - » ^ —
		л=1							(9.41)
					N				(9.41)
					N
			An/2 = д/			oos (711,
n		//	•				1 n	N
n	2	ѵч	•	jy	,	9	1 n	N	1
	— ң		xnsin	jy	,	9	1,2	,..., —^	1.
		n= 1		N
		n= 1
Программа	для	расчета		величин Aq и Bq должна содержать
следующие операции:

1)определение величины Ѳ = 2-xqn/N при фиксированных значениях q и п;

2)вычисление cos9 и sin Ѳ;

3)вычисление x„cos0 и x„sin0 ;

4) вычисление суммы для каждого			из этих выражений при
п =	1, 2,	..., N;
5)	приращение аргумента q на единицу и повторение всех пере
численных действий.			>
Такой		способ требует выполнения	примерно N2 операций
умножения		и сложения действительных	чисел.

Поскольку затраты машинного времени и стоимость расчетов зависят от N2, при больших N такой стандартный метод вычисле ния коэффициентов Aq и Bqможет оказаться дорогостоящим и по требовать значительного времени. Чтобы существенно снизить затраты машинного времени, были разработаны и введены в

практику другие способы расчета, получившие название быст рого преобразования Фурье (БПФ). Рассмотрим детально эти важ ные методы, применяемые для цифрового анализа случайных процессов.

9.3.2. Быстрое преобразование Фурье

Преобразование Фурье действительной или комплекснознач

ной функции x(t), заданной на бесконечном интервале,	пред
ставляет собой комплексную величину	1

Цифровые методы анализа

343

-,Если область интегрирования не ограничена, то, как уже отме чалось ранее, преобразование X(j) не существует, если реали зация х(() обладает всеми свойствами стационарного случайно го процесса1*. Ограничив интервал задания функции х((), скажем, приняв его равным [О, Т\, можно построить конечное__преобразо вание Фурье

X (/, Т) = j * (0 dt. (9.43)

Предположим теперь, что функция x(t) представлена N эквиди стантными наблюдениями с интервалом дискретности h, который выбран таким образом, что частота среза достаточно высока. По скольку t0 = 0 , моменты tn = nh (в данном случае удобно начать с п = 0 ). Уравнение (9.38) запишется в виде

		xn=x(nh),	n= 0,l,2,...,N — l.		(9.44)
Дискретная		аппроксимация выражения (9.43) при произвольном
значения	/	есть
		N -	1
		X (/, Т) = h 2	хпехр [ —2itjfnhl		(9.45)
		л = 0
Для расчета		функции X(f,	Т)	обычно выбираются	дискретные
значения	частоты
*		f ^ kf»=Jr = 4 K ’		b = Q ,\,2 ,...,N -\.	(9.46)

Преобразованная последовательность дает на этих частотах со

ставляющие		Фурье
	X (ft, Т)	N - I
Хь		2-Kkn	£ = 0,1,2 ..... N — l, (9.47)
	h	=ѵхпехр — /■ ~N

л=0

причем интервал дискретности h внесен в значение X(fk, Т), чтобы перед знаком суммы не было множителя. Заметим, что пре образование однозначно только до значений k = N/2 , поскольку чэтой точке соответствует частота Найквиста. Быстрое преобра зование Фурье применяется для вычисления последовательности Хк, но может быть также использовано для нахождения коэффи циентов Фурье Aq и Bq из формул (9.41).

В действительности для существования' интеграла (9.42) достаточно, чтобы функция х(і) была кусочно-дифференцируема и абсолютно интегрируе ма.— Прим, перев.

344 Глава 9

Упростим обозначения, положив

	W (ц)=ехр	. 2тад "I	(9.48)
	W (ц)=ехр		(9.48)
Заметим,	что W(N) = 1 и при всех и к и справедливо равенство
	W(u + v)=W(u)W(v).		(9.49)
Положим	также
	X (k) = Xk,	X (п) = хп.	(9.50)
Формула	(9.47) примет теперь вид		„
	N — 1	£= 0,1,2 N — 1.
	X (k) = ^ х ( п ) W (kn),	£= 0,1,2 N — 1.	(9.51)

л=0

Следует внимательно рассмотреть уравнения (9.47) и (9.51), пред ставляющие собой не что иное, как преобразование Фурье после довательности х(п), содержащей конечное число N членов. Для расчета всех значений Х(£) по этим формулам необходимо выпол нить примерно N2 операций умножения и сложения комплексных чисел (одна такая комплексная операция эквивалентна четырем операциям умножения и сложения действительных чисел).

Идея быстрого преобразования Фурье. Быстрое преоб разование Фурье основывается на представлении величины N в виде ряда (отличных от единицы) сомножителей и в выполнение обычного преобразования Фурье для более коротких последова тельностей, число членов в которых определяется соответствую щими сомножителями. Если N может быть представлено в виде произведения р целых и больших единицы чисел

р
N = Y \V i = r\r2-\rp>	(9.52)
i= ij j

то, как доказано ниже, входящая в уравнение (9.51) последова тельность X{k) может быть найдена итеративно путем расчета

суммы р слагаемых:			'
(N/Cj)	преобразований Фурье,	каждое из которых требует 4г\ опе
(N/г2)	раций с действительными числами;
	преобразований Фурье,	каждое из которых требует 4г\ опе-
	раций с действительными числами;		(9.оЗ)
(N/Гр)	преобразований Фурье,	каждое из которых требует 4ггр one--
	раций с действительными числами.

	Цифровые методы анализа							34S
я
^аким образом, общее число операций
	4 (Nrx+ Nrt +		• • • +	Nrp) =	AN j ]		rt.	(9.54)
результате при использовании БПФ, а не стандартного метода
получаем коэффициент		ускорения		вычислений (к.у.в.)
	к.у.в. ■			N				(9.55)
	к.у.в. ■							(9.55)
$		4N%		4
			1	4
			1
Пример 9.3. Коэффициент				ускорения		вычислений		для 2?,
где р — целое	число.	Если	N = 2р,			р	гі = 2р =	21og2/V.
где р — целое	число.	Если	N = 2р,		т о	2	гі = 2р =	21og2/V.
В этом случае,	согласно формуле (9.55),				і~1
В этом случае,	согласно формуле (9.55),
	к.у.в.		N2	N
	к.у.в.		8Np	8Р •
			8Np	8Р •

Однако скорость вычислений можно увеличить еще вдвое, исполь

зуя следующее свойство: при N — 2р все значения		W{kn) равны
либо ~+1, либо —1. Таким образом,
	к.у.в.= N	(9.56)
>	4 Р '
>

Но и этот результат представляет собой лишь консервативную оценку; в действительности можно добиться нового двукратного увеличения скорости, разделив исходную реализацию пополам и производя расчет, как указано ниже, в подразд. 9.3.4. В част ности, при N = 213 = 8192 из формулы (9.56) получаем, что к.у.в. = (8192/52) « 158.

Построение метода. Для получения результата, постули рованного в уравнении (9.53), представим индексы k и п из фор мулы (9.51) в виде

1		Р—1	V
		Р—1	V
4	^ П	гі-	гДе	&ѵ = 0,1,2,...,’/Ѵ н — 1,
		V—0	і=о	^0==^>
				(9.57)
	р—1		V
	п = 2	«V п ГР+1-І> где		«ѵ= 0 ,1 ,2 .....Ѵ-ѵ— 1,
	ѵ-о		/«о	rp+i= K

346	Глава 9
	У

Отметим, что теперь индексы к и п	заменены индексами кѵ и пѵУ
Последние формулы можно переписать в виде
k = k Q+ kyrl -\r k2r1r2-\- ’ ' ‘ + ^p-i (гігг---гр-і)’		(9.57a)

п = л0 + п/p-t- n2rprp_y-\------- h np_-L (r/p_y...r2),
где
6 0 = 0 , 1 , 2 , . . . , Г і ~ - 1 ,	n 0= 0 , l , 2 , . . ■»	1»
Äx = 0 , l , 2 , . . . >^2“ - 1 ,	П х = 0 , 1 , 2 , . . . , Г р ^ — 1
		(9.576)
;p _ x = 0 i 1 . 2 , — . Г р — 1,	п р_ ' х - 0 , 1 , 2 , . . . , Г х — 1.

Фиксируя поочередно kv и nv, можно непосредственно убедиться в том, что величины k и п принимают значения от 0 до N — 1,

где N есть произведение всех значений rt [см.				равенство (9.52)].
Перепишем теперь уравнение (9.51)^в^виде
Х ( к ) = Х ( к 0, к г.....кр_х) =
. г р ~ 1	Г 2 — \	Г у — I
= 2		J ] x (no>ni'— np-2>nP-i)w (kn)>			(9.58)
по=0	щ-0 Пр_%=0
где
WJkn) — W\(k [л0 + nirp+		----- Ь
+	П р - Ѵ ( Г р Гр - 1 ” -Г Ѵ + і ) +		+ Ѵ і ( 7	р - і . - г 2 ) ] ) ,	( 9 . 5 9 /

а°величина &'определена уравнением (9.57).

Другой способ^представления величины к заключается в сле дующем :

к = №o + ^irx+ • *• 4 - кѵ_хгуГ2...rv_y) +

+ (гira...rv) (kv -j- kv+1rv+i 4-------Ь кр^уГѵ^уГѵ+2--.гp_i). (9.60)

Следовательно, в уравнении ~(9.59)

кпр_ѵ (грГр_ і...гѵ+х) = = (К + Ѵ і + ----- Нкѵ-іГ1Г2...Гѵ_у) пр_ѵ (г/р .і...гѵ+1) +

+ Nnp_v (£v-j-£v+1rv+x + • • * + kp_lrv+1rv+2...rp_i).^a[(9.61)

Далее при любой целой степени N величина W равнаедннигй, поэтому при V= 1, 2 , ..., р

W (кпр^ѵГу/"р-і-.-Гѵ+і) = W [(k0+ VxH------ b

4- ^v-x^W'.^v-i) пр_уГррp_y...rѵ+х]. (9.62)

Цифровые методы анализа				347
%ассмотрим последнее равенство подробнее.			При ѵ == 1
W (knp_1rprp_1...r2)= W (А0Лр-іѴ/»-1-		га)=	2кк0Пр_х
= \Ѵ	kpiip-i	= exp —/		(9.62а)
	Ч		Ч

Мы получили экспоненциальное выражение для преобразования


Фурье функции х(пр_1), состоящей из гх,					а не из N	членов [см.
формулы (9.47)			и (9.51)]. Заметим, что переменные &0?и пр_х при
нимают значения от 0 д о гх — 1, и потому для расчета каждого
-значения X{k0) нужно всего г\ операций					умножения и сложения.
^Пользуясь		уравнением (9.49),		нетрудно	показать,	что	при ѵ =
=	2, 3, ...,	р уравнение (9.62)		принимает вид произведения
^	К ^ о Н- k i r 1 + ’ ‘		+ ^ v _ 2 r i r 2 - - - г ѵ - г ) п р - ч г / р ~ і - - - г ѵ + і ] X
			X W (kv_1r1r2...rv_1np_^r/p_1...rv+1),				(9.626)

в котором только второй сомножитель содержит величину £ѵ_\|.
Этот	сомножитель представляет	собой выражение
	і у [5 - і Ѵ ѵ^	(9.63)
	V
Чц е.	экспоненту, необходимую для преобразования Фурье'функ-
ции	х(пр_ѵ), состоящей из гѵ членов. Заметим, что переменные
&ѵ_і	и пр_ѵ принимают значения	от 0 до г , — 1. Следовательно,

для вычисления каждого значения Х(£ѵ_і) нужно всего г% опера

ций умножения и сложения.						6
Алгоритм БЛФ.			С учетом преобразований		(9.60) — (9.63)
уравнение (9.59) можно записать^ виде
	р			n p-vN \
	W{kn) = Y	\ T (k„ kv ...,kv_JW		n p-vN \		(9.64)
	W{kn) = Y	\ T (k„ kv ...,kv_JW		г,	) '	(9.64)
	V =	1		г,	) '
	V =	1
\ .			1 при V = l ,
			1 при V = l ,
(/?0*	2)—		W [(&0 kxT! + •••-[- k Vmm%rxr 2 ...Гv_2) X (9.65)
			X ('V vV p- i - ' V i)] ПРИ v= 2 ,3 ,..., p.

^Функции типа Т названы в работе [19] «орнаментирующими ко эффициентами». Подставив выражение (9.64) в формулу (9.58),

<<< < Предыдущая 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 4735 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
29.10.20233.23 Mб22Беляев Б.М. Торпедирование скважин большими зарядами взрывчатого вещества.pdf
#
19.10.20233.21 Mб39Беляев, А. И. История магния.pdf
#
20.10.20238.37 Mб34Беляев, Н. М. Расчет и проектирование реактивных систем управления космических летательных аппаратов.pdf
#
19.10.20234.58 Mб35Беляева-Соловьева, Э. А. Конструирование механизмов радиоэлектронных аппаратов.pdf
#
29.10.20232.29 Mб17Беляевский Ю.И. Монтаж и эксплуатация елочки.pdf
#
25.10.202316.48 Mб71Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов.pdf
#
22.10.202312.85 Mб58Бенедиктов, Б. А. Психология овладения иностранным языком.pdf
#
20.10.20237.64 Mб8Бенцман, Б. Л. Резервы, качество, эффективность.pdf
#
21.10.20238.77 Mб8Бень, Т. Г. Экономическая эффективность термического упрочнения проката и труб.pdf
#
27.10.202325.37 Mб564Бергер И.И. Токарное дело учебник.pdf
#
30.10.202312.6 Mб24Бердичевский, Марк Наумович. Электрическая разведка методом теллурических токов.pdf